Zusammenfassung
Ein zentraler Bestandteil insbesondere von monetären Modellen der Wechselkurserklärung ist die Hypothese der Kaufkraftparität, die auf Cassel 1 zurückgeht und als Gleichgewichtsbedingung das Bindeglied zwischen internationalen Preisentwicklungen und Wechselkursschwankungen darstellt.. Ausgangspunkt ist die Vorstellung, daß der Wert einer Währung fundamental durch ihre Kaufkraft — gemessen als reziproker Wert des Preisniveaus — determiniert wird, d.h. durch die Menge an Gütern und Dienstleistungen, die mit einer Geldeinheit erworben werden kann. Die Kaufkraftparität (Purchasing Power Parity = PPP) zwischen zwei Währungen
in der Pt* das in- und Pt* das ausländische Preisniveau jeweils im Zeitpunkt t bezeichnet, gibt dann ein Austauschverhältnis der beiden Währungen an, das dem inversen Verhältnis zwischen in- und ausländischer Kaufkraft entspricht. Die Kaufkraftparitätentheorie in ihrer absoluten Version nimmt an, daß der (nicht beobachtbare) langfristig gleichgewichtige Wechselkurs identisch mit der Kaufkraftparität ist oder wesentlich von ihr bestimmt wird und der kurzfristige Wechselkurs, der von einer Vielzahl anderer Einflüsse (etwa internationale Kapitalbewegungen, Wechselkurserwartungen) abhängig sein kann, langfristig seinem Gleichgewichtswert und somit der Kaufkraftparität entspricht. Im langfristigen Modellgleichgewicht muß daher die Bedingung
in der St den aktuellen Wechselkurs (in Preisnotierung) bezeichnet, erfüllt sein.
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Referenzen
Cassel, G. (1916), The Present Situation of the Foreign Exchanges, Economic Journal, Vol. 26, S. 64, und ders., (1918), Abnormal Deviations in International Exchanges, Economic Journal, Vol. 28, S. 413. Erste Ansätze der Theorie reichen nach Einzig, P. (1970), The History of Foreign Exchange, S. 145f., bis in das 16. Jahrhundert zurück. Einen allgemeinen Überblick zur Kaufkraftparitätentheorie gibt Officer, L.H. (1976a), The Purchasing-Power-Parity Theory of Exchange Rates: A Review Article, International Monetary Fund Staff Papers, Vol. 23, S. 1–60.
Der monetäre Ansatz der Wechselkurserklärung in der Version vollkommen flexibler Güterpreise postuliert darüber hinaus auch die kurzfristige Gültigkeit der Kaufkraftparitätentheorie in ihrer absoluten Version.
In Hinblick auf statistisch ermittelte Werte ist natürlich zu beachten, daß für die Berechnung des realen Wechselkurses die allgemeinen Preisniveaus der betreffenden Länder verwendet werden, während in die Terms of Trade nur die Import- und Exportpreise eingehen.
Die hier verwendete Terminologie findet sich in den meisten Lehrbüchern zur Zeitreihenanalyse, z.B. in Pindyck, R., Rubinfeld, D. (1981), Econometric Models and Economic Forecasts, S. 497f. Im folgenden ist mit Stationarität stets ihre schwache Form, also die zeitliche Invarianz der Mittelwert-und Autokovarianzfunktion des stochastischen Prozesses gemeint.
Granger, C.W.J. (1969), Investigating Casual Relationships by Econometric Models and Cross-Spectral Methods, Econometrica, Vol. 37, S. 424–438. Ein Beispiel für diesen wechselseitigen Zusammenhang ist die Abwertungs-Inflationsspirale: Nach einer inländischen Preissteigerung liegt der Wechselkurs unterhalb der Kaufkraftparität, so daß zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts eine Abwertung der Inlandswährung (S steigt) erforderlich ist, die ihrerseits einen Anstieg der Importgüterpreise (gemessen in inländischer Währung) und damit erhöhte Produktions- und Lebenshaltungskosten nach sich zieht. Werden daraufhin Lohnerhöhungen durchgesetzt, sind erneute Preissteigerungen für die im Inland erzeugten Güter zu erwarten, die dadurch ihre aufgrund der Abwertung zurückgewonnene Wettbewerbsfähigkeit verlieren, so daß sich eine weitere Abwertung einstellt. Der Prozeß, der durch eine fortwährende Aufwärtsentwicklung von Wechselkurs, Löhnen, inländischem Preisniveau und Kaufkraftparität gekennzeichnet ist, bedarf allerdings der Alimentierung durch eine expansive Geldpolitik, da bei konstantem Geldangebot permanente Lohn- und Preissteigerungen zu Beschäftigungs- und Produktionseinbußen führen, die die Spirale letztlich durchbrechen. Dazu auch Yeager, L.B., (1976), International Monetary Relations: Theory, History and Policy, 2nd ed., New York, S. 223ff.
Dagegen ist in einem System fester Wechselkurse bei exogenen ausländischen Güterpreisen das inländische Preisniveau die endogene Größe, die bei Abweichungen von der Kaufkraftparität reagiert, so daß Preisauftriebstendenzen im Ausland durch den Mechanismus der internationalen Güterarbitrage auf das Inland übertragen werden. Dieser direkte internationale Preiszusammenhang scheint bei flexiblen Wechselkursen aufgehoben, indem die inländische Inflationsrate durch Wechselkursanpassungen von inflatorischen Entwicklungen im Ausland abgekoppelt werden kann.
Genauer sind nur die Preise der auf dem Weltmarkt gehandelten homogenen Güter direkt miteinander verbunden. Preissteigerungen bei diesen Gütern weiten sich jedoch auch auf andere Güter aus, da Anbieter international gehandelter Güter ihre Produktion ausdehnen und daher vermehrt Vorprodukte und Arbeitsleistungen nachfragen. Diese erhöhte Nachfrage führt zu Preissteigerungen an den betroffenen Faktormärkten, die sich letztlich auch auf die Märkte für nur national gehandelte Güter ausweiten.
Die komparative (relative) Form der Kaufkraftparität wird bereits von Cassel, G. (1918), a.a.O., S. 413, favorisiert.
Die komparative Version impliziert die langfristige Konstanz des realen Wechselkurses, der jedoch im Unterschied zur absoluten Fassung der Kaufkraftparitätentheorie nicht mehr notwendig gleich 1 ist.
Zum folgenden Argument Officer, L.H. (1976a), a.a.O., S. 33f. Genauer handelt es sich bei nationalen Gütern um Güter, die vor der Weltmarktkonkurrenz geschützt sind. Produkte, die einen inländischen Absatzmarkt haben, jedoch in einer Importsubstitutionskonkurrenz stehen, zählen danach zu den internationalen Gütern.
Gleichung (3.5) gilt realistisch nur näherungsweise, da institutionelle Beschränkungen eine völlige Übereinstimmung der Preise internationaler Güter verhindern. Außerdem kann das Gewichtungsschema innerhalb der Preisniveaus für die auf dem Weltmarkt gehandelten homogenen Güter von Land zu Land divergieren, so daß die Kaufkraftparitätentheorie nur für Volkswirtschaften überprüfbar ist, deren strukturelle Determinanten sich nicht wesentlich unterscheiden.
Für die komparative Form muß angenommen werden, daß diese realen Faktoren im Zeitablauf konstant sind oder sich gleichmäßig verändern.
Das Argument eines Produktivitäts-Bias zwischen Kaufkraftparität und Wechselkurs geht auf Balassa, B. (1964), The Purchasing-Power Parity Doctrine: A Reappraisal, Journal of Political Economy, Vol.72, S. 584–596, zurück.
Die folgende Argumentation liegt auch dem skandinavischen Modell struktureller Inflationserklärung in wachsenden Volkswirtschaften zugrunde, das von Aukrust, O. (1977), Inflation in the Open Economy: A Norwegian Model, in: Krause, L.B., Salant, W.S. (eds), Wordwide Inflation, S. 107–153, Washington, und Edgren, G., Faxen, K.-0., Ohdner, C.-E. (1973), Wage Formation and the Economy, London, entwickelt wurde.
Balassa, B. (1964), a.a.O., S. 588ff., testet die Hypothese u.a. durch Berechnung der Korrelation zwischen realem Wechselkurs und Pro-Kopf-Einkommen für 12 Industrieländer. Mit einem Koeffizienten von 0.92 wird deutlich die Vermutung eines Produktivitäts-Bias zwischen Kaufkraftparität und Wechselkurs belegt. Obwohl seit der grundlegenden Arbeit von Balassa kaum Zweifel an der prinzipiellen Relevanz eines Produktivitäts-Bias bestehen, haben spätere Studien, vor allem Officer, L.H. (1976b), The Productivity Bias in Purchasing Power Parity: An Econometric Investigation, International Monetary Fund Staff Papers, Vol. 23, S. 545–579, auf methodische Defizite in der empirischen Analyse aufmerksam gemacht und daher überwiegend Schwierigkeiten gehabt, die Ergebnisse zu reproduzieren. Siehe etwa Officer, L.H. (1976b), a.a.O., S. 554ff. Die daher insgesamt nur schwache empirische Basis scheint zumindest teilweise durch die bevorzugte Anwendung von Querschnittsanalysen erklärbar, da sich bei Verwendung von Zeitreihendaten Resultate ergeben, die eher mit der Balassa-Hypothese vereinbar sind. Dazu auch Hsieh, D.A. (1982), The Determination of the Real Exchange Rate: The Productivity Approach, Journal of International Economics, Vol. 12, S. 355–362, sowie Bahmani-Oskoodee, M. (1992), A Time-Series Approach to test the Productivity Bias Hypothesis in Purchasing Power Parity, Kyklos, Vol. 45, S. 227–236, der die Hypothese mit der Technik kointegrierter Prozesse überprüft, auf die weiter unten noch eingegangen wird.
Gleichwohl muß auch eine Extrapolation der Balassa-Hypothese auf Industrie- und Entwicklungsländer abgelehnt werden. Bei einer gemeinsamen Untersuchung beider Ländergruppen sind systematische Abweichungen der Kaufkraftparitäten von den nominalen Wechselkursen nicht mehr allein auf divergierende Produktivitätsfortschritte, sondern in entscheidendem Maß durch eine Anzahl weiterer Faktoren, die sich aus der spezifisch unterschiedlichen Situation der Entwicklungsländer ergeben (hohe Bedeutung nationaler Güter, Verfügbarkeit von Rohstoffen, steigender internationaler Kapitalbedarf zum Auf- und Ausbau industrieller Strukturen) erklärbar, so daß die Hypothese eines Produktivitäts-Bias in diesem Fall nur schwer empirisch überprüfbar ist.
Ermittelte Nachfrageelstizitäten schwanken überwiegend zwischen -0.3 und -1.3 für Importgüter und zwischen -0.8 und -3.3 für Exportgüter. Bei Berücksichtigung einer intertemporalen Anpassung internationaler Güterströme an veränderte Preisrelationen durch Einbeziehung von verzögerten Export- und Importpreisen sind die entsprechenden Elastizitäten absolut geringer. Dazu Goldstein, M., Kahn, M.S. (1976), Large versus small Price Changes and the Demand for Import, International Monetary Fund Staff Papers, Vol. 23, S. 221, und dieselben (1978), The Supply and Demand for Exports: A Simultaneous Approach, Review of Economics and Statistics, Vol. 60, S. 278ff.
Genauer muß die Bedingung, die durch den Mechanismus der internationalen Güterarbitrage einen einheitlichen Weltmarktpreis (Law of one Price) etabliert, für jedes einzelne international gehandelte homogene Gut separat gelten. Im Gegensatz zum ‘Law of one Price1 wird mit der Kaufkraftparitätentheorie ein einheitlicher Weltmarktpreis für ein bestimmtes Güterbündel postuliert, was zusätzlich international identische Gewichtungen der gehandelten Güter in den verwendeten Preisindices erfordert. Zu den frühen Verfechtern einer arbitrageorientierten Version zählen Angell, J.W. (1922), International Trade under inconvertible Paper, Quarterly Journal of Economics, Vol. 36, S. 364, und Pigou, A.C. (1920), Some problems of foreign exchanges, Economic Journal, Vol. 30, S. 460–472.
Cassel, G. (1928), Post-War Monetary Stabilization, New York, S. 33, befürwortet die Verwendung eines umfassenden Preisniveaus, das nach heutiger Terminologie statistisch am ehesten durch den Konsumentenpreisindex erfaßbar wäre. In ähnlicher Weise auch Haberler, G. (1945), The choice of Exchange Rates after the War, American Economic Review, Vol. 35, S. 312.
Die monetäre Theorie des Wechselkurses wird erst an späterer Stelle ausführlich dargestellt. Einen Überblick geben MacDonald, R. und Taylor, M.P. (1992), Exchange Rate Economics: A Survey, International Monetary Fund Staff Papers, Vol. 39, S. 1–57.
Dazu die grundlegende Arbeit von Frenkel, J.A. (1976), A Monetary Approach to the Exchange Rate: Doctrinal Aspects and Empirical Evidence, Scandinavian Journal of Economics, Vol. 78, S. 200–224, hier insbesondere S. 203f.
Die reale Geldnachfrage ist positiv vom Realeinkommen und negativ vom Nominalzinssatz abhängig. Die Begründung dieser Verhaltenshypothesen findet sich in jeder Einführung in die Makroökonomie, z.B. bei Ackley, G. (1978), Macroeconomics: Theory and Policy, New York, S. 289ff. Eine aktuelle Diskussion weiterer Einflußgrößen der makroökonomischen Geldnachfragefunktion einschließlich ihrer empirischen Relevanz bieten z.B Gaab, W., Seitz, H. (1988), Zur Frage der Stabilität der Geldnachfrage Ml, in: Franz, W., Gaab, W., Wolters, J. (eds.), Theoretische und angewandte Wirtschaftsforschung, Heidelberg, S. 93–121.
Eine genauere Diskussion des monetären Ansatzes bedarf der Einfuhrung ergänzender Hypothesen und wird daher erst zu einem späteren Zeitpunkt erfolgen. Speziell ergibt sich nach einer inländischen monetären Expansion bei unveränderter Geldnachfrage eine äquiproportionale Steigerung des Preisniveaus, die von einer Abwertung der heimischen Währung in gleichem Ausmaß begleitet ist, so daß die Kauikraftparitätentheorie die quantitätstheoretische Vorstellung der Neutralität des Geldes auf offene Volkswirtschaften überträgt.
Die Hypothese eines permanenten Geldmarktgleichgewichts impliziert, daß sich bei Ungleichgewichten sofort Anpassungsprozesse ergeben, die das Bestandsgleichgewicht ohne Verzögerung wieder herstellen.
Gleichwohl ist die Annahme vollständig flexibler Güterpreise dann gerechtfertigt, wenn die von den wirtschaftspolitischen Instanzen angebotene Geldmenge, wie in Zeiten der deutschen Hyperinflation in den frühen zwanziger Jahren insbesondere aufgrund der Reparationsverpflichtungen des Deutschen Reiches, übermäßig stark expandiert. Dazu auch Frenkel, J.A. (1978), Purchasing-Power Parity: Doctrinal Perspective and Evidence from the 1920s, Journal of International Economics, Vol. 8, S. 169–191.
Dornbusch, R.(1976), Expectations and Exchange Rate Economics, Journal of Political Economy, Vol. 84, S. 1161–1176, hier speziell S. 1166.
Eine Überprüfung des ‘Law of one Price’ unter Verwendung von Preisindices für bestimmte Erzeugnisgruppen industrieller Produkte auf Basis der Kategorien der SITC (Standard International Trade Classification), die u.a. von der OECD verwendet werden, erfolgt bei Isard, P.(1977), How far can we push the “Law of one Price”?, American Economic Review, Vol. 67, S. 942–948. Eine weitere Studie, die zu ähnlichen Schlußfolgerungen gelangt, ist Kravis, LB., Lipsey, R.E. (1978), Price behaviour in the Lights of Balance of Payments Theories, Journal of International Economics, Vol. 8, S. 193–246, hier insbesondere S. 210ff.
Die Kaufkraftparitäten werden empirisch zumeist auf Basis des Consumer Price Index (= CPI) berechnet, der nach deutscher Terminologie dem Preisindex für die Lebenshaltung entspricht. Bei einer stärkeren Ausrichtung auf die internationalen Güter wird bevorzugt der Preisindex für gewerbliche Erzeugnisse (Wholesale Price Index = WPI) verwendet, der insbesondere nicht die Preise für Dienstleistungen enthält, die historisch und länderspezifisch begründet den nationalen Gütern zugerechnet werden.
Die komparative Form der Kaufkraftparitätentheorie wird getestet, indem in (3.12) anstelle der absoluten Größen die Änderungsraten der Variablen erfaßt werden. Ergänzend läßt sich die Kaufkraftparitätentheorie in einem System fester Wechselkurse überprüfen, indem das inländische Preisniveau auf ein vorgegebenes ausländisches Preisniveau regressiert wird. Die Exogenität des ausländischen Preisniveaus, das zumeist als gewichteter Durchschnitt der Preisniveaus der wichtigsten Handelspartner des Inlands gebildet wird, läßt sich mit der Annahme des kleinen Landes begründen, unter der ökonomische Vorgänge im Inland keinerlei Einfluß auf die so konstruierten ausländischen Variablen ausüben können. Eine empirische Studie, die unter der skizzierten Strategie im Untersuchungszeitraum von 1955 bis 1970 die Kaufkraftparitätentheorie insbesondere in der komparativen Form für die meisten westeuropäischen Länder stützt, ist Genberg, H. (1977), Policy Autonomy of Small Countries, in: Lundberg, E. (ed.), Inflation Theory and Anti-Inflation Policy, Proceedings of a Conference held by the International Economic Association at Saltsjöbaden, Sweden, London, S. 183–203.
Die Instrumente der ersten Stufe lassen sich z.B. durch eine Regression der Kaufkraftparitäten auf einen linearen Trend konstruieren, der die divergierenden Entwicklungen der nationalen Preisniveaus im Untersuchungszeitraum approximiert.
Dazu Cochrane, D., Orcutt, G.H. (1949), Application of Least Squares Regression to Relationships containing Autocorrelated Error Terms, Journal of the American Statistical Association, Vol. 44, S. 32–61. Eine Zusammenstellung der gängigen Verfahren zur Integration von Autokorrelation erster Ordnung in den Schätzansatz geben z.B. bei Pindyck, R.S., Rubinfeld, D.L. (1981), a.a.O., S. 157f.
Ein Vergleich der unterschiedlichen Schätzergebnisse bei alternativen Kleinst-Quadrate-Ansätzen findet sich etwa bei Krugman, P.R. (1978), Purchasing Power Parity and Exchange Rates: Another Look at the Evidence, Journal of International Economics, Vol. 8, S. 397–407.
Beispiele empirischer Studien sind die einflußreichen Beiträge von Frenkel, J.A. (1981a), The Collapse of Purchasing Power Parities during the 1970s, European Economic Review, Vol. 16, S. 145–165, und ders., (1981b), Flexible Exchange Rates, Prices and the Role of “News”: Lessons from the 1970s, Journal of Political Economy, Vol. 89, S. 665–705.
Die Kaufkraftparitätentheorie zeigt für die Phase flexibler Wechselkurse zwischen den beiden Weltkriegen, die 1925 mit der Rückkehr des Vereinigten Königreichs zum Goldstandard beendet war, weitaus bessere Ergebnisse, so daß die Nullhypothese für die Mehrzahl der untersuchten Wechselkurse nicht abgelehnt werden kann. Allerdings ergibt sich auch hier eine hohe positive Autokorrelation der Residuen, die als Hinweis auf die Fehlspezifikation des Modells, konkret auf den Aus-schluß relevanter erklärender Variablen interpretierbar ist. Zu den empirischen Ergebnissen Frenkel, J.A. (1978), a.a.O., S. 177ff., und Krugman, P.R. (1978), a.a.O., S. 405.
So betrug das Wachstum der Arbeitsproduktivität in der verarbeitenden Industrie zwischen 1961 und 1971 in den USA 36,3%, in der Bundesrepublik Deutschland 70% und in Japan 154,6%. Im gleichen Zeitraum wurde der US-Dollar real jedoch im Mittel nur um 4,8% abgewertet. Dazu Branson, W.H. (1981), Comments on the Frenkel Paper, European Economic Review, Vol. 16, S. 167–171.
Das gilt insbesondere, wenn die Kaufkraftparitäten auf der Grundlage des Konsumentenpreisindex (CPI) berechnet werden. Empirische Ergebnisse für die Pfund Sterling/DM- und die Franc/DM-Parität finden sich bei Frenkel, J.A. (1981a), a.a.O., S. 151.
Als Verfahren, das eine mögliche Korrelation zeitgleicher Störterme in unterschiedlichen Gleichungen berücksichtigt, bietet sich zunächst der Seemingly Unrelated Regressions Equations (SURE)-Schätzer von Zellner, A. (1962), An Efficient Method of Estimating Seemingly Unrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias, Journal of the American Statistical Association, Vol. 57, S. 348–368, an, der im Vergleich zur OLS-Methode effizient ist. Wird zusätzlich in Rechnung gestellt, daß die Kaufkraftparitäten in den Regressionen nicht als vorherbestimmte Größen zu interpretieren sind, empfiehlt sich dagegen z.B. die dreistufige Methode der kleinsten Quadrate (Three Stage Least Squares = 3SLS), die etwa bei Hakkio, C. S. (1984), A Re-Examination of Purchasing Power Parity: A multi-country and multi-period Study, Journal of International Economics, Vol. 17, S. 265–277, eingesetzt wird.
Dabei ist allerdings zu beachten, daß die Anpassungsprozesse langwierig verlaufen, was im wesentlichen auf die geringere Volatilität der Güterpreise im Vergleich zu nominalen Wechselkursen zurückzuführen ist. Sofern z.B. der Autokorrelationskoeffizient der Residuen 0.9 beträgt, was angesichts der bisher diskutierten empirischen Studien eher als zu niedrig gegriffen erscheint, wird eine einmal vorhandene Diskrepanz zwischen nominalem Wechselkurs und Kaufkraftparität innerhalb einer Zeitspanne von ungefähr 44 Perioden, d.h. bei Verwendung von Monatsdaten in nahezu 4 Jahren bis auf 1% abgebaut.
Die These eines Random Walk des realen Wechselkurses geht auf den Beitrag von Roll, R. (1979), Violations of Purchasing Power Parity and their Implications for efficient international Commodity Markets, in: Sarnat, M, Szego, G. (eds.), International Finance and Trade, Vol. 1, Cambridge, Ch. 6, zurück. Darüber hinaus wird dort eine ex ante Version der Kaufkraftparitätentheorie, genauer eine Beziehung zwischen den erwarteten anstelle der realisierten, ex post Größen favorisiert, die insbesondere mit der gefundenen Nichtstationarität konsistent ist. Dazu auch Adler, M., Lehmann, B. (1983), Deviations from Purchasing Power Parity in the Long Run, Journal of Finance, Vol. 38, S. 1471–1487. Ein Beispiel für eine Studie, die einen Random Walk realer Wechselkurse in einem multivariaten Kontext ablehnt, ist Abuaf, N., Jorion, P. (1990), Purchasing Power Parity in the Long Run, Journal of Finance, Vol. 45, S. 157–174. Dort werden allerdings Jahresdaten verwendet, die bis zur Jahrhundertwende zurückgehen.
In ähnlicher Weise auch Corbae, D., Ouliaris, S. (1988), Cointegration and Tests of Purchasing Power Parity, Review of Economics and Statistics, Vol. 70, S. 508–511, und Mark, N.C. (1990), Real and Nominal Exchange Rates in the Long Run, Journal of International Economics, Vol. 28, S. 115–136.
Dieser Einwand wird ebenso bei Taylor, M. (1988), An Empirical Examination of long run Purchasing Power Parity using Cointegration Techniques, Applied Economics, Vol. 20, S. 1369–1381, und Cheung, Y.-W., Lai, K.S. (1993), Long-run Purchasing Power Parity during the Recent Float, Journal of International Economics, Vol. 34, S. 181–192, diskutiert.
Derartige Prozesse bezeichnet man seit der grundlegenden Arbeit von Nelson, C.R., Plosser, C.I.(1982), Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series: Some Evidence and Implications, Journal of Monetary Economics, Vol. 10, S. 139–162, als differenz-stationär, um sie von den klassischen Komponentenmodellen der Zeitreihenanalyse zu unterscheiden. Alternativ ist der Begriff der ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average)-Modelle, der auf Box, G.E.P., Jenkins, G.M. (1970), Time Series Analysis Forecasting and Control, San Francisco, zurückgeht und sich in den gängigen Lehrbüchern durchgesetzt hat.
Das autoregressive Polynom der Zeitreihendarstellung enthält in diesem Fall genau d Lösungen, die gleich 1 sind, kurz d Wurzeln auf dem Einheitskreis. Siehe auch Granger, C.W.J. (1981), Some Properties of Time Series Data and their Use in Econometric Model Specification, Journal of Econometrics, Vol. 16, S. 121–130.
Es wird hier unterstellt, daß sämtliche Komponenten des Vektors Xt den gleichen Integrationsgrad aufweisen. Diese Annahme vereinfacht lediglich die Darstellung des folgenden Konzeptes. Allgemeiner können sich die Ordnungen der Integration der einbezogenen Variablen voneinander unterscheiden, was an späterer Stelle noch genauer berücksichtigt wird.
Die Definition kointegrierter Prozesse geht auf den Beiträge von Granger, C.W.J.(1983), Co-Integrated Variables and Error-Correcting Models, University of California, San Diego, Discussion Paper 13/83 und Engle, R.F., Granger, C.W.J. (1987), Cointegration and Error Correction: Representation, Estimation and Testing, Econometrica, Vol. 55, S. 251–276, zurück. Eine Zusammenfassung des inzwischen erreichten Stands der theoretischen Diskussion geben Banerjee, A., Hendry, D.F. (1992), Testing Integration and Cointegration: An Overview, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 54, S. 225–255.
Siehe auch Granger, C.W.J. (1986), Developments in the Study of Cointegrated Economic Variables, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 48, S. 213–228.
Dazu Engle, R.F., Granger, C.W.J. (1987), a.a.O., S. 264ff. Eine Darstellung auf Lehrbuchniveau findet sich inzwischen bei Charemza, W.W., Deadman, D.F. (1992), New Directions in Econometric Practice, Leicester, Ch. 5. Im folgenden werden die Begriffe Kointegration und Stationarität der Linearkombination synonym verwendet.
Einen Überblick über die auf dieser Stufe einsetzbaren Testverfahren geben Diebold, F.X., Nerlove, M. (1990), Unit Roots in Economic Time Series: A Selective Survey, in Fomby, T., Rhodes, G. (eds.), Advances in Econometrics, Vol. 8, Greenwich.
So ist der Parametervektor z.B. im Modell (3.13) vorab bekannt und genauer durch a’ = (1 – 1) gegeben. Allerdings wird dort von der möglichen Existenz von systematischen Meßfehlern abstrahiert bzw. das sich daraus ergebende Problem als empirisch unbedeutend eingestuft.
Im klassischen Modell der multiplen Regression mit stationären Variablen konvergieren die OLS-Schätzungen mit der Rate n-1/2 gegen die wahren Parameterwerte, wobei n den Beobachtungsumfang bezeichnet. Superkonsistenz bedeutet dagegen, daß der mittlere quadratische Fehler in kointegrierten Systemen mit einer schnelleren Rate von n-1 gegen 0 geht. Das Ergebnis läßt sich intuitiv begreifen, da der bei Kointegration stationäre Residuenterm mit wachsendem Stichprobenumfang gegenüber den nichtstationären ökonomischen Variablen immer unbedeutender wird. Umgekehrt ist damit auch deutlich, daß die Eigenschaft der Superkonsistenz nur im Fall der Kointegration gelten kann. Den formalen Beweis für diese Aussage hat Stock, J.H. (1987), Asymptotic Properties of Least Squares Estimators of Co-Integrating Vectors, Econometrica, Vol. 55, S. 1035–1056, erbracht.
Diese Eigenschaften, die bereits im klassischen Regressionsmodell zutreffen, gelten hier in besonderem Maße, weil die durchgeführte Regression die gesamte Dynamik zwischen den einbezogenen Variablen nicht erfaßt und so in die Residuen verlagert.
Die stationären Residuen lassen sich in einem weiteren Schritt im Rahmen eines Error-Correction Modells (ECM) zur Prognose der kurzfristigen Abweichungen von der langfristig geltenden steady-state-Relation einsetzen. Die Existenz eines Fehlerkorrekturmechanismus folgt dabei aus dem Granger-Repräsentationstheorem, nach dem zu jedem kointegrierten System ein derartiges Modell korrespondiert und umgekehrt, so daß es in einem einheitlichen ökonometrischen Rahmen möglich wird, kurz- und langfristige Beziehungen gemeinsam zu untersuchen. Dazu genauer Engle, R.F., Granger, C.W.J. (1987), a.a.O., S. 255ff., die einen formalen Beweis geben.
Die Teststatistik und ihre Verteilung unter der Nullhypothese eines I(l)-Prozesses wird genauer bei Dickey, D.A., Fuller, W.A. (1979), Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root, Journal of the American Statistical Association, Vol. 74, S. 427–431, und dieselben, (1981), Likelihood Ratio Test Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root, Econometrica, Vol. 49, S. 1057–1072, diskutiert. Einen Überblick mit Anwendungsbeispielen geben Dickey, D.A., Bell, W.R., Miller, R.B. (1986), Unit Roots in Time Series Models: Tests and Implications, American Statistician, Vol. 40, S. 12–26.
So auch Said, S.E., Dickey, D.A. (1984), Testing for Unit Roots in Autoregressive Moving-Average Models with unknown Order, Biometrika, Vol. 71, S. 599–607. Eine Alternative besteht natürlich darin, autokorrelierte Störterme explizit im Modellansatz zu berücksichtigen. Genau diese Strategie liegt den Phillips-Perron-Verfahren zugrunde, die von Phillips, P.C.B. (1987), Time Series Regression with a Unit Root, Econometrica, Vol. 55, S. 277–301, und Phillips, P.C.B., Perron, P. (1988), Testing for a Unit Root in Time Series Regression, Biometrika, Vol. 75, S. 335–346, vorgeschlagen werden. Derartige Testverfahren werden hier auf der ersten Stufe des Algorithmus jedoch noch nicht berücksichtigt. Eine Begründung für diese Entscheidung wird im Verlauf der folgenden Argumentation nachgereicht.
Die modifizierte Q-Statistik wurde bereits im Zusammenhang mit der Random Walk-Hypothese für den nominalen Wechselkurs diskutiert. Eine Darstellung der üblichen Informationskriterien geben Judge, G.G., Griffiths, W.E., Hill, R.C., Lütkepohl, H., Lee, T.-C. (1984), The Theory and Practice of Econometrics, 2nd ed., New York.
Genauer geht die t-Verteilung in einer solchen Situation an der Grenze nicht länger gegen die Stan-dardnormalverteilung. Ihre asymptotische Verteilung verläuft vielmehr rechtsschief relativ zum Nullpunkt, so daß die Nullhypothese bei Verwendung dieser Statistik zu oft abgelehnt wird. Siehe dazu auch Phillips, P.C.B., Perron, P. (1988), a.a.O., S. 338f, Theorem 1.
Die kritischen Werte der Dickey-Fuller-Tests unterscheiden sich nach dem Datengenerierungs-prozeß, der für die betrachteten Zeitreihen konkret unterstellt wird. Sie sind für diese drei Modelle abhängig von den Freiheitsgraden und von der gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit bei Fuller, W.A. (1976), Introduction to Statistical Time Series, New York, S. 373, Tabelle 8.5.2, angegeben.
Neben der bereits diskutierten Literatur lassen sich hier z.B. die Arbeiten von Meese, R.A., Singleton, K.J. (1982), On Unit Roots and the Empirical Modeling of Exchange Rates, Journal of Finance, Vol. 37, S. 1029–1035, und Hakkio, C.S. (1986), Does the Exchange Rate follow a Random Walk? A Monte Carlo Study of four Tests for a Random Walk, Journal of International Money and Finance, Vol. 5, S. 221–229, anfuhren.
Den Ergebnissen in Tabelle 3.2 liegen die ursprünglichen, also saisonbehafteten Preisreihen zugrunde. Die Tests wurden ergänzend auch für saisonbereinigte Daten durchgeführt. Da sich jedoch keine qualitativ unterschiedlichen Ergebnisse ergeben, wird hier auf eine explizite Darstellung ihrer Resultate verzichtet.
Bei einer Ablehnung der Nullhypothese für die Ausgangsreihe ist diese aufgrund eines deterministischen Trends nicht mittelwertstationär und folglich auch nicht stationär. Sie ist jedoch frei von stochastischen Trends, enthält also keine varianzinstationäre Komponente. In diesem Fall erhält man einen stationären Prozeß nicht durch Differenzierung, sondern vielmehr durch Eliminierung der linearen Trendkomponente. Es ist dies die Unterscheidung zwischen einem trendstationären und einem differenz-stationären Prozeß, die bereits an früherer Stelle angesprochen wurde.
Genauer wird die Nullhypothese eines 1(1)-Prozesses bereits bei mäßig hohen negativen Parametern der MA(l)-Komponente zu oft verworfen. Dazu genauer Schwert, G.W. (1989), Tests for Unit Roots: A Monte Carlo Investigation, Journal of Business and Economics Statistics, Vol. 7, S. 147–159, an dessen Vorschlägen sich auch die in Tabelle 3.2 verwendeten Laglängen orientieren. Da die Phillips-Perron-Verfahren noch weitaus sensitiver auf dieses Phänomen reagieren, wird hier von einer Darstellung ihrer Ergebnisse abgesehen.
Während sich für die Reihen der Bundesrepublik Deutschland und Großbritanniens unter der Nullhypothese eines I(l)-Prozesses eine Schätzung des Parameters der MA(l)-Komponente in der Größenordnung von -0.36 ergibt, erhält man für das japanische Preisniveau einen Wert von -0.22. Im Fall der USA ergibt sich dagegen ein Schätzwert von -0.48, so daß das Problem besonders in dieser Preisreihe von Bedeutung ist.
Die Strategie, hohe Verzögerungen der endogenen Variablen für den ADF-Test zu berücksichtigen, empfehlen auch Molinas, C. (1986), A Note on Spurious Regressions with Integrated Moving Average Errors, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 48, S. 279–282, und Schwert, G.W. (1989), a.a.O., S. 158. Da ein I(2)-Prozeß im übrigen einen I(l)-Prozeß für seine ersten Differenzen impliziert, folgt aus der Argumentation insbesondere auch die Nichtstationarität der realisierten nationalen Inflationsraten.
Siehe auch die Simulationsergebnisse bei Diebold, F.X., Rudebusch, G.D.(1991), On the Power of Dickey-Fuller-Tests against Fractional Alternatives, Economics Letters, Vol. 35, S. 155–160, Agiakloglou, C, Newbold, P. (1992), Empirical Evidence on Dickey-Fuller-type Tests, Journal of Time Series Analysis, Vol. 13, S. 471–483, und Hassler, U., Wolters, J. (1993), On the Power of Unit Root Tests against Fractional Alternatives, Freie Universität Berlin, Discussion Paper 02/93.
Eine zweite Einheitswurzel ergibt sich bei den Preisreihen der Bundesrepublik Deutschland und der USA ab einem Lag von 8, während sich das entsprechende Ergebnis für Großbritannien und Japan einstellt, wenn in den Regressionen Verzögerungen bis zu 10 Perioden berücksichtigt werden. Die Interpretation des japanischen Preisniveaus als trendstationärer Prozeß läßt sich darüber hinaus erst ab einer vorgegebenen Laglänge von 6 Perioden nicht mehr rechtfertigen.
In der empirisch orientierten Literatur werden zumeist die aus den Preisreihen berechneten Kauf-kraftparitäten auf ihren Integrationsgrad hin überprüft, weil dort in aller Regel vom Modell (3.12) und nicht von der allgemeineren Spezifikation (3.17) ausgegangen wird. Ein Beispiel für diese Vorgehensweise bieten etwa Heri, E.W., Theurillat, M.J. (1990), Purchasing Power Parities for the DM: A Cointegration Exercise, Kredit und Kapital, Vol. 23, S. 333–350.
Genauer könnte in diesem Fall eine Linearkombination aus zwei Preisreihen integriert von der Ordnung 1 sein. Sofern der so entstandene Prozeß mit dem nominalen Wechselkurs kointegriert ist, müssen die Abweichungen von der Kaufkraftparität stationär sein. Allgemeiner ist damit nicht notwendig, daß alle in der Gleichgewichtsbeziehung enthaltenen Variablen den gleichen Integrationsgrad aufweisen, so daß im Prinzip auch eine der drei Reihen stationär sein kann. Entscheidend ist jedoch, daß die maximal vorkommende Ordnung der Integration von mindestens zwei der betrachteten Größen erreicht wird und diese kointegriert sind, weil sich allein dadurch der Integrationsgrad ihrer Linearkombination reduzieren läßt. Auf diese Modifikation des ursprünglichen Konzeptes haben z.B. auch Charemza, W.W., Deadman, D.F. (1992), a.a.O., S. 147f, hingewiesen.
In einigen empirischen Arbeiten wird hier bisweilen selektiert. Diese Vorgehensweise erscheint oberflächlich gerechtfertigt, wenn jeweils nur zwei Variablen, nämlich die berechneten Kaufkraft-paritäten und die nominalen Wechselkurse berücksichtigt werden. Sofern beide Reihen dann nicht den gleichen Integrationsgrad aufweisen, kann ihre Linearkombination nicht stationär sein, so daß sich weitergehende Untersuchungen erübrigen. Tatsächlich sind für eine empirische Überprüfung der Kaufkraftparitätentheorie jedoch immer drei Variablen relevant, so daß allgemein verschiedene Konstellationen denkbar sind, unter denen sich ein stationärer Prozeß ergeben kann.
Da alle Linearkombinationen integrierter Variablen mit Ausnahme derjenigen, deren Gewichte durch kointegrierende Vektoren bestimmt werden, nichtstationär sind und so bei wachsendem Stichprobenumfang eine stetig steigende Varianz aurweisen, andererseits die OLS-Methode nach ihrem Schätzprinzip die Varianz der Residuen minimiert, sucht dieses Verfahren gezielt nach den Kointe-grationsparametern. Diese Aussage gilt im übrigen auch dann, wenn keine der involvierten Größen exogen ist. Eine mögliche Verzerrung der Schätzergebnisse, die sich allgemein aufgrund einer Inter-dependenz der Modellvariablen ergeben kann, ist somit zumindest asymptotisch ohne Bedeutung. Dazu auch Stock, J.H. (1987), a.a.O., S. 1035–1056.
