Zusammenfassung
Nachdem in den Kapiteln 4, 5 und 6 die grundlegenden Wirkungsprinzipien von GA und SA und anderen naturanalogen Verfahren ausführlich diskutiert wurden, ist das Ziel dieses Kapitels, für beide Konzepte Gemeinsamkeiten und Unterschiede deutlich herauszuarbeiten, um sie anschließend als Spezialisierungen eines einheitlichen ‚Meta-Verfahrens‘ auffassen zu können.
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Literatur
Der Leser möge entschuldigen, daß die Gedankenfiihrung nun wieder an einem Maximierungsziel ausgerichtet wird: Simulated Annealing wird als einziges Verfahren, bei dem ursprünglich ein Minimie- rungsziel Pate stand, hier sozusagen von seinen Verwandten ‘überstimmt’. Während bei GA die geeignete Fitneß-Skalierung für Minimierungsprobleme durchaus ein Problem darstellen kann, ist dies beim SA umgekehrt nicht der Fall: Allein die Energiedifferenz zweier Lösungen hat Einfluß auf die Suche, nicht jedoch die absolute Energie. Es ist folglich gleichgültig, ob man positive oder negative Differenzen (mit umgekehrtem Vorzeichen) der Metropolis-Funktion unterwirft.
Meist wird auch für alle diese Verfahren die gleiche Nachbarschaftsrelation N gewählt, da sich deren Vorteilhaftigkeit primär aus der Topologie des Kostengebirges bestimmt und weniger aus der Wahl des Suchverfahrens, welches dieses Kostengebirge auf Extrema absucht.
Dies gilt nur unter der Annahme, daß kein neues bestes Individuum gefunden wurde.
Durch das Zurückdrängen der Mutation in die Rolle des Hintergrundoperators kann die Mutationsnachbarschaft auch keinen Ausweg bieten: Jede Mutation, die eine Kostenverschlechterung zur Folge hätte, wird, sofern sie nicht zum sofortigen Aussterben des Individuums fuhrt, schon nach wenigen Generationen per Crossover wieder ‘rückgängig’ gemacht, indem der Mutant Kinder generiert, die wieder im Sub- optimum liegen und seine zum Ausbruch aus dem Suboptimum geeignete Erbanlage wieder aussterben lassen.
Man beachte, daß die gleiche Aufgabe von einer Evolutionsstrategie aufgrund der größeren Mutationsschrittweiten wesentlich schneller bewältigt werden kann.
Der Begriff ‘entscheiden’ ist natürlich bei SA aufgrund der stets verbleibenden Restwahrscheinlichkeit für die Überwindung einer auch noch so hohen Energiebarriere eigentlich unsauber. Da diese Restwahrscheinlichkeit aber eben nur sehr gering ist, stiftet sie bei derartigen Topologien kaum einen Nutzen.
Zu analogen Ergebnissen kommen auch [Hoffmann 90] und [Laursen 93.
Die Entscheidung über die Vorteilhafligkeit der Aufteilung der Transitionenzahl auf mehrere SA-Prozesse setzt leider die Kenntnis der Topologie des Lösungsraums voraus, die leider nicht bekannt ist. Somit muß auch bei der Wahl der Anzahl paralleler SA-Prozesse auf Mutmaßungen über diese topologi- sche Struktur oder empirische Erfahrungswerte zurückgegriffen werden.
Dies bedeutet keineswegs, daß das System bereits gefroren wäre oder keine Transitionen mehr akzeptiert würden, sondern vielmehr, daß sich der mittlere Energiezuwachs durch verschlechternde Transitionen und der mittlere Energieverlust durch verbessernde Transitionen die Waage halten, also die stationäre Verteilung q erreicht ist.
Symptomatisch für die Dichotomie zwischen Genetischen Algorithmen und Simulated Annealing ist das mit genau diesem Titel (‘Genetic Algorithms and Simulated Annealing’) erschienene Buch Pavis 87], welches eine Sammlung von Aufsätzen zum einen wie zum anderen Thema beinhaltet. Keiner dieser Aufsätze versucht jedoch auch nur ansatzweise, bestehende Gemeinsamkeiten herauszuarbeiten.
Wie bei Genetischen Algorithmen wird der Begriff des Individuums verwendet für eine Variable, die eine Lösung s des Lösungsraums S repräsentiert. Diese Lösung s wird auch als Konfiguration bezeichnet. Im Zeitablauf ändert das Individuum I durch Transitionen seinen Wert von einer Konfiguration s zu einer jeweils benachbarten Konfiguration s’ (analog der destruktiven Mutation bei GA).
Im Folgenden wird ausschließlich die Pfad-Darstellung der Touren verwendet.
In dem implementierten COSA-Verfahren wird vereinfachend immer nur die rechts auf eine Stadt folgende Stadt als deren Nachbar angesehen. Da auch die Kante zum linken Nachbarn (als dessen rechte Kante) Transitionsversuchen ausgesetzt ist, beschränkt dieses Vorgehen nicht die Erreichbarkeit von anderen Lösungen.
Man könnte in diesen Fällen natürlich auch anstelle der Konfiguration 12 eine andere Konfiguration der Population zu Rate ziehen und hoffen, daß dort die Stadt 3 mit einer anderen Stadt als Stadt 4 verbunden sei. Gerade bei einer Annäherung der gesamten Population an das globale Optimum würde dieses Verfahren aber einen Großteil seiner Zeit mit dem Aufsuchen und Verwerfen unbrauchbarer, weil identischer Konfigurationen verbringen.
