Zusammenfassung
In diesem Kapitel sind die Dispositionen darzustellen, die eine zeitlich konstante Beschäftigung mit minimalen Kosten realisieren. Es wird ein theoretisch unendlich großer Leistungszeitraum unterstellt. Für alternative, im Zeitverlauf konstante Strömungsgrößen der Beschäftigung sind die Minimalkostenwerte zu ermitteln, die ein rational handelnder Unternehmer realisiert. Es wird also für den durch die m zur Verfügung stehenden Aggregate möglichen Beschäftigungsbereich eine Minimalkostenkurve berechnet.
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Referenzen
Vgl. hierzu L. Pack, Elastizität, a. a. O., S. 97 ff. und S. 251 ff.
Aus gliederungslogischen Grfnden hätten der 2. und 3. Abschnitt zusammengefaßt werden müssen; wegen des Umfanges wurde die Trennung vorgenommen.
Alle Variablen, die sich auf Einsatzkombinationen der Aggregate beziehen, werden durch einen hochgestellten Stern gekennzeichnet.
Diese Relation entspricht der optimalen Substitutionsbeziehung zum Ersetzen ganzzahliger Variablen durch binare Variablen. Vgl. dazu K.M. Bauer, Binare Optimierung, Untersuchung und Weiterentwicklung eines Verfahrens zur Analyse betriebswirtschaftlicher Entscheidungsprobleme bei zweiwertigen Alternativen und ökonomisch unteilbaren Objekten, Dissertation, Saarbrücken 1968, S. 30.
Werden bei einer Summation über eine Variable keine Grenzen angegeben, so erfolgt die Summation über den gesamten Bereich, für den diese Variable definiert ist. Das entsprechende gilt für Maximum- oder Minimumfunktionen.
Vgl. dazu z.B. H. Bottenbruch, Structure and Use of ALGOL 60, Nachdruck aus: Journal of the Association for Computing Machinery, 9 (1962), S. 161 ff.;
R. Baumann, ALGOLManual der ALCOR-Gruppe, Einführung in dialgorithmisehe Formelsprache ALGOL, 2. verb. Aufl., München-Wien 1967.
Vgl. R. Bellman, Dynamic Programming, Princeton, New Jersey 1957;
R.E. Bellman, S.E. Dreyfus, Applied Dynamic Programming, Princeton, New Jersey 1962.
Einführungen finden sich u. a. in A. Fletcher, G. Clarke, Mathematische Hilfsmittel der Unternehmensführung, deutsche Übersetzung von L. Pack, München 1966, S. 198 ff.;
M. Sasieni, A. Yaspan, L. Friedmann, Methoden und Probleme der Unternehmensforschung, Operations Research, deutsche Übersetzung von H.P. Künzi, 2. unv. Aufl., Würzburg-Wien 1965, S. 275 ff
S. Hillier, G.J. Lieberman, Introduction to Operations Research, San Francisco, Cambridge, London, Amsterdam 1967, S. 239 ff.
Da im Deutschen auch das Erstellen von Rechnerprogrammen mit Programmieren und Programmierung bezeichnet wird, besteht hier eine Verwechslungsgefahr. Vgl. z.B. W. Krelle, Gelöste und ungelöste Probleme der Unternehmensforschung, Heft 105 der Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Hrsg. L. Brand, Köln u. Opladen 1962, S. 10. Man hat versucht, hier in der deutschen Sprache eine Unterscheidung zu ermöglichen. So sprechen Böhm und Wille bei den Verfahren des Programming von Programmoptimierung; Wildenhain bezeichnet das Dynamic Programming mit dynamischer Optimierung. Solche Begriffe konnten sich aber gegenüber dem der Programmierung nicht durchsetzen. Vgl. H.-H. Böhm, F. Wille, Deckungsbeitragsrechnung und Programmotimierung, 2. völlig neu überarb. u. erw. Aufl. des Werkes “Direct Costing und Programmplanung”, München 1965, S. 95 ff.. G. Wildenhain, Anwendung der dynamischen Optimierung, in: Mathematische Modelle und Verfahren der Unternehmensforschung für die Lösung ökonomischer Probleme, Schriftenreihe Datenverarbeitung des Instituts für Datenverarbeitung Dresden, Köln u. Opladen 1968, S. 68.