Die Strategie, den Parametervektor der langfristigen steady-state-Relation zu schätzen, indem alternative Variablen als endogen vorgegeben werden, wird auch von MacKinnon, J.G. (1991), Critical Values for Cointegration Tests, in: Engle, R.F., Granger, C.W.J, (eds.), Long-Run Economic Relationships, Oxford, S. 267–276, vorgeschlagen. Der Vektor der Kointegration wird somit bereits vor seiner Schätzung auf die gewählte endogene Variable normiert.
Da sich die involvierten Variablen empirisch als integrierte Prozesse erwiesen haben, wird hier auf die sonst übliche Veröffentlichung der Standardfehler der Regressionskoeffizienten verzichtet. Die Verteilungen der konventionellen Prüfgrößen, etwa der t-Statistik, gelten genauer nur unter der Annahme, daß sämtliche in der Regression einbezogenen Größen stationär sind. Sie sind bei integrierten Variablen nicht mehr valide und zeigen dort eher das Vorhandensein von Beziehungen an, was insbesondere bei Phillips, P.C.B. (1986), Understanding Spurious Regressions in Econometrics, Journal of Econometrics, Vol. 33, S. 311–340, gezeigt wird. Konkret läßt sich die Verzerrung der t-Statistik hier auf zwei verschiedene Ursachen zurückfuhren. Erstens und eher traditionell führt die hohe Autokorrelation der Störvariablen in der statischen Regression zu inkonsistenten Schätzungen der Standardabweichungen der Regressionskoeffizienten. Zweitens und von größerem Interesse verlaufen die Verteilungen der Parameterschätzer aufgrund der Nichtstationarität der Variablen an der Grenze nicht mehr normal, so daß die errechneten t-Werte ihre vorgeschriebene Verteilung auch nicht asymptotisch erreichen.
Bei Berücksichtigung von Meßfehlern in den Konsumentenpreisindices muß sich dieses Ergebnis nicht notwendig einstellen. Es folgt daher noch keine Evidenz gegen die Kaufkraftparitätentheorie, wenn man von der Hypothese abweichende Vorzeichen der Parameter erhält.
Ähnliche Ergebnisse, allerdings auf der Basis von Quartalsdaten, berichtet auch Kohn, W. (1992), Monetäre Wechselkurstheorie und Error Correction Modelle, in Bol, G., Nakhaeizadeh, G., Vollmer, K.-H. (eds.), Ökonometrie und Monetärer Sektor, Heidelberg, S. 101–129.
Diese Aussage ist darüber hinaus relativ robust gegenüber dem gewählten Regressionsansatz. Sie ergibt sich auch dann, wenn die Regressoren um eine deterministische Trendkomponente erweitert werden, was aufgrund der beobachteten Preisentwicklungen im Untersuchungszeitraum durchaus gerechtfertigt ist.
Sofern der Störprozeß in (3.17), der die Abweichungen von einem potentiellen steady-state beschreibt, integriert von der Ordnung 1 ist, etwa ut=ut-1+vt, wird der Zähler der DW-Statistik und damit auch die Prüfgröße insgesamt eher niedrige Werte annehmen. Diese Interpretation der klassischen DW-Statistik als Cointegrating Regression Durbin Watson (CRDW)-Statistik wird von Sargan, J.D., Bhargava, A. (1983), Testing Residuals from Least Squares Regression for being generated by the Gaussian Random Walk, Econometrica, Vol. 51, S. 153–174, vorgeschlagen. Der Ablehnbereich der Statistik für den Test auf Kointegration ist generell abhängig vom Stichprobenumfang, daneben von der Anzahl der zu schätzenden Regressionsparameter und von der Richtigkeit der Annahme eines autoregressiven Prozesses erster Ordnung für die Abweichungen von der langfristigen Gleichgewichtsbeziehung, so daß sich für jeden datenerzeugenden Prozeß eine andere exakte Verteilung der Prüfgröße ergibt. Kritische Werte sind bisher nur für den bivariaten Fall, in dem die long-run-Beziehung genau zwei Variablen enthält, bei Engle, R.F., Yoo, B.S. (1987), Forecasting and Testing in Cointegrated Systems, Journal of Econometrics, Vol. 35, S. 143–159, und Engle, R.F., Granger, C.W.J. (1987), a.a.O., S. 269f, berechnet.
Diese Aussage hat bereits Yule, G.U. (1926), Why do we sometimes get Nonsense Correlations between Time Series? A Study in Sampling and the Nature of Time Series, Journal of the Royal Statistical Society, Vol. 84, S. 1–64, für den bivariaten Fall gezeigt, in dem das Bestimmtheitsmaß dem quadrierten Korrelationskoeffizienten zwischen den beiden Variablen entspricht. Sofern die involvierten Größen speziell I(2)-Prozesse sind, verläuft die Verteilung ihres Korrelationskoeffizienten darüber hinaus U-förmig, so daß den Werten des Bestimmtheitsmaßes, die in der Nähe von 1 liegen, sogar die höchste Wahrscheinlichkeit zukommt.
Dazu auch Granger, C.W.J., Newbold, P. (1974), Spurious Regressions in Econometrics, Journal of Econometrics, Vol. 2, S. 111–120, sowie Banerjee, A., Dolado, J.J., Hendry, D.F., Smith, G.W. (1986), Exploring Equilibrium Relationships in Econometrics through Static Models: Some Monte Carlo Evidence, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 48, S. 253–278.
Dazu insbesondere Banerjee, A., Dolado, J.J., Hendry, D.F., Smith, G.W. (1986), a.a.O., S. 258ff., deren Resultate sich genauer auf den bivariaten Fall beziehen. Die Abhängigkeit des Bias vom un-korrigierten Bestimmtheitsmaß ist hier auch intuitiv zu begreifen. Wenn in der Realität tatsächlich eine langfristige Gleichgewichtsbeziehung zwischen den Variablen yt und xt besteht, sind die Formulierungen (yt-γxt) und (xt-(1/γ)yt) beide valide, so daß jeweils ein stationärer Prozeß erzeugt wird. Die Schätzungen des kointegrierenden Parameters γ werden sich in diesem Fall nicht wesentlich voneinander unterscheiden, so daß das Produkt der Regressionskoeffizienten, also das Bestimmtheitsmaß, näherungsweise gleich 1 ist.
Dazu auch Engle, R.F., Granger, C.W.J. (1987), a.a.O., S. 254, und insbesondere Johansen, S. (1988), Statistical Analysis of Cointegration Vectors, Journal of Economic Dynamics and Control, Vol. 12, S. 231–254, der die Tests auf Kointegration im multivariaten Fall entwickelt hat.
