Konvergenz von Funktionenreihen

Zusammenfassung

Wie wir nun oben in der allgemeinen Zahlenlehre von Summen mit einer endlichen Anzahl Summanden den Fortschritt zu solchen mit unendlich vielen Gliedern machten, so wollen wir auch jetzt von solchen Ausdrücken, die aus einer endlichen Anzahl von rationalen Funktionen zusammengesetzt sind oder gedacht werden können, zu solchen übergehen, welche aus unendlich vielen rationalen Funktionen, die durch Addition mit einander verknüpft sind, gebildet sind. Dabei sollen die zusammensetzenden Funktionen alle dieselben Argumente (x ₁, ... x _n) haben. Ein solcher Ausdruck

$${f_1}\left( {{x_1}, \ldots {x_n}} \right) + {f_2}\left( {{x_1}, \ldots {x_n}} \right) + {f_3}\left( {{x_{1,}} \ldots {x_n}} \right) + \ldots in\;\inf .$$

soll, wenn er eine Bedeutung hat, auch noch eine Funktion von (x ₁, ... x _n) heißen. — Wir wollen uns zunächst auf den Fall beschränken, daß die f Funktionen einer Variabeln x sind, da alles, was im Folgenden gesagt wird, sich mit Leichtigkeit auf den allgemeineren Fall mehrerer Variabeln übertragen läßt.