Zum Beweis der Nichtoptimalität der unbeachteten Kombinationen und der Optimalität des Verfahrens vgl. u. a. F. Ferschl, Grundzüge des Dynamic Programming, Unternehmensforschung, Operations Research, 3 (1959), S. 78 f.;
A. Kaufmann, Graphs, Dynamic Programming, and Finite Games, englische übersetzung von H.C. Sneyd, New York — London 1967, S. 78 f.
Zum Vergleich des jeweiligen Rechenaufwandes vgl. R. Bellman, Dynamische Programmierung und selbstanpassend Regelprozesse, deutsche Übersetzung von F. Behringer, München — Wien 1967, S. 129 f.
H. Falkenhausen, Optimallösungen von Entscheidungsfolgen, Ermittlung durch analytische Methoden (dynamic programming) und Simulation, IBM Fachbibliothek, IBM Form 78105, Böblingen 1963, S. 4.
Zu den Bedingungen, die bei Anwendung der Dynamischen Programmierung erfüllt sein müssen, vgl. z.B. G.L. Nemhauser, Introduction to Dynamic Programming, New York — London — Sydney 1966, S. 35 ff.; M. Seitz, Probleme der betrieblichen Planung bei im Zeitverlauf wechselnden Marktverhältnissen, a. a. O., S. 247 f.
Vgl. L. Pack, Die Ermittlung der kostenminimalen Anpassungsprozeßkombination, ein Anwendungsbeispiel der dynamischen Programmierung, a. a. O., S. 467 ff.; L. Pack, Elastizitat, a. a. O., S. 281 ff.
kx wird im Gegensatz zum sonstigen Vorgehen in der Arbeit nicht normiert. Der Grund liegt darin, daß die Speicherplatzersparnis im Computerprogramm unerheblich sein würde, da es sich nur um einen Vektor handelt, und der durch die Normierung verursachte zusatzliche Rechenaufwand erheblich sein würde.
Im Flußdiagramm wird gegenUber dem hier gesagten zunächst für k*1 ein um 1 zu groß k*2er und für das spätere k ein um 1 zu kleiner Wert berechnet. Dies geschieht aus Gründen der besseren algorithmischen Behandlung. Vor der ersten Kostenberechnung werden die Variablen aber auf die hier berechneten Werte gesetzt.
Diese Kurve besteht aus den geraden Verbindungen zwischen den Punkten. Dieses Vorgehen ist zulässig, da ohnehin nur die erwähnten Punkte in der Rechnung betrachtet werden.
Vgl. dazu die Abschnitte A.IV. und A.V. dieses Kapitels.
Im Gegensatz zur Minimalintensität wird bei der Maximalintensitat durch das zusatzliche Affix t oder d unterschieden, ob diese Maximalintensität technisch oder dispositiv bedingt ist.
Dies ist besonders bei der Elektrizitätserzeugung der Fall. Vgl. dazu z.B. J. Stringer, Operations Research in Electric Power Undertakings, Progress in Operations Research, Band 2, Hrsg. D.B. Hertz, R.T. Eddison, New York-London-Sydney 1964, S. 290 ff.; o.Verf., “Die Blockgröße allein entscheidet nicht, Interview mit Alexander Roggendorf” in Der Volkswirt, Nr. 15, 11.4.1968, S. 47.
So z.B. bei der Elektrizitätserzeugung.
Aus Gründen der besseren algorithmischen Behandlung des Problems wird auch die an sich uninteressante Kombination j = 0 mit in die Betrachtung einbezogen.
Vgl. dazu aber die Fußnote 1 der Seite 63.
Zur Definition von (Math) vgl. die folgenden Ausf Uhrungen.
Da sich, worauf spater noch einzugehen ist, die Reservehaltungsvorschriften ndern können, werden die Minimalkosten für den gesamten technisch möglichen Bereich berechnet.
Man beachte, daß k* in diesem Abschnitt anders definiert ist als sonst in der Arbeit.
Die variablen Kosten derjenigen “Aggregatkombinationen”, die nur ein Aggregat enthalten, sind natUrlich identisch mit den variablen Kosten dieses Aggregates.
Man beachte, daß kv hier die Anzahl der möglichen Vergleiche angibt und nicht, wie beim Problem ohne Reservehaltungsvorschriften, die Anzahl der möglichen Kombinationen. Es ist also jetzt um 1 kleiner.
Zum Wert der Summe einer endlichen geometrischen Reihe vgl. z.B. F. Sass, Ch. Bouché, A. Leitner, (Hrsg.), Dubbels Taschenbuch fUr den Maschinenbau, 2. ber. Neudruck der 12. völlig neubearb. Aufl., Band 1, Berlin/Heidelberg/ New York 1966, S. 56., I.N. Bronstein, K.A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, durchges. u. verb. Aufl., Zürich u. Frankfurt/M 1967, S. 137.
Dieses folgt aus der Tatsache, daß mit Hilfe des dualen Zahlensystems alle ganzen Zahlen eindeutig darstellbar sind.
Die dort definierten Punkte werden für spätere Ergänzungen und Änderungen benötigt.
Vgl. dazu auch die Ausführungen auf S. 44•
An dieser Stelle ist eine Prüfung darauf, ob k*max überschritten wird, nicht erforderlich, da k*max definitionsgemäß immer realisierbar ist und das Programm dann nicht hierher verzweigt.
Das Zeichen &, für das gleichbedeutend auch ε gebraucht wird, bezeichnet entsprechend der Programmiersprache PL/I den auf Bitketten angewandten logischen Operator “und”. Die Anwendung auf nicht Bool’sche, sondern ganzzahlige Variable wird so definiert, daß vor der Operation eine Umwandlung der Variablen in Bitketten erfolgt und nachher eine entsprechende Rückwandlung. Bei ungleicher Lange der Bitketten soll hier die kürzere im Gegensatz zur PL/1-Definition links mit Nullen aufgefüllt werden. Den Werten von 21 für j und 7 für jn entsprechen z.B. die Bitketten ‘10101’ und ‘00111’. Nach Anwendung der Operation & ergibt sich die Bitkette ‘00101’ mit dem Wert der entsprechenden ganzzahligen Variablen von 5. Vgl. dazu z.B. International Business Machines Corporation (Hrsg.), IBM System/360 Operating System, PL/ Language Specifications, in: IBM Systems Reference Library, Form C 28–6571–4, New York 1965, S. 33 ff. F. Pfaff, PL/I für technisch-wissenschaftliche Anwendungen, IBM-Nachrichten, 17 (1967), S. 475 ff.
Vgl. z.B. W. Kilger, Das innerbetriebliche Rechnungswesen als Lieferant von Entscheidungsunterlagen, 1967, S. 108 ff.
Vgl. L. Pack, Elastizität, a. a. O., S. 19.
Ebenda, S. 27 f.
Für den Fall des Differenzenquotienten wurde von Mellerowicz der Ausdruck Reagibilität geprägt. Dieser wird hier nicht übernommen, zumal eine etwas andere Definition erfolgt. Vgl. K. Mellerowicz, Kosten und Kostenrechnng, Band 1, Theorie der Kosten, a. a. O., S. 285 ff.; L.Pack, Elastizitat, a. a. O., S. 28 ff.
Vgl. z.B. die in Fußnote 3 der Seite 81 genannten Stellen.
Bezüglich solcher Richtungsabhängigkeit vgl. etwa S. Lorentz, Die Schmalenbach’schen Kostenkategorien, Teitschrift für Betriebswirtschaft, 4 (1927), S. 311 ff.
Zum Rechnen mit kleinen Grnen vgl. F. Sass, Ch. Boucha, A. Leitner (Hrsg.), Dubbels Taschenbuch für den Masinenbau, a,a.O., S. 61.
Vgl. Siemens AG (Hrsg.), Siemens System 4004, FORTRAN IV Beschreibung (Band-Betriebssystem), vorläufige Ausgabe, o.O., Okt. 1966.