In der Kaufkraftparitätentheorie sind drei integrierte Variablen involviert, so daß sich zwei unabhängige steady-state-Relationen ergeben können. Bei Anwendung der OLS-Methode ist nicht ausgeschlossen, daß lediglich eine Linearkombination der tatsächlichen stationären Relationen geschätzt wird.
Eine Überprüfung der Kaufkraftparitätentheorie, die den diskutierten Einwänden Rechnung trägt, wird an späterer Stelle gemeinsam mit der Hypothese der ungedeckten Zinsparität im einheitlichen Kontext vektorautoregressiver Prozesse (VAR-Modelle) erfolgen.
Dieser Test wird von Phillips, P.C.B., Ouliaris, S. (1990), Asymptotic Properties of Residual Based Tests for Cointegration, Econometrica, Vol. 58, S. 165–193, vorgeschlagen.
Die kritischen Werte für den ADF-Test auf Kointegration werden abhängig vom Beobachtungs-umfang, der gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit, des konkreten Modells zur Ermittlung der steady-state-Relation und der Anzahl der zu schätzenden Kointegrationsparameter durch Simulationsstudien ermittelt und sind bei MacKinnon, J.G., (1991), a.a.O., S. 275, tabelliert.
Dazu genauer Phillips, P.C.B. (1987), a.a.O., S. 281ff., sowie insbesondere Phillips, PCB., Ouliaris, S. (1990), a.a.O., S. 170ff., die dieses Verfahren gegenüber dem ADF-Test speziell bei kleineren und mittleren Beobachtungsumfängen bevorzugen (S. 176, Theorem 5.1). Darüber hinaus wird dort noch ein alternativer Test auf Kointegration vorgestellt, der auf den gleichen Grundüberlegungen basiert, jedoch im allgemeinen keine Vorteile gegenüber dem einfacher zu berechnenden ADF-Test bietet.
Unter der Nullhypothese, a=1, sind die Störgrößen vt darüber hinaus als erste Differenzen der OLS-Residuen direkt berechenbar. Diese zusätzliche Information wird in der im folgenden angegebenen Teststatistik jedoch nicht verwendet. Ihre Berücksichtigung impliziert genauer, daß die dann entstehende Prüfgröße auch asymptotisch divergierende Eigenschaften aufweist und für den Test auf Ko-integration generell nicht zu empfehlen ist. Dazu insbesondere Phillips, P.C.B., Ouliaris, S. (1990), a.a.O., S. 177, Theorem 5.3. Damit sind allgemein die Schätzungen für die vt, die man aus der Regression (3.21) erhält, zu bevorzugen.
Dazu genauer Phillips, P.C.B. (1987), a.a.O., S. 285f. und S. 297f, der das Ergebnis unter allgemeinen Bedingungen zeigt. Wie beim ADF-Test empfiehlt es sich in der empirischen Anwendung, den POL-Test für verschiedene Werte von h zu berechnen, um so gesicherte Ergebnisse zu erhalten. Generell kann h dabei um so höher gewählt werden, je größer der Beobachtungsumfang ist.
Eine formale Darstellung findet sich bei Phillips, P.C.B. (1987), a.a.O., S. 281ff., und Phillips, P.C.B., Perron, P. (1988), a.a.O., S. 337ff.
Die kritischen Werte werden durch Simulationsstudien erzeugt und sind von den gleichen Einfluß-faktoren abhängig, die schon beim ADF-Test ausschlaggebend sind. Ihre Aufstellung findet sich im bivariaten Fall und n=500 bei Phillips, P.C.B., Ouliaris, S. (1990), a.a.O., S. 189ff, sowie für verschiedene kleinere Beobachtungsumfänge und eine größere Anzahl von Variablen bei Haug, A.A. (1992), Critical Values for the Za -Phillips-Ouliaris Test for Cointegration, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 54, S. 473–480. Im Spezialfall des Modells (3.13), in dem kein Kointe-grationsparameter zu schätzen ist, sind die Angaben bei Fuller, W.A. (1976), a.a.O., S. 371, Tabelle 8.5.1, zu übernehmen.
Die Definition der Gewichtungsfaktoren garantiert die Nichtnegativität dieser Varianz. Dazu auch Newey, W.K., West, K.D. (1987), A Simple, Positive Definite, Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix, Econometrica, Vol. 55, S. 703–708, die einen formalen Beweis geben. Es sind hier auch alternative Gewichtungsfaktoren für die empirischen Autokovarianzen denkbar. Siehe dazu etwa Andrews, D.W.K. (1991), Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent Matrix Estimation, Econometrica, Vol. 59, S. 817–858.
Die Wahl der höheren Laglängen für den ADF- und den POL-Test orientiert sich an den Vorschlägen von Schwert, G.W. (1989), a.a.O., S. 151. Die Tests sind ergänzend auch für weitere Werte von k und h berechnet worden, ohne daß sich jedoch qualitativ andere Resultate einstellen.
Ähnliche Ergebnisse unter Verwendung der gleichen empirischen Methodologie berichten auch Baillie, R.T., Selover, D.D. (1987), Cointegration and Models of Exchange Rate Determination, Journal of International Money and Forecasting, Vol. 3, S. 43–51, Taylor, M.P. (1988), An Empirical Examination of Long-Run Purchasing Power Parity using Cointegration Techniques, Applied Economics, Vol. 20, S. 1369–1381, Mark, N.C. (1990), a.a.O., S. 120ff., sowie Cheung, Y.-W., Lai, K.S. (1993), a.a.O., S. 185ff., die auch Resultate für das allgemeine Modell (3.17) angeben. Der Engle-Granger-Algorithmus liefert dagegen Evidenz für die Kaufkraftparitätentheorie in der Phase flexibler Wechselkurse der Zwischenkriegszeit, die von ausgeprägten monetären Schocks dominiert wurde. Dazu auch Taylor, M.P., McMahon, P.C. (1988), Long-Run Purchasing Power Parity in the 1920s, European Economic Review, Vol. 32, S. 179–197.
Die Einführung einer Trendvariablen in den statischen Regressionen zur Ermittlung des langfristigen Zusammenhangs, die etwa mit der Preisentwicklung im Untersuchungszeitraum, alternativ jedoch auch mit einer trendstationären Beziehung zwischen den ‘wahren’ und beobachtbaren Preis-indices im Kontext des Modells (3.17) begründet werden könnte, ändert nichts an den qualitativen Resultaten.
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Dreger, C. (1996). Kaufkraftparitätentheorie. In: Monetäre Modelle der Wechselkurserklärung. Gabler Edition Wissenschaft. Deutscher Universitätsverlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-08774-8_3
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