Zusammenfassung
Unsere anschauliche Vorstellung von einer Fläche ist die von einer zweidimensionalen Punktmenge. Im Großen kann eine Fläche eine komplizierte Gestalt haben und muß in keiner Weise einer Ebene ähneln. Aber jedes hinreichend kleine Stück der Fläche sollte wie ein leicht gekrümmter Teil einer Ebene aussehen. Wie beim Kurvenbegriff ist auch für den Flächenbegriff eine Fassung zu finden, die den Erfordernissen der Differentialgeometrie und der Naturwissenschaften Rechnung trägt. Das Werkzeug unserer Untersuchungen sind Vektorfunktionen von zwei reellen Variablen (s. Abschnitt 0.2).
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Referenzen
Die hochgestellten Indizes bei u 1, u 2 sind durch die spätere Summenkonvention gerechtfertigt.
nach C. F. GAUSS (1828).
Statt „regulär“ benutzt man auch „glatt“.
Siehe (2.2) als Analogon in der Kurventheorie. Offenbar ist nicht jedes Flächenstück explizit darstellbar (z.B. die Sphäre).
Die Spitze eines Kegels ist ein Beispiel für einen Flächenpunkt, der unabhängig von der Parametrisierung singulär ist. In diesem Punkt existiert keine Tangentialebene.
Die folgende, für einen unerfahrenen Leser gewiß nicht leicht verständliche Definition wird für die folgenden Abschnitte zunächst nicht benötigt (siehe [Gra], [dCa]).
Man sagt auch, daß durch (4.33) auf der Fläche (genauer auf ihrer Spur) eine Metrik definiert sei.
Nach (4.36) ist das Netz der Längen- und Breitenkreise der Sphäre orthogonal.
Zur Definition und Berechnung von Gebietsintegralen siehe z.B. [KöPf].
IIu ist invariant gegenüber orientierungstreuen Parametertransformationen. Der Beweis erfolgt wie in Bemerkung 4.19 (s. auch [Lau]).
Bewiesen im Jahre 1776 vom französischen Mathematiker M. MEUSNIER de la PLACE (1754–1793), einem Schüler von MONGE.
nach JULIUS WEINGARTEN (1836–1910).
nach BENJAMIN OLINDE RODRIGUES (1794–1851).
In [dCa] wird gezeigt, daß diese Flächen i.w. die einzigen mit dieser Eigenschaft sind.
Im Jahre 1760 von LEONHARD EULER (1707–1783) aufgestellt.
Rotationsparaboloide (math) sind bei der Konstruktion von Parabolspiegeln bzw. -antennen von Bedeutung, da parallel zur Achse einlaufende Wellen an der Paraboloidfläche in den Brennpunkt reflektiert werden und umgekehrt.
Vom französischen Mathematiker CHARLES DUPIN (1784–1873) im Jahre 1813 angegeben. Bezüglich konstruktiver Anwendungen der Dupinschen Indikatrix siehe [Bra].
Mit Ausnahme des Fundamentalsatzes soll daher auf ihre Beweise nicht verzichtet werden. Für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel ist jedoch das Studium dieses Abschnittes — mit Ausnahme des Theorema egregiums — nicht unbedingt erforderlich.
ELVIN BRUNO CHRISTOFFEL (1829–1900). Diese Größen hatte zuvor bereits BERNHARD RIEMANN (1826–1866) eingeführt.
G. Mainardi (1800–1876), B. Codazzi (1794–1859).
In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Geometrie des Raumes durch die Verteilung von Masse und Energie bestimmt.
Der Beweis dieses Satzes (s. etwa [dCa], [Str], [Kli]) erfolgt durch Integration der Ableitungsgleichungen.
Insbesondere die umfangreichen Vermessungsarbeiten, die C. F. GAUSS von 1821 bis 1825 im Königreich Hannover durchführte, lieferten ihm zahlreiche Anregungen zur Flächentheorie.
Die Normalkrümmung κ n ist keine innergeometrische Größe; sie hängt nach (4.59) auch von den bij ab.
sind die durch (4.92) definierten Christoffelsymbole.
Man beachte, daß das Netz im Ursprung x0 singulär ist und daß die geodätischen Kreise keine Geodätischen sind.
Aus dieser Differentialgleichung sind z.B. alle Flächen konstanter Gaußscher Krümmung bestimmbar ([Kre], Bemerkung 6.3).
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© 1997 B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig
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Wünsch, V. (1997). Lokale Flächentheorie. In: Differentialgeometrie. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Ökonomen und Landwirte. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-05981-3_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-05981-3_5
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-8154-2095-9
Online ISBN: 978-3-663-05981-3
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