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Allgemeine Lösungsmethoden

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Book cover Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen

Zusammenfassung

Lösung, Integral, Integralkurve (IKurve) der Differentialgleichung

$$y' = f(x,y)$$
((1))

heißt jede differenzierbare Funktion y = φ(x), welche diese GI erfüllt, d. h. für welche

$$\varphi '(x) = f(x,\varphi (x))$$

identisch in x gilt. Ist f in dem betrachteten Bereich stetig, so hat jede Lösung φ (x) stetige Ableitungen. Man findet auch die Bezeichnung Stammgleichung oder allgemeines Integral für eine nicht identisch erfüllte GI

$$\Phi (x,y,C) = 0\quad oder\quad \Phi (x,y) = C$$
((2.1))

von der Art, daß die Integrale von (I) gerade die differenzierbaren Funktionen y = φ (x) sind, die man durch Auflösung dieser Glen nach y für einen gewissen Bereich der Konstanten C erhält: Φ selber wird dann eine Stammfunktion oder ebenfalls ein allgemeines Integral der D Gl genannt 1).

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Literatur

  1. Die Bezeichnungen „Stam m Gl“ und „Stammfunktion“ entstammen der älteren Literatur und sind dort wie auch in der obigen Einführung nicht präzis genug definiert. Vgl. hierzu 2.6 und 4.12.

    Google Scholar 

  2. Vgl. z. B. O. Perron, Math. Annalen 76 (1915) 471– 484.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  3. Kamke, DGlen, S. 59– 65, 75– 77.

    Google Scholar 

  4. M. Fukuhara, Japanese Journal of Math. 5 (1928) 239– 251. Einen Bericht über Existenzsätze und ihre Beweise findet man bei M. Müller, Jahresbericht DMV 37 (1928) 42f. Kamke, DGlen I, S. 82–89, 99–101.

    MATH  Google Scholar 

  5. Es können sogar durch jeden Punkt des betrachteten Gebiets unendlich viele IKurven gehen; vgl. M. Lavrentieff, Math. Zeitschrift 23 (1925) 197– 209.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  6. Vgl. z. B. Kamke, DGlen, S. 98. Für weitere Eindeutigkeitssätze s. M. Müller, Sitