Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Flächen im dreidimensionalen Raum beschreibt man häufig durch eine Parameterdarstellung. Jedem Punkt P der Fläche M wird dabei durch eine Abbildung φ ein Paar von Parameterwerten u und v zugeordnet. Die Abbildung φ von M zur Parametermenge Γ ⊆ ℝ² soll bijektiv, also umkehrbar sein. Eine Parameterdarstellung wird im allgemeinen durch Angabe der die Umkehrabbildung φ ^-1 beinhaltenden drei reellwertigen Funktionen formuliert, d.h. die drei kartesischen Koordinaten x,y,z sind als Funktionen von u und υ gegeben. Es sei hier an die üblichen Darstellungen einer Zylinderfläche durch die drei Gleichungen x = r cos u, y = r sin u, z = υ für (u, v) ∈ Γ =(0,2π) × ℝ und einer Kugelober fläche durch x = r sin u cos υ, y = r sin u sin υ, z = r cos u für (u, υ) ∈ Γ =(0,π) ×(0,2π) mit den geome tr ischen Interpretatio nen entsprechend Bild 1.1 er in nert.