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Chaotisches Zinsmodell von Tice und Webber

  • Stephan Heilig
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Zusammenfassung

In der Literatur findet man hauptsächlich stochastische Differentialgleichungen zur Modellierung von Zinsstrukturen.1 Sie versuchen die Dynamik der Zinsentwicklung zu beschreiben. Hierzu zählt z. B. das klassische Modell von Vasicek (1977) oder Cox, Ingersoll und Ross (1985b). Ein Modell, das durch Berücksichtigung der aktuellen Zinsstruktur-kurve dem Postulat der Arbitragefreiheit gerecht wird, ist das Modell von Heath, Jarrow und Morton (1992). Einen interessanten, davon abweichenden Modellansatz präsentieren Tice und Webber (1997). Sie entwickelten ein nichtlineares 2 Zinsmodell basierend auf grundlegenden keynesianischen Gesetzmäßigkeiten.3 Die Besonderheit des Zinsmodells ist, dass es sich für bestimmte Parameterkonstellationen chaotisch verhält 4 und somit die erratischen Fluktuationen endogen, d. h. durch die makroökonomischen Gesetzmäßigkeiten erklärt. Ebenso weist das Modell zyklisches Verhalten auf, wie es sich auch empirisch beobachten lässt:5 Zeiten von Hochzinsphasen werden durch Niedrigzinsphasen abgelöst und umgekehrt. Wie wir sehen werden, lässt sich das Modell auf das Lorenz-System, mit dem bekannten Lorenz-Attraktor, zurückführen.6

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Literatur

  1. 1.
    Einen Überblick über stochastische Zinsstrukturmodelle gibt u. a. Schöbel (1995) oder Musiela und Rutkowski (1998), Teil II.Google Scholar
  2. 2.
    In einer empirischen Untersuchung wies Stanton (1997) nach, dass der Driftterm im Zinsprozess substantiell nichtlinear ist.Google Scholar
  3. 3.
    Ebenfalls in den Kontext ökonomischer Gesetzmäßigkeiten eingebettet ist das Zinsmodell von Cox, Ingersoll und Ross (1985a), Cox, Ingersoll und Ross (1985b).Google Scholar
  4. 4.
    Ein weiteres chaotisches Zinsmodell entwickelte bereits van der Ploeg (1986), aufbauend auf dem Modell von Begg (1984). Das Modell ist allerdings nicht makroökonomisch fundiert und von sehr einfacher Struktur. Es lässt sich auf die logistische Gleichung zurückführen, die die einfachste nichtlineare Gleichung mit chaotischem Verhalten ist (siehe Abschnitt 3.6, S. 28 ).Google Scholar
  5. 5.
    Vgl. Roma und Torous (1997). Sie untersuchen den Einfluss von Konjunkturzyklen auf die Zinsentwicklung.Google Scholar
  6. 6.
    Vgl. Lorenz (1963).Google Scholar
  7. 7.
    Zum IS-LM-Modell vgl. u. a. Dornbusch und Fischer (1995), S. 105 ff.Google Scholar
  8. 8.
    In diesem Kapitel repräsentiert die Variable r den Zins und darf nicht mit dem aus dem Kontrollansatz (Abschnitt 6.5 und 6.6) Kontrollvektor r bzw. Kontrollmatrix R verwechselt werden.Google Scholar
  9. 9.
    Die Anzahl der Wiener Prozesse N muss nicht notwendigerweise mit der Anzahl der Mengen übereinstimmen.Google Scholar
  10. 10.
    Das Differential dw beschreibt einen Wiener Prozess oder eine Brownsche Bewegung, wenn sich der Prozess wie folgt darstellen lässt:mit ú als standardnormalverteilte Zufallsvariable. Zum Wiener Prozess siehe z. B. Merton (1990), S. 77 oder Hull (1997), S. 210ff.Google Scholar
  11. 11.
    Durch Berechnung der Matrix EE’ erhalten wir die Kovarianzterme der Outputmengen y. Vgl. hierzu Malliaris und Brock (1982), S. 80ff. oder Schöbel (1995), S. 7ff.Google Scholar
  12. 12.
    Zur mehrdimensionalen Itd-Formel vgl. Oksendal (1995), S. 45f.Google Scholar
  13. 13.
    Für eine ausführliche Herleitung vgl. Anhang C.1, S. 183.Google Scholar
  14. 14.
    Siehe Tice und Webber (1997), Gleichung (2.3)Google Scholar
  15. 15.
    S. 180. 1“Vgl. Tice und Webber (1997), S. 180.Google Scholar
  16. 16.
    Dies entspricht m3 — md = 0 und e — y = O.Google Scholar
  17. 17.
    Zur Herleitung der Gleichung (9.17) vgl. Anhang C.2, S. 185.Google Scholar
  18. 18.
    Wie oben bereits erwähnt kann man davon ausgehen, dass die Anpassungsgeschwindigkeit auf dem Kapitalmarkt bedeutend höher sein wird als auf dem Gütermarkt.Google Scholar
  19. 19.
    Wegen des regelmäßigen Gebrauchs des Geldes fragen die Wirtschaftssubjekte Geld nach. Kassenbestände werden z. B. wegen der schnellen Verfügbarkeit des Geldes und auch wegen “Buchungskosten” für Überweisungen (Wagner (1990), S. 113) gehalten. Zum Transaktionsmotiv vgl. auch Dornbusch und Fischer (1995), S. 455.Google Scholar
  20. 20.
    Sie bestimmen Gleichung (9.21) aus einer Taylor-Approximation der Funktion p (r, x) im Fixpunkt 21Damit garantiert die Gleichung (9.21) auch die Stabilität des Systems; denn sollte bei großem r und x auch p einen großen Wert annehmen, dann würde x und p gegen ±oo tendieren.Google Scholar
  21. 22.
    Vgl. Lorenz (1963).Google Scholar
  22. 23.
    Setzt man in die Differntiale dX = i dr, dY = i dx und dZ = —dp die Differentialgleichungen aus (9.22) ein, gelangt man nach Umformen zum Lorenz-System.Google Scholar
  23. 24.
    Eine detaillierte Untersuchung des Lorenz-Systems findet sich in Sparrow (1982).Google Scholar
  24. 25.
    Dies lässt sich durch einfaches Umformen erkennen:Google Scholar
  25. 26.
    Die Parametrisierung wurde von Tice und Webber (1997) übernommen (a = 5, 0, ß = 0, 5, ‘y = â+ = 22000, µ = 0,1).Google Scholar
  26. 27.
    Die numerische Integration erfolgte durch das Verfahren von Runge-Kutta vierter Ordnung.Google Scholar
  27. 28.
    Eine ausführliche Stabilitätsanalyse der symmetrischen Fixpunkte des allgemeinen Lorenz-Systems findet sich in Sparrow (1982), S. 9ff.Google Scholar
  28. 29.
    Vgl. Abramowitz und Stegun (1970), S. 17.Google Scholar
  29. 30.
    Für die Erstellung der Abbildungen wurde von den Parameterwerten n = 5, 0, /3 = 0, 5, y = 12 und 6 = 23 ausgegangen und pro Abbildung die Parameter paarweise variiert.Google Scholar
  30. 31.
    Der Bereich, in dem die Eigenwerte reell sind, lässt sich in Abbildung 9.3 e) und f) erkennen.Google Scholar
  31. 32.
    Die Bestimmung von ós muss numerisch erfolgen. 6s 7,628 gilt für die Parameterkonstellation = 5,0, ß=0,5, y= 2, =0,1 und 0=22000.Google Scholar
  32. 33.
    Das Auftreten homokliner Orbits ist generell ursächlich für komplexes Systemverhalten. Vgl. ausführlich hierzu Argyris, Faust und Haase (1995), S. 452.Google Scholar
  33. 34.
    Vgl. Tice und Webber (1997), S. 189. Für das Lorenz-System (9.23) gilt entsprechend 6 > ’(:±774-i3) Vgl. hierzu Sparrow (1982), S. 10.Google Scholar
  34. 35.
    Ebenso ist es auch umgekehrt möglich, dass durch eine Hopf-Bifurkation die Eigenwerte von plus nach minus die imaginäre Achse kreuzen, dann wird aus einer instabilen Quelle eine stabile Senke.Google Scholar
  35. 36.
    Zur subkritischen Hopf-Bifurkation vgl. Sparrow (1982), S. 11. Sollte der bei einer Hopf-Bifurkation auftretende periodische Orbit stabil sein, bezeichnet man die Hopf-Bifurkation als snperkritsich.Google Scholar
  36. 37.
    Zu den Mannigfaltigkeiten des Fixpunktes xi siehe S. 103.Google Scholar
  37. 38.
    Argyris, Faust und Haase (1995), S. 454.Google Scholar
  38. 39.
    Bei weiterem Erhöhen von 6 ist das chaotische Verhalten sehr robust. Nur für sehr hohe Werte - ausserhalb des relevanten Bereichs im Modell von Tice und Webber (1997) - wird das Chaos kurzfristig durch sogenannte “Fenster im Chaos” unterbrochen, bevor es vollstündig verschwindet.Google Scholar
  39. 40.
    För Großbritannien ermittelten Tice und Webber (1997) eine durchschnittliche Phasendauer von 5 Jahren.Google Scholar
  40. 41.
    Wenn,0 erhöht wird, muss dementsprechend a und ry verkleinert werden.Google Scholar
  41. 42.
    Vg1. Abschnitt 5.1, S. 37. 43Vg1. Abschnitt 5.2, S. 42. 44Vg1. Abschnitt 6.1, S. 49. 45Zur Diskretisierung stetiger Systeme vgl. Abschnitt 6. 4, S. 64.Google Scholar
  42. 46.
    Vg1. Tice und Webber (1997), S. 205ff.Google Scholar
  43. 43.
    Dies entspricht der Kontrollidee von Türschmann (1990). Vgl. Kapitel 4, S. 34.Google Scholar
  44. 48.
    Abgesehen davon verhalten sie sich auch nicht chaotisch.Google Scholar
  45. 49.
    Vgl. oben Abschnitt 9.1, S. 94 ff.Google Scholar
  46. 50.
    Hier liegt die Annahme zugrunde, dass bei einer nominellen Geldmengenerhöhung das Preisniveau konstant bleibt und sich so das reale Gelgangebot mserhöht.Google Scholar
  47. 51.
    p erhalten wir im Abschnitt 9.1, S. 100 durch die Zusammenfassung y und w die entsprechenden Ausdrücke (S. 100) ein, erhalten wir p in der angegebenen Form.Google Scholar
  48. 52.
    Für die übrigen Parameter ist leicht zu zeigen, dass sie sich durch a und ras nicht verändern.Google Scholar
  49. 53.
    Vg1. Abschnitt 9.2.2, S. 105.Google Scholar
  50. 54.
    Zur Steuerbarkeit vgl. Abschnitt 6.5.1, S. 68.Google Scholar
  51. 55.
    Siehe oben Gleichung (9.26), S. 105.Google Scholar
  52. 56.
    Für unseren ersten Kontrollversuch gehen wir von folgendem Szenario aus: Die ZinsenGoogle Scholar
  53. 57.
    Vgl. S. 78.Google Scholar
  54. 58.
    Vgl. Gleichungen (6.59) und (6.60), S. 78.Google Scholar
  55. 59.
    Vgl. oben S. 73.Google Scholar
  56. 60.
    Der Startwert wird aus dem Zustandsraum (r.r p) E [0,02; 0,1812 x [-12; 12] mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit gezogen.Google Scholar
  57. 61.
    Der Fixpunkt gilt als erreicht, wenn Ir - < e = 0,001 ist und r die r-Umgebung nicht mehr verlässt.Google Scholar
  58. 62.
    Die Gewichtungsmatrix Q entspricht der aus obigem Beispiel mit qn = 1, 0, q22 = 0,01 und Q33 = 0,001.Google Scholar
  59. 59.
    Gewichtungsmatrix Q entspricht der aus obigem Beispiel mit qn = 1, 0, q22 = 0,01 und Q33 = 0,001.Google Scholar
  60. 64.
    Siehe S. 191.Google Scholar
  61. 65.
    Die Kontrollvektoren wurden luit der Methode von Ackermann (1972) berechnet.Google Scholar
  62. 66.
    Vgl. hierzu die oben gemachten Ausführungen.Google Scholar
  63. 67.
    Zur Jakobimatrix im Fixpunkt xi siehe Gleichung (9.25), S. 103. Den Vektor w erhalten wir, indem in Gleichung (9.32), S. 117, der Fixpunkt xi eingesetzt wird: w’ = (0 ß (1 — 6) 0). 68 S. 206.Google Scholar
  64. 69.
    Zur Zustandsvariablen p siehe Abschnitt 9.1, S. 101.Google Scholar
  65. 70.
    Allgemein gilt für das langfristige Mittel p (r, x) = 6 — (r — µ) (x — 12). Im Fixpunkt xi erhalten wir p(A,A)=6.Google Scholar
  66. 71.
    Siehe Gleichung (9.39), S. 127. 72Siehe Vektor w in Fußnote 67. “Siehe Gleichung (6.34), S. 67.Google Scholar
  67. 74.
    Siehe Gleichung (6.41), S. 70.Google Scholar
  68. 76.
    Vgl. den chaotischen Attrakor in Abbildung 9.6, S. 110.Google Scholar
  69. 76.
    Zur Begründung vgl. Ausführungen zur Kontrolle der symmetrischen Fixpunkte, Abschnitt 9.3. 2, S. 119.Google Scholar
  70. 77.
    Siehe Abschnitt 6.6, S. 74.Google Scholar
  71. 78.
    Entsprechend umgekehrt gilt dies, wenn die kumulierten Veränderungen von S klein bleiben sollen.Google Scholar
  72. 79.
    Vgl. Abschnitt 6.6, S. 78.Google Scholar
  73. 80.
    ’ gilt als erreicht, wenn 1r — rfl < 0,001 ist und r diese Umgebung nicht mehr verlässt.Google Scholar
  74. 81.
    Fiir die Berechnung wurden die gleichenGoogle Scholar
  75. 82.
    Modellparameterwerte wie im Abschnitt 9.3.2 verwendet.Google Scholar
  76. 83.
    Siehe Tabelle 1 im Anhang C.3, S. 189.Google Scholar
  77. 84.
    Siehe Tabelle 3 c) im Anhang C 3, S. 200.Google Scholar
  78. 85.
  79. 86.
    Zur Begriindung vgl. oben die Zusammenfassung zur Kontrolle der symmetrischen Fixpunkte Nr. 2, S. 124.Google Scholar
  80. 87.
    Aus Vereinfachungsgründen setzen wir op = a, = 0. Für das Kontrollergebnis ergibt sich hieraus kein qualitativer Unterschied.Google Scholar
  81. 88.
    Siehe S. 119. Wir gehen ebenfalls von denselben Parameterwerten des Modells aus. 89Er entspricht der GewichtungGoogle Scholar
  82. 90.
    Siehe Abschnitt 9.3.3, S. 126.Google Scholar
  83. 91.
    In den Zeitintervallen 0 < t < 10 und 20 < t < 30 verwenden wir µ als Kontrollvariable. Im Zeitintervall 10 < t < 20 müssen wir zusätzlich 6 als Kontrollvariable verwenden.Google Scholar
  84. 92.
    Vgl, Abschnitt 9.3.3, S. 126.Google Scholar

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© Springer Fachmedien Wiesbaden 2001

Authors and Affiliations

  • Stephan Heilig

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