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Error-Correction-Modellierung internationaler Paritäten

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Part of the Gabler Edition Wissenschaft book series (GEW)

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt erfolgt die gleichzeitige Überprüfung von Kaufkraftparitätentheorie und ungedeckter Zinsparität auf der Grundlage eines mehrdimensionalen Error-Correction-Systems. Das dabei angewendete Verfahren bestimmt zum einen die Parameter des kurz-und langfristigen Anpassungsprozesses simultan, so daß Verzerrungen, die sich im Fall endlicher Stichproben bei der Schätzung der long-run-Relation ergeben können, hier nicht zu erwarten sind. Sofern darüber hinaus mehrere, linear unabhängige steady-state-Relationen existieren, werden diese gemeinsam geschätzt, ohne daß eine vorherige Einteilung der Variablen in endogene und exogene Größen erforderlich ist. Letztere wird vielmehr zum Gegenstand statistischer Tests, deren Durchführung erst auf Basis der Modellschätzung erfolgt. Schließlich sind alle Interaktionen zwischen den involvierten Variablen berücksichtigt, so daß das Verfahren insgesamt einen ungleich mächtigeren Test der Paritäten erwarten läßt 1. Ausgangspunkt der weiteren Überlegungen ist ein vektorautoregressiver Prozeß der Ordnung k, kurz VAR(k)-Modell 2,
$$ {X_t} = {\Pi _l}{X_{t - 1}} + ... + {\Pi _k}{X_{t - k}} + {u_t} $$
(5.1)
in dem X t einen Vektor mit p endogenen Niveauvariablen bezeichnet, die sich jeweils durch einen integrierten Prozeß erster Ordnung beschreiben lassen, so daß ihre differenzierten Reihen stationär sind 3. In der späteren Anwendung enthält X t fünf Variablen, genauer das Preisniveau des Inlands, den inländischen Nominalzinssatz, die entsprechenden ausländischen Größen und den Kassakurs in Preisnotierung. Die Π i, i=1,..,k bezeichnen Parametermatrizen, die jeweils von der Dimension pxp sind.

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Referenzen

  1. 1.
    Der hier dargestellte Ansatz geht auf die Beiträge von Johansen, S. (1988), Statistical Analysis of Cointegration Vectors, Journal of Economic Dynamics and Control, Vol. 12, S. 231–254, Johansen, S., Juselius, K. (1990), Maximum Likelihood Estimation and Inference on Cointegration — With Applications to the Demand for Money, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 52, S. 169–210, und Johansen, S. (1991), Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian Vector Autoregressive Models, Econometrica, Vol. 59, S. 1551–1580, zurück.CrossRefGoogle Scholar
  2. 2.
    Vektorautoregressive Prozesse sind insbesondere von Sims, C.A. (1980), Macroeconomics and Reality, Econometrica, Vol. 48, S. 1–48, als Alternative zu den herkömmlichen Techniken zur Beschreibung interdependenter Modelle vorgeschlagen worden. Kennzeichnend für den VAR-Ansatz ist der Verzicht auf eine Einteilung der Variablen in endogene und exogene Größen sowie auf die Einführung von Nullrestriktionen, mit denen bestimmte Variablen a priori ausgeschlossen werden, um so die Identifizierbarkeit von Strukturgleichungen zu gewährleisten. Insgesamt wird ein VAR-Modell, das allgemein als reduzierte Form eines dahinter stehenden simultanen Modells interpretierbar ist, ohne Rückgriff auf eine bestimmte ökonomische Theorie formuliert. Letztere ergibt sich — wenn überhaupt — als Resultat statistischer Tests (insbesondere auf Granger-Kausalität) und markiert damit nicht länger den Ausgangspunkt der empirischen Analyse. Eine allgemeine Darstellung vektorautoregressiver Prozesse auf Lehrbuchniveau bieten etwa Judge, G.G., Carter Hill, R., Griffiths, W.E., Lütkepohl, H., Lee, T.-C. (1988), Introduction to the Theory and Practice of Econometrics, 2nd ed., New York, S. 751–781.CrossRefGoogle Scholar
  3. 3.
    Allgemeiner ist für diesen Ansatz nicht erforderlich, daß sämtliche Komponenten im Vektor Xt integrierte Prozesse erster Ordnung beschreiben. Einige Variablen können bereits in ihren Niveaus stationär sein, was dann im Rahmen der hier diskutierten Testprozedur feststellbar ist. Sollten ferner Größen auftreten, die integrierte Prozesse höherer Ordnung, etwa I(2)-Prozesse bezeichnen, lassen sich diese im Modell (5.1) in ihren ersten Differenzen erfassen.Google Scholar
  4. 5.
    Allgemeiner ist jede Matrix A als Produkt zweier Matrizen darstellbar, die den gleichen Rang wie A aufweisen (‘rank factorization’-Theorem). Ein Beweis dieser Aussage findet sich bei Dhrymes, P.J. (1984), Mathematics for Econometrics, 2nd ed., New York, S. 22f.Google Scholar
  5. 6.
    Siehe auch Johansen, S. (1991), a.a.O., S. 1559ff. Da die Variablen genau dann kointegriert sind, wenn die Parametermatrix n einen reduzierten Rang hat, können hier maximal r=(p-1) linear unabhängige steady-state-Beziehungen existieren. Nur im bivariaten Fall ist der kointegrierende Vektor (bis auf eine multiplikative Konstante) eindeutig, was bereits an früherer Stelle gezeigt worden ist.Google Scholar
  6. 7.
    Sofern r Kointegrationsbeziehungen wirksam sind, wird der vektorielle Prozeß X t von p-r gemeinsamen (stochastischen) Trends bestimmt, die Random Walk-ähnlichen Charakter haben und die Nichtstationarität in den Zeitreihen hervorrufen. Dies ergibt sich aus der Moving-Average-Darstel-lung des Modells (5.1), die mit dem Wold’schen Zerlegungstheorem zunächst für den stationären Prozeß ΔX t zulässig ist. Siehe dazu auch Stock, J.H., Watson, M.W. (1988), Testing for Common Trends, Journal of the American Statistical Association, Vol. 83, S. 1097–1107.CrossRefGoogle Scholar
  7. 8.
    Dazu auch Johansen, S., Juselius, K. (1990), a.a.O., S. 183. Hier mag es nützlich sein, die Spezifikation des Modells noch einmal im Rahmen der Hypothese der spekulativen Effizienz kurz zu erläutern, wo der kointegrierende Vektor eindeutig ist. In diesem Fall sind a und ß jeweils 2×1-Vektoren. Danach enthält ß zwei long-run-Parameter, von denen der eine — der Koeffizient für den Kassakurs — in der Analyse des letzten Abschnitts bereits vor der Schätzung (a priori) auf den Wert 1 normiert wurde (Aufspaltung der Variablen in endogene und exogene Größen). Dort wurde außerdem ein Error-Correction-Modell für den Kassakurs formuliert, dessen Fehlerkorrekturparameter ein Element im α-Vektor darstellt. Die zweite Komponente dieses Vektors resultiert aus einer entsprechenden Error-Correction-Gleichung für die Schwankungen des Terminkurses. Auf ihre Spezifikation ist jedoch — wie bereits oben erwähnt — in der bisherigen univariaten Analyse verzichtet worden.Google Scholar
  8. 9.
    Die in (5.6) erfolgte Aufspaltung von II in die pxr-Matrizen a und ß ist dabei keineswegs eindeutig. So läßt sich stets eine alternative Zerlegung durch die Wahl der Matrizen α(θ′)-1 und βθ erreichen, wobei θ eine reguläre rxr-Matrix beschreibt. In diesem Sinne wird mit den Spalten von β und α lediglich eine (r-dimensionale) Basis für die Kointegrationsbeziehungen und deren Einflüsse in den Error-Correction-Gleichungen des Systems (5.5) festgelegt. Siehe auch Johansen, S., Juselius, K. (1990), a.a.O., S. 173. Somit bezeichnet jede Linearkombination der Spalten von β erneut einen ko-integrierenden Vektor, während sich aus den Spalten der α-Matrix weitere, linear abhängige Feedback-Mechanismen generieren lassen. Das daraus resultierende Identifikationsproblem kann letztlich nur auf der Grundlage der ökonomischen Theorie gelöst werden. 10 Zur folgenden Argumentation siehe auch Johansen, S., Juselius, K. (1990), a.a.O., S. 171, und Johansen, S. (1992), Determination of Cointegrating Rank in the Presence of a Linear Trend, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 54, S. 383–397. Das hier anzuwendende Verfahren ist ein Likelihood-Ratio-Test, der an späterer Stelle genauer erläutert wird.CrossRefGoogle Scholar
  9. 22.
    Die Nullhypothese H(r) ist eigentlich eine Hypothese über den reduzierten Rang der Matrix Π. Sofern dieser gleich r ist, sind die p-r kleinsten Eigenwerte aus (5.28) gleich 0. Da sich die Eigenwerte als quadrierte partielle kanonische Korrelationskoeffizienten interpretieren lassen, sind diese auf das Einheitsintervall beschränkt. Damit nimmt die Teststatistik lediglich Werte im Bereich der positiven reellen Zahlen an, so daß — wie auch bei der folgenden Prüfgröße — ein rechtsseitiger Ablehnbereich resultiert.Google Scholar
  10. 23.
