Zusammenfassung
Kapitel 2 handelte bereits von Optimierungsverfahren und Heuristiken zur Lösung des TSP. Dabei wurde beim Leser ein intuitives Verständnis des Begriffes ‚Heuristik‘ vorausgesetzt, im Sinne von Algorithmen66, die keine optimale Lösung des Problems garantieren können, dieser aber trotzdem mehr oder weniger gut nahe kommen. Das Ziel dieses Kapitels besteht darin, dieser Klassifikation von Problemlösungsverfahren eine weitere, für die Zwecke dieser Arbeit fruchtbarere, gegenüberzustellen.
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Literatur
Mitunter findet man in der Literatur sogar die Auffassung, der Begriff des ‘Algorithmus’ dürfe nur bei Verfahren mit Optimalitätsgarantie verwendet werden. Er soll hier aber vielmehr im Informatik-Sinne als endliche, wohldefinierte Sequenz von Zustandsübergängen verstanden werden, womit natürlich auch jedes wahldefinierte heuristische Lösungsverfahren einen Algorithmus darstellt.
nämlich all die Touren für die gilt, daß keine andere Tour kürzer ist
Man beachte, daß dieser Qualitätsabstand über S keine Metrik definiert: Aus einem Qualitätsabstand zweier Lösungen si und si von null folgt nämlich noch nicht, daß es sich wirklich um das identische Element aus S handelt! Vielmehr kann es sich um zwei gleichgute Lösungen handeln.
Der Begriff ‘Raum’ suggeriert eigentlich immer die Existenz eines (oder mehrerer) Distanzmaße zwi schen zwei Punkten. Diese Maße sollen in dieser Arbeit aber keine Konstitutiva des Raumes selbst darstellen, d.h. der Lösungsraum S soll auch als simple Menge schon ein Lösungsraum sein, bevor über seinen Elementen mittels der Zielfunktion f und der ‘Nachbarschaftsstruktur’ N bestimmte Abstandsmaße definiert werden.
Man könnte die Begriffsklauberei natürlich mit dem Zustandsraum in ähnlicher Weise fortsetzen, indem man fragt, ob Zustände eines Systems, welche harte Nebenbedingungen verletzen und somit im modellierten Realsystem niemals auftreten, überhaupt diesen Begriff verdienen. Man kann das Argument dahingehend entschärfen, daß man während der Planung den Zustandsbegriff lediglich auf Zustände des Modells bezieht (die nicht notwendigerweise mit einem realen Systemzustand korrespondieren müssen). Während der Tourenplanung wäre ein Plan, der mehrere Subtouren beinhaltet, somit ein Zustand (des Planungsmodells) aber bestimmt keine Lösung.
z.B. Tiefensuche oder Breitensuche
Ein Algorithmus Al dominiert einen Algorithmus A2 dann, wenn jeder Knoten, der von Al expandiert wird, auch von A2 expandiert wird. Wenn Al den Algorithmus A2 dominiert und A2 in jedem Fall mehr Knoten expandiert als A1, spricht man auch von strikter Dominanz [PEARL 84, S. 75]. (Was unter der Expansion eines Knotens zu verstehen ist, klärt sich in Absatz 3.2.3.)
Nachdem oben recht mühsam eine Definition des Lösungsraumes erarbeitet wurde, muß diese hier schon wieder relativiert werden: Wie sich spätestens beim CVRP herausstellen wird, kann es vielfach von Vorteil sein, im Problemlösungsprozeß zwischenzeitlich auch ‘Lösungen’ zuzulassen, die sogar harte Nebenbedingungen verletzen: Der Lösungsraum wird hierdurch künstlich erweitert, und die Verletzungen werden durch sogenannte Strafkosten in der Zielfunktion berücksichtigt.
Das bekannteste Gradientenverfahren dürfte wohl das Steepest-Ascent-Verfahren sein: Ausgehend von einem Punkt im Suchraum wird untersucht, fir welchen Parameter eine infinitesimal kleine Variation die größte Veränderung des zu optimierenden Zielfunktionswertes hervorruft. In diese Richtung bewegt man sich dann um eine vorgegebene Schrittweite und wiederholt das Verfahren.
Die Distanzen errechnen sich als euklidische Abstände, wobei die Städte eins bis vier an den Koordina ten (0;0) (100;0) (100;100) (0;100) angesiedelt sind und Stadt fünf die Position (30;50) einnimmt.
Der Begriff des Radius von S wird im Rahmen der Konvergenzbeweise für Simulated Annealing in Kapitel 5 eine bedeutende Rolle spielen.
