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Asymptotische Eigenschaften der ML-Schätzer und Tests

  • Frieder Knüpling
Chapter
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Part of the Gabler Edition Wissenschaft book series (GEW)

Zusammenfassung

Aus der großen Zahl verschiedener Varianten von Regimewechselmodellen ergibt sich ein hohes Maß an Flexibilität in empirischen Anwendungen. Sie stellt den Anwender jedoch auch vor das Problem der Auswahl eines geeigneten Modells. Die Frage nach den in diesem Zusammenhang benötigten Tests ist eng verknüpft mit der Verteilung der ML-Schätzer. Diese läßt sich i.d.R. nicht exakt, sondern — wenn überhaupt — nur asymptotisch bestimmen. Auf diesen Themenbereich wird in Kapitel 6.1 eingegangen. Darauf aufbauend wird in Kapitel 6.2 die Testtheorie im Kontext von Regimewechselmodellen dargestellt.

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Literatur

  1. 124.
    Die Annahme über die Momentenmatrix in großen Stichproben ist unnötig stark. Sie ist z.B. nicht erfüllt, falls einer der Regressoren ein linearer Zeittrend ist. In diesem Fall würde der Parameterschätzer noch schneller gegen den wahren Parameter konvergieren als in obigem Fall — er wäre superkonsistent, und zwar von der Ordnung in Wahrscheinlichkeit (order in probability) T 3n. Man kann die Voraussetzungen, die erfüllt sein müssen, damit die Parameterschätzer konsistent sind, abschwächen. Einen hinreichenden Satz von Bedingungen bilden z.B. die sogenannten Grenander-Bedingungen, vgl. Greene [1997], S. 274, oder Judge u.a. [ 1985 ], S. 162.Google Scholar
  2. 125.
    Diese Annahmen sind — ähnlich wie die des zentralen Grenzwertsatzes — kompliziert und i.a. schwer nachzuprüfen, vgl. Z.B. Gourieroux und Monfort [1995a], S. 183 ff. Die Autoren weisen darauf hin, daß die Aussage für Regressionsmodelle nicht richtig sein muß (vgl. S. 193). Sie zeigen jedoch, daß sie gilt, wenn die obige Annahme Ober das Verhalten der Momentenmatrix für wachsende Stichproben erfüllt ist.Google Scholar
  3. 134.
    Zur seiner asymptotischen Verteilung vgl. Chan [1988] und Tong [1990], S. 293 ff. 13S In der Literatur sind darüber hinaus noch diagnostische Tests vorgeschlagen worden, also allgemeine Anpassungstests, mit denen nach Wahl eines Regimewechselmodells überprüft werden kann, ob neben dem Zustandswechsel noch weitere Effekte vorliegen, die einer besonderen Modellierung bedürfen, wie etwa Autokorrelation der Residuen oder verallgemeinerte ARCH-Effekte. Vgl. hierzu Hamilton [1996].Google Scholar
  4. 144.
    Zu diesen auch als Portmanteau-Tests bezeichneten Tests vgl. Tong [1990], S. 221–229 und Terasvirta, Tiostheim und Granger [1994], S. 2930–2933.Google Scholar
  5. 145.
    Der Beweis hierzu wird bei Carrasco [1997] auf komplexere Modelle ausgedehnt. Die Arbeit von Garcia [1998] kursierte bereits seit 1995 als Cahier de Recherche Nr. 1095 der Université de Montréal, sie ist also tatsächlich alter als die von Carrasco.Google Scholar
  6. 147.
    Einige theoretische Ergebnisse Ober LQ-Tests der Nullhypothese eines autoregressiven Modells gegen die Alternative eines Zeitreihen-Schwellenmodells, die aber flr empirische Untersuchungen nicht besonders hilfreich sind, finden sich in Chan [1990], Tong [1990], Chan und Tong [1990], S. 233 ff., Hansen [1996] sowie in den oben erwähnten Arbeiten von Carrasco [1997] und Garcia [1998].Google Scholar
  7. 148.
    Eine weitere Möglichkeit in diesem Zusammenhang stellen Tests linearer gegen STAR-Modelle dar, die verallgemeinerte Schwellenmodelle darstellen (vgl. Kapitel 2.1, besonders Fußnote 9). Es ist zu vermuten, daß diese Tests im Vergleich zu Tests mit unspezifizierter nicht linearer Altemative vergleichsweise große Macht gegen Schwellenmodelle besitzen. Vgl. hierzu Luukkonen, Saikkonen und Terasvirta [ 1988 ].Google Scholar
  8. 150.
    Obwohl das Problem der nicht identifizierten Parameter schon lange bekannt ist und in der Literatur wenigstens seit der Arbeit von Davies [1977] diskutiert wird, wird es in Anwendungen immer wieder ignoriert, etwa von Kon [1984] oder Boothe und Glassman [1987].Google Scholar
  9. 151.
    Hansen [1992] schlagt einen Test von linearen Modellen gegen Markov-Modelle vor, der aber schwer zu implementieren ist, vgl. das Erratum von Hansen [1995]. Garcia [1998] wendet das Verfahren, das Hansen [1996] mit Blick auf Schwellenmodelle beschreibt, auf Markov-Modelle an und gewinnt so einige theoretische Ergebnisse über die Verteilung der LQ-Statistik.Google Scholar
  10. 152.
    Vgl. Garcia [1998], S. 16. Die Ergebnisse für die andere untersuchten Modelle sind ähnlich.Google Scholar
  11. 153.
    Für die anderen in Garcia [1998] betrachteten Modelle ist das Bild ähnlich.Google Scholar
  12. 154.
    Goldfeld und Quandt [1976], S. 21. Diese Autoren zählen die unter der Nullhypothese nicht identifizierten Parameter mit.Google Scholar
  13. 160.
    Dies nutzen z.B. Cosslett und Lee [1985], S. 83 ff. — Hier ließe sich auch ein White-Test verwenden, vgl. Hamilton [1996], S. 139 f.Google Scholar
  14. 164.
    Zu STAR-Modellen vgl. Fußnote 9. — Teräsvirta vermutet, daß die asymptotische x2-Verteilung der LQStatistik auch hier gilt, kam dies aber nicht beweisen (private Mitteilung). Eine Lösung des oben beschriebenen Testproblems fir diese Situation würde es also auch gestatten, das Schwellenmodell des US-BSP von Potter [1995] gegen das STAR-Modell von Granger und Ternsvirta [1993] zu testen, also eine Antwort auf die Frage zu geben, ob ein Modell mit abrupten Sprüngen zwischen den Phasen des Konjunkturzyklusses mit den Daten vertraglich ist, oder ob der “glatte” Übergang der STAR-Modelle signifikant ist.Google Scholar
  15. 167.
    Ein Beispiel fir diese Situation wäre ein Test zwischen dem Schwellenmodell des US-BSP von Potter [1995] und dem Markov-Modell von Hamilton [1989] flr dieselben Daten.Google Scholar
  16. 166.
    Überblicksdarstellungen zu diesem Problemkreis finden sich z.B. in Davidson und McKtnnon [1982], Gourieroux, Monfort und Trognon [1983], McAleer [1995] und Gourieroux und Monfort [1995b], Kapitel 22.2.Google Scholar
  17. 172.
    Ähnliches gilt für das Davidson-McKinnon-Modell, das getrennte Regressionsmodelle “umfaßt” und die Grundlage für den J- und den P-Test zwischen solchen Modellen bildet, vgl. Gourieroux und Monfort [19956], S. 301 ff.Google Scholar
  18. 173.
    In Carrasco [1997] werden außerdem Wald-Encompassing-Tests (vgl. Mizon und Richard [1986]) zwischen Schwellen-und Strukturbruch-sowie zwischen Markov-und Strukturbruchmodellen vorgeschlagen. Dieser Ansatz läßt sich aber nicht ohne weiteres auf den Fall eines Tests zwischen Schwellen- und MarkovModellen ausdehnen, vgl. Carrasco [1997], S. 3.Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1999

Authors and Affiliations

  • Frieder Knüpling

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