    Nach Juselius, K. (1990), Long-run Relations in a well defined Statistical Model for the Data Generating Process. Cointegration Analysis of the PPP and the UIP Relations, Discussion Paper, No. 90–11, Institute of Economics, University of Copenhagen, S. 15, ist der Trace-Test zu bevorzugen, wenn die Eigenwerte relativ dicht beieinander liegen, während der Maximum-Eigenvalue-Test die besseren Eigenschaften aufweist, wenn sich die Eigenwerte stärker unterscheiden.Google Scholar
  11. 24.
    Die kritischen Werte der beiden Tests hat Osterwald-Lenum, M. (1992), A Note with Quantiles of the Asymptotic Distribution of the Maximum Likelihood Cointegration Rank Test Statistics, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 54, S. 461–471, in Abhängigkeit von der konkreten Modellspezifikation und von p-r, der Anzahl der im System noch bestehenden Einheitswurzeln, für verschiedene Signifikanzniveaus tabelliert.CrossRefGoogle Scholar
  12. 25.
    Diese Modelltypen der monetären Wechselkurserklärung werden im nächsten Abschnitt ausführlicher diskutiert. Die Strategie einer gemeinsamen Überprüfung beider Paritäten wird auch von Johansen, S., Juselius, K. (1992), Testing Structural Hypotheses in a Multivariate Cointegration Analysis of the PPP and the UIP for UK, Journal of Econometrics, Vol. 53, S. 211–244, für den Pfund Sterling/US-Dollar-Kurs und Kohn, W. (1992), Monetäre Wechselkurstheorie und Error-Correction-Modelle, in: Bol, G., Nakhaeizadeh, G., Vollmer, K.-H. (eds), Ökonometrie und monetärer Sektor, Heidelberg, S. 101–129, für den D-Mark/US-Dollar-Kurs gewählt. Diesen Analysen sind Quartalsdaten zugrunde gelegt, während hier Monatsdaten bevorzugt werden.CrossRefGoogle Scholar
  13. 26.
    Die Verwendung von Euromarktzinssätzen ist durch die frühere theoretische Diskussion im Rahmen der ungedeckten Zinsparität gerechtfertigt. Die Systeme sind alternativ auch mit den Zinssätzen für Tagesgeld (Call-Money Rates), Treasury Bill Rates sowie mit 3-Monats-Euromarktzinssätzen geschätzt worden. Die wesentlichen Ergebnisse dieses Abschnitts werden von dieser Ersetzung nicht beeinflußt, sind also durchaus als robust zu bezeichnen. Sie bleiben darüber hinaus erhalten, wenn man anstelle der Monatsenddaten die Monatsdurchschnittswerte heranzieht.Google Scholar
  14. 27.
    Auf die explizite Wiedergabe der Ergebnisse der Einheitswurzeltests ist an dieser Stelle verzichtet worden. Die Resultate sind eindeutig und gelten unabhängig von der konkreten Wahl der Zinssätze. So enthalten Zinssätze auf den Euromärkten für Anlagen mit ein- und dreimonatiger Laufzeit, Call Money- und Treasury Bill Rates genau eine Einheitswurzel.Google Scholar
  15. 28.
    Eine Zusammenstellung der Informationskriterien für den multivariaten Fall findet sich bei Judge, G.G., Carter Hill, R., Griffiths, W.E., Lütkepohl, H., Lee, T.-C. (1988), a.a.O., S. 761f. Nach den Ergebnissen von Paulsen, J. (1984), Order Determination of Multivariate Autoregressive Time Series with Unit Roots, Journal of Time Series Analysis, Vol. 5, S. 115–127, ist hier dem Schwarz-Bayes-schen- und dem Hannan-Quinn-Kriterium der Vorzug zu geben, weil das Maß von Akaike tenden-tiell zu einer Überschätzung der Lagordnung neigt.CrossRefGoogle Scholar
  16. 29.
    Siehe auch Johansen, S., Juselius, K. (1990), a.a.O., S. 170. Die originären Dummyvariablen werden hier zentriert, so daß sie sich — über ein Jahr berechnet — spaltenmäßig zu 0 addieren. Die so konstruierten Dummies sind orthogonal zum konstanten Term in den Regressionsbeziehungen und beeinflussen daher nicht die quantitativen Aussagen, die man hinsichtlich der Steigungsparameter linearer Trends in den Systemen erhält.Google Scholar
  17. 30.
    Genauer wird die vorgegebene Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art nur geringfügig unterschritten, sofern leptokurtische Verteilungen vorliegen oder ARCH-Effekte in den Residuen enthalten sind. Die Abweichungen von den Modellvoraussetzungen wirken sich jedoch gravierender auf die Güte der Tests aus, die insbesondere bei ARCH-Effekten rapide abnimmt. Dazu auch Gardeazabal, I, Regulez, M. (1992), The Monetary Model of Exchange Rates and Cointegration, New York, S. 81ff. Obwohl sich ARCH-Prozesse in der hier bevorzugten Spezifikation (k=5) noch in den Residuen der Zinsgleichungen nachweisen lassen, sind die berichteten Ergebnisse als robust einzustufen, weil man bei alternativen Vorgaben der Laglänge (k=4 und k=6 bis 8) keine wesentlich anderen Resultate erhält.Google Scholar
  18. 32.
    Siehe auch Johansen, S., Juselius, K. (1990), a.a.O., S. 181ff., und Johansen, S. (1991), a.a.O., S. 1556 und S. 1571, Theorem 2.3. Genau genommen erhält man im Modell ohne lineare Trends p+1 Eigenwerte (und damit auch p+1 Eigenvektoren), wenn die S-Matrizen in der charakteristischen Gleichung (5.28) durch die S*-Matrizen ersetzt werden. Der (p+1)-te Eigenwert ist jedoch stets gleich 0 und kann so unberücksichtigt bleiben.Google Scholar
  19. 33.
    Um die Wahl der ökonomisch relevanten stationären Kombination der Niveauvariablen zu objektivieren, mag sich hier eine Gewichtung der kointegrierenden Vektoren mit ihren Eigenwerten empfehlen, die die Stärke ihres Zusammenhangs mit dem stationären Prozeß ΔX t messen. Bei einer solchen Vorgehensweise resultiert für alle drei Systeme eine steady-state-Relation, in der einerseits der Wechselkurs und die Preisniveaus die von der Kaufkraftparitätentheorie her geforderten Vorzeichen aufweisen und zum anderen die (gewichtete) Differenz der Nominalzinssätze enthalten ist.Google Scholar
  20. 34.
    Da in jedem System mehrere kointegrierende Vektoren existieren, wird es im allgemeinen immer möglich sein, Linearkombinationen aus diesen Beziehungen zu finden, in denen die angegebene Restriktion gilt. Empirisch gehaltvolle Aussagen resultieren somit nur dann, wenn die Restriktion von allen Elementen des Kointegrationsraums erfüllt wird. Die hier durchgerührten Hypothesentests sind bei Johansen, S., Juselius, K. (1992), a.a.O., S. 225ff., dargestellt und werden erst an späterer Stelle ausführlicher erläutert.Google Scholar
  21. 35.
    Johansen, S., Juselius, K. (1992), a.a.O., S. 233ff, finden mit dem hier diskutierten Ansatz Evidenz für die Kaufkraftparitätentheorie im Pfund Sterling/US-Dollar-System. Dabei wird jedoch der Weltrohölpreis als zusätzlicher Regressor in das Error-Correction-Modell aufgenommen, der im System als exogene Größe fungiert. Diese Strategie wird insbesondere deshalb gewählt, um die geforderte White-Noise-Eigenschaft der Residuen in den Modellgleichungen bereits bei sehr niedrigen Lagstrukturen approximativ zu gewährleisten. Sie kann jedoch auch die erzielbaren Ergebnisse nicht nur unwesentlich beeinflussen. In der Arbeit von Cheung, Y.-W., Lai, K. S. (1993), Long-Run Purchasing Power Parity during the Recent Float, Journal of International Economics, Vol. 34, S. 181–192, wird dagegen ein trivariates Error-Correction-Modell unterstellt, das lediglich den Wechselkurs und die beiden Preisniveaus enthält, so daß die Zinssätze nicht mehr an der Schätzung des Kointegrationsraums beteiligt sind. Obgleich ein derartiges Modell zu ineffizienten Parameterschätzungen führen muß, wenn die Interaktionen von Zinssätzen und Güterpreisen im langfristigen Anpassungsprozeß tatsächlich relevant sind, läßt sich die Kaufkraftparitätentheorie überraschend für alle Währungen bestätigen, sofern man auf die Parameterrestriktionen der ökonomischen Theorie verzichtet. Dieses optimistische Resultat kann jedoch in der Studie von Kugler, P., Lenz, C. (1993), Multivariate Cointegration Analysis and the Long-Run Validity of PPP, Review of Economics and Statistics, Vol. 75, S. 180–187, im allgemeinen nicht unterstützt werden.CrossRefGoogle Scholar

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© Springer Fachmedien Wiesbaden 1996

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