Denkt man an einen Kreis, so mag diese hier gegebene Gleichheit von Radius und Durchmesset zu nächst verwundern. Dies liegt aber nur daran, daß man sich den Kreis als zweidimensionale Scheibe vorstellt. Betrachtet man dagegen lediglich die Kreislinie und das (nun eindimensionale) Distanzmaß auf dieser Linie, so wird klar, daß der Durchmesser des Kreises sein halber Umfang und zugleich sein Radius ist; der ‘Weg durch die Mitte’ ist sozusagen versperrt, weil die dort liegenden Punkte nicht zum Kreis gehören. Jeder Punkt auf der Kreislinie ist dann Kreismittelpunkt.
Die Ordinate ist die einzige wirkliche Dimension, die unsere Darstellung bindet (Lösungen mit glei chem f müssen auf gleicher Höhe liegen). Eine Abszisse exisitiert nicht, weil sich die auf gleicher Ebene liegenden Lösungen hier willkürlich anordnen lassen.
In der englischsprachigen Literatur hat sich für das Zielfunktionsgebirge der Begriff “value landscape” durchgesetzt [STADLER 92].
Dies ist insofern irreführend, als die Unimodalität, also die Tatsache, daß jedes lokale Optimum zu gleich ein globales darstellt, kein Prädikat der Zielfunktion f ist, sondern sich immer auf das Zielfunktionsgebirge, also die Funktion f und die Relation N beziehen muß, da erst durch N festgelegt wird, welche Lösungen benachbart sind. Eine Nachbarschaft N = S x S fihrt beispielsweise Sir jede Zielfunktion f zu einem unimodalen Zielfunktionsgebirge! Die sprachliche Unsauberkeit rührt auch im Fall der
Während die Lösungsraumsuche in S anhand einer vorgegebenen Nachbarschaft N als eine Verallgemeinerung der im Operations Research gängigen Bezeichnung “Verbesserungsverfahren” verstanden werden kann (es kann eben, wie diese Arbeit zeigen wird, auch sinnvoll sein, zwischenzeitlich Verschlechterungen zu akzeptieren) läßt sich die Klasse der Problemraum-Suchverfahren als eine Verallgemeinerung der ‘Initialisierungsverfahren’ des Operations Research verstehen (, die auf dem Weg der Initialisierung auch Sackgassen möglichst frühzeitig erkennen und bereit sind, getroffene Teilentscheidungen gegebenenfalls zu revidieren).
Da der AND/OR-Graph zwei verschiedene Typen von Kanten enthält, handelt es sich eigentlich um ei nen sog. Hypergraphen.
Mit ‘Lösen’ ist hier wohlgemerkt nicht ‘optimal lösen’ gemeint, sondern zunächst lediglich das Auf spüren einer beliebigen Lösung im Lösungsraum.
Dies gilt allerdings nur unter der Prämisse, daß der Fahrer im Zweifel bereit ist, bei jedem Kunden den kompletten LKW auszuladen, um an das gegebene Packstück zu gelangen. Gegeben sei das Problem der Suche nach der kürzesten Rundreise durch die fünf Städte. Wir wissen bereits, wie die Lösung des Problems aussieht; schwieriger ist allerdings die Beantwortung der Frage, wie deren Optimalität ohne Inspektion aller übrigen elf Touren bewiesen werden kann. Abbildung 13 könnte hierzu herangezogen werden. Die Blätter des Suchgraphen stellen komplette Touren dar. Die Knoten auf daruberliegenden Hierarchieebenen stehen fir (im Vergleich zum Wurzelknoten) vereinfachte Problemstellungen, da bestimmte Streckenzüge schon festgelegt sind. Sie können als Repräsentanten der Menge aller Blätter verstanden werden, die sich jeweils unter ihnen befinden.
In manchen Fällen läßt sich ein gegebenes Problem zwar nicht unmittelbar in Teilprobleme dekompo nieren; wird jedoch eine bestimmte Anzahl von Variablen, das sog. ‘separator set’, auf einen bestimmten Wert fixiert, zerfällt die Menge der übrigen Variablen in Teilmengen, die unabhängige Probleme dar stellen. Hierauf aufbauend gelang es Hwang [HWANG 93], einen Algorithmus zur Lösung euklidischer TSP zu entwickeln, der eine Zeitkomplexität von o(n°()l aufweist. Dieser Ausdruck wird als ‘subexponentiell’ bezeichnet, da nicht n selbst, sondern nur dessen Wurzel im Exponenten steht.
Dies gilt zumindest für Hierarchicebcnen nahe beim Wurzelknoten. das Optimum, allerdings wird die Suche um so ineffizienter (d.h. sie dauert um so länger), je stärker h’(i) den eigentlichen Kostenwert h(i) unterschätzt87. Während die Erfüllung der ersten Eigenschaft allein genommen trivial ist (man denke nur an h’(i) = 0 für alle i), so stellt die Kombination beider Eigenschaften eine äußerst große Herausforderung dar. Die Erforschung eines effizienten und zugleich optimistischen Kostenschätzers h’(i) kann hierbei auch fast nie maschinell unterstützt werden, sie ist vielmehr das eigentlich intelligente Herzstück eines Problemraum-Suchverfahrens und zudem noch in höchstem Maße problemspezifisch.
