Modellkonstruktionen

Zusammenfassung

In diesem Teil werden wir verschiedene Methoden zur Konstruktion von Modellen eines Axiomensystems ∑ von Aussagen einer formalen Sprache L einführen. Eine Methode, überhaupt erst einmal ein Modell von ∑ zu erhalten, haben wir im 1. Teil in Form der sogenannten Termmodelle kennengelernt. Neben dieser ‚absoluten‘ Konstruktion werden wir hier eine Reihe von ‚relativen‘ Konstruktionen vorstellen. Diese relativen Konstruktionen erlauben es, ausgehend von einem oder mehreren Modellen von ∑, ein neues Modell zu gewinnen. Die hier zu betrachtenden Methoden sind nicht, wie oft in der Mathematik zu beobachten, abhängig von dem jeweiligen Axiomensystem ∑ (z.B. ist das direkte Produkt von Gruppen wieder eine Gruppe, was jedoch für Körper nicht gilt), sondern funktionieren in jedem Falle. Dies wird dadurch gewährleistet, daß eine L-Struktur a’, die mit diesen Methoden aus einer L-Struktur a gewonnen wird, zur Ausgangsstruktur a elementar äquivalent ist, d.h.jede L-Aussage ϕ, die in a gilt, gilt auch in a’,und umgekehrt. Ist also a ein Modell von ∑, so auch a’, unabhängig davon, um welches Axiomensystem ∑ ⊂ Aus(L) es sich handelt.