Verblüffend insbesondere nach zahlreichen Monaten des ebenso intensiven wie erfolglosen Feilens an wesentlich aufwendigeren aber nur scheinbar intelligenteren Operatoren. Wegen ihres jähen Todes im empirischen Test sei dem Leser das Nachvollziehen ihrer tragischen Lebensgeschichte jedoch vorenthalten.
Nichts läge dem Autor ferner, als mit diesen Ergebnissen, die in Abschnitt 7.4. ausfuhrlich dargelegt werden, in irgendeiner Form die angesprochene Genialität des Operators behaupten zu wollen.
Dies gilt natürlich nicht in dem oben angesprochenen Fall der Gleichheit von zu löschender und neu einzufügender Kante in denen der kooperative Transitionsoperator sozusagen von sich aus eine zufällige Mutation vornimmt.
also der durch das Individuum repräsentierten Konfiguration
Die hier gegebene, vom TSP unabhängige Darstellung von ‘cotrans’ schreibt eigentlich vor, in diesen Fällen andere Dimensionen zu untersuchen und erst dann, wenn überhaupt keine unterschiedliche Dimension gefunden wird, auf eine Zufallstransition zurückzugreifen. In vielen Fällen ist eine solche komplette Inspektion der Nachbarschaft aber ihren Aufwand nicht wert, weshalb sie zumindest beim TSP nicht angewandt wird.
Da für jedes der \POP\ Individuen das Ereignis, sich selbst als Informationsspender zugelost zu bekommen, stochastisch unabhängig von der Wahrscheinlichkeit für alle anderen Individuen ist, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit durch multiplikative Verknüpfung.
Die Nichtreduzierbarkeit gewährleistet bereits, daß es mindestens einen Pfad gibt, über den i von j erreichbar ist. Die Frage lautet nun, ob auch mindestens einer dieser Pfade vollständig unterhalb einer vorgegebenen Höhe L verläuft, d.h. für alle Konfigurationen/des Pfades muß E(Ci) L gelten.
Man beachte, daß beim klassischen SA genau diese Gleichheit der Generierungswahrscheinlichkeiten für Hin- und Rückweg besteht.
In der Praxis wird man eine solche Funktion für GA natürlich erst gar nicht implementieren.
Bei der Implementierung kann man auf die Erzeugung von POP new natürlich verzichten, wenn man sofort nach der Generierung eines jeden Individuums entscheidet, ob es seinen ‘Vorfahren’ ersetzen soll oder nicht.
Die tatsächlich erfolgte Implementierung weicht hiervon insofern ab, daß dieses Kriterium zur Überprüfung des Erreichens eines thermodynamischen Gleichgewichts nicht nach jeder ‘Generation’ angewandt wird, sondern lediglich alle 100 Generationen prüft, wie sich die mittlere Energie von POP im Vergleich zu der von iWfc-100 verändert hat.
Die Titel der Grafiken zeigen folgenden Aufbau: Problemstellung–Verfahren
hier allerdings mit adaptivem Abkühlungsplan
Im Gegensatz zum TSP51 beim TSP76 und TSP101 allerdings nur das ‘vermutete’ globale Optimum.
In der Problemstellung wird der ‘Rückweg’ von Stadt 214 zu Stadt 1 fest vorgeschrieben, d.h. es wird der kürzeste hamiltonische Pfad und nicht der Zyklus gesucht. Durch einen stark negativen Kostenwert (z.B. -10000) in der Distanzenmatrix für (1 214) und (214 1) kann dieses Problem aber auch mit TSP- Verfahren gelöst werden, da die Verwendung dieser Kante so derart vorteilhaft wird, daß sie in jedem Fall in die Tour eingebaut wird.
Für das TSP318 wurde sie von Crowder und Padberg [Crowder 80] ermittelt, für das TSP442 von Holland [Holland 87]. Für das TSP442 existiert wiederum das Problem, daß zunächst die beste Lösung für ‘gerundete’ Metrik veröffentlicht wurde, die von der für euklidische Metrik abweicht. Beim TSP318 konnte bislang keine Tour ermittelt werden, deren euklidische Länge kürzer als 41359 ist. Dies ist die Länge der bei ‘gerundeter’ Metrik mit 41345 als optimal nachgewiesenen Tour.
Kommerzielle Software setzt, sofern eine optimale Lösung überhaupt angestrebt wird, ausschließlich 1- Baum-Relaxationen und darauf aufbauende Subgradientenverfahren ein. Eine Anwendung von Schnittebenenverfahren findet offenbar nicht statt.
Akzeptierte Transitionsversuche benötigen gerade bei großen Problemstellungen deutlich mehr Rechenzeit als verworfene: Der 2-change muß das gesamte zu invertierende Segment Position für Position umkopieren, was bei großen Problemen im Durchschnitt deutlich länger dauert als bei kleinen. Eine Million abgelehnte Transitionsversuche sind daher sowohl beim TSP51 wie auch beim TSP442 in ca. 30 Sekunden zu bewältigen; die gleiche Zahl angenommener Versuche (bei sehr hoher Temperatur) benötigt beim TSP51 ca. 80 Sekunden, beim TSP442 dagegen 350 Sekunden.
Golden benötigte für dieses wenig schmeichelhafte Ergebnis immerhin 42815 Sekunden, also fast 12 Stunden, einer VAX 11/780.
Rossier verwendet eine dahingehend modifizierte Version des SA, daß nur eine kleine Zahl von ‘euklidischen Nachbarn’ einer Stadt für eine Inversion infragekommt.
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Wendt, O. (1995). Kombination von genetischen Algorithmen und Simulated Annealing. In: Tourenplanung durch Einsatz naturanaloger Verfahren. Gabler Edition Wissenschaft. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-09046-5_7
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-09046-5_7
Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-8244-6181-3
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