Dem mit der Operations-Research-Terminologie vertrauten Leser wird an dieser Stelle auffallen, daß es sich bei h’(i) um nichts anderes als die in einem Branch Bound-Verfahren mit Minimierungsziel zum Einsatz gelangenden lower bounds handelt, mit deren Hilfe das sogenannte bounding durchgeführt wird.
im folgenden als MST-Problem abgekürzt
Prinzipiell lassen sich die hier vorgestellten Relaxationen auch auf asymmetrische TSP übertragen, es zeigt sich jedoch, daß dort das Zuordnungsproblem die bessere Relaxation darstellt in dem Sinne, daß sie die höheren Kostenuntergrenzen liefert [SMrrtt 77]. Für symmetrische TSP erzielt dagegen das Zuordnungsproblem zu niedrige Werte, da sehr viele Subzyklen der Länge zwei entstehen. (Wenn eine Stadt i der nächste Nachbar zu Stadt j ist, gilt dies sehr oft auch umgekehrt.)
Man könnte sich bildlich vorstellen, wir hatten die Stadt i aus der Zeichenebene um Einheiten ‘herausgehoben’. Die Verbindungslinien zu den übrigen Städten dürfen nun aber nicht ‘direkt’ im dreidimensionalen Raum verlaufen, sondern man muß, um zu Stadt i zu gelangen, vielmehr in der Zeichenebene zunächst zu dem ‘Loch’ fahren, an dem sich Stadt i früher befand und von dort dann in die dritte Dimension zur neuen Stadt i.
Diese Ansätze gehen auf Held und Karp [Held 70], [Held 71] zurück. Im Gegensatz zu dem simplen 1-Baum, der oftmals nur Schätzungen produziert, die bei etwa 70% der minimalen Kosten liegen, werden mit diesen sog. Subgradientenverfahren, die den besten X.-Vektor suchen, oft Schätzungen erzielt, die um weniger als 1% unter dem Optimum liegen [Ggemans 91]. Der Einsatz dieser Schätzer in B B-Verfahren wird insbesondere bei [HELamG 74], [Smith 77], [Vglgenanr 82] und [Balas 85] diskutiert. Eine Erweiterung dieses Ansatzes unter Beschränkung des maximalen Grades, den ein Knoten des 1-Baums aufweisen darf, findet sich bei [Leclexe 891 Daß auch für asymmetrische TSP und das Zuordnungsproblem als deren Relaxation eine ‘Verschärfung’ der Kostenuntergrenze mittels Lagrange-Verfahren möglich und sinnvoll ist, zeigen Balas und Christofides [BALAS 81].
Um Begriffsverwirrungen zu vermeiden, sollen die Knoten des Problemraumgraphen, die jeweils Teil probleme des ursprünglichen TSP bzw. Lösungen desselben repräsentieren, als Knoten bezeichnet werden; die mit einer Tour zu verbindenden Knoten des TSP dagegen als Punkte oder Städte.
Unter der ‘Expansion’ eines Problems wird seine Ersetzung durch all diejenigen Subprobleme verstan den, die in einer OR-Relation zu dem entsprechenden Problem stehen. In einem reinen OR-Graphen, wie er hier vorliegt, kann das expandierte Problem nach seiner Expansion von allen weiteren Betrachtungen ausgeschlossen werden, da jeder mögliche Punkt im Lösungsraum des expandierten Problems zum Lösungsraum von mindestens einem der Subprobleme gehört. Ein Knoten, der im Suchprozess noch nicht expandiert wurde, wird auch als offener Knoten bezeichnet.
Vgl. hierzu und als Übersicht über Branch Bound-Verfahren zur Lösung des TSP: [Balas 85]
Daß wir hierbei die optimale Tour finden, ist eher ein glücklicher Zufall: Beginnt man die Suche ausgehend von Stadt 2, wird die suboptimale Kante (2 5) als erste Verbindung in die Tour aufgenommen.
Ein enges, vor allem in der Mathematik vorherrschendes Verständnis von ‘Approximation’ beschränkt die Verwendung dieses Begriffs auf Verfahren, welche die Erreichung des Optimums bei einem gegen Unendlich gehenden Einsatz von Rechenzeit garantieren können. In dieser Arbeit soll ‘Approximation’ dagegen in einem weiteren Sinne als ‘Näherung’ verstanden werden.
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Wendt, O. (1995). Systematik klassischer Problemlösungsverfahren. In: Tourenplanung durch Einsatz naturanaloger Verfahren. Gabler Edition Wissenschaft. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-09046-5_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-09046-5_3
Publisher Name: Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-8244-6181-3
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