Vgl. dazu International Business Machines Corporation, (Hrsg.), IBM System/360, FORTRAN IV Language, in: IBM Systems Reference Library, Form C28–6515–5, New York 1965, 1966.
Vgl. International Business Machines Corporation (Hrsg.), IBM 7090/7094 IBSYS Operating System, Version 13, FORTRAN IV Language, in: IBM Systems Reference Library, Form C28–6390–2, o.O., 1965.
Um eine bessere Überschaubarkeit zu erhalten, werden im folgenden die in den bisherigen Betrachtungen definierten Variablen mit der dort verwandten Symbolik dargestellt und nicht mit der Symbolik des Programmes, die sich in der Regel aus Gründen der FORTRAN-Vormalvorschriften von der ersteren unterscheidet. isher noch nicht verwandte Variable werden mit den lüblichen großen Buchstaben in der FORTRAN-Symbolik dargestellt. Diese Variablen erscheinen nicht in der Zusammenstellung der Symbole.
Alle Daten benötigen jeweils 10 Spalten der Datenkarte. Ganzzahlige Daten sind rechtsbündig zu lochen; sie werden im folgenden durch das nachgestellte Zeichen (i) für “integer” gekennzeichnet. Nicht ganzzahlige Daten, “real”-Daten, sind mit Dezimalpunkt an beliebiger Stelle des lo-Feldes zu lochen; ihre Kennzeichnung geschieht durch ein nachgestelltes (r). Die Datenkarten sind von links her aufzufüllen.
Die eckigen Klammern besagen, daß ein nicht ganzzahliger Wert zwischen den Klammern auf die nchste ganze Zahl aufgerundet wird.
Da in FORTRAN IV der Wert O als Index nicht zulassig ist, werden im Programm alle auch fUr O definierten Indizes um 1 vergröert.
Bei nicht definierten Werten werden von den Programmen je nach Compiler Sterne (so z.B. IBM 360/50) oder auffallend viel Nullen (so z.B. Siemens 4004/45) ausgegeben.
Vgl. dazu die Programmanschrift im Anhang.
Vgl. dazu die Programmanschriften des Anhanges.
K = 1024.
Zur gesamten Durchfthrung der Rechnung vgl. Siemens AG (Hrsg.) Siemens System 4004, Band-Betriebssystem, BandPlatte-Betriebssystem, Allgemeine Beschreibung, Vorläufige Ausgabe, o.O., Okt. 1966; Siemens AG (Hrsg.), Siemens System 4004, 4004/35–45–55, Organisationsprogramm (Band-Platte-Betriebssystem), Beschreibung, Vorl. Ausgabe, o.O., Aug. 1967.
Vgl. dazu die Binderbeschreibungen: Siemens AG (Hrsg.), Siemens System 4004, 4004/35–45–55, Grund-Betriebssystem, Bedienungsanleitung fur Systemprogramme, Vorlaufige Ausgabe, o.O., Juni 1967, S. 131 ff.; Siemens AG (Hrsg.), Siemens System 4004, 4004/35–45–55, BBS Di enstprogramme, Beschreibung, 1. Nachruck, o.O., Aug. 1968, 5.6–35 ff.
Vgl. dazu die im Anhang befindliche Binder-Ausgabe.
Da hier und im folgenden immer nur Punkte betrachtet werden, konnte die Verbindung dieser Punkte sehr willkrlich erfolgen.
Vgl. dazu Abschnitt.II.1 des 2. Kapitels.
Zu Kontrollzwecken wurden beide verfügbaren Algorithmen eingesetzt, die Ergebnisse sind identisch.
Vgl. z.B. E. Gutenberg, Band 1, a. a. O., S. 355.
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Altrogge, G. (1971). Optimale Realisierung von Alternativen bei im Zeitverlauf konstanten Beschäftigungen. In: Optimale Maschinenbelastung in Abhängigkeit von der Beschäftigung. Schriften zur theoretischen und angewandten Betriebswirtschaftslehre, vol 9. Gabler Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-06885-3_3
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