Vektorkugelfunktionen und Ihre Anwendungen

Zusammenfassung

In Abschn. 9.4 wurden die Vektorkugelfunktionen durch die Gleichung

$$ \vec Y_m^{\left( {l,1} \right)j}\left( \Omega \right) \equiv \sum\limits_{m'm''} {Y_{m'}^{\left( l \right)}\left( \Omega \right)\vec e_{m''}^{\left( 1 \right)}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} l&1 \\ {m'}&{m''} \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} j \\ m \end{array}} \right.} \right) $$

eingeführt, wobei die “sphärischen Einheitsvektoren” nach Abschn. 5.4 einen nicht allgemein üblichen Faktor i enthalten. Er führt zu der Eigenschaft

$$ \vec Y_m^{(l,1)j*}(\Omega ) = {( - )^{l + j + m}}\vec Y_{ - m}^{(l,1)j}(\Omega ) $$

weshalb wir — wie bei den gewöhnlichen Kugelfunktionen — in der Ortsdarstellung noch einen Faktor i l für ein geeignetes Verhalten bei Zeitumkehr brauchen. An weiteren Eigenschaften seien kurz erwähnt:

$$ \vec Y_m^{(l,1)j}( - \Omega ) = {( - )^l}\vec Y_m^{(l,1)j}(\Omega ) $$

und die “Orthonormierung”

$$ \int {\left( {\vec Y_m^{(l,1)j*}(\Omega ) \cdot \vec Y_{m'}^{(l',1)j'}(\Omega )} \right)} \,d\Omega = {\delta _{ll'}}\,{\delta _{jj'}}\,{\delta _{mm'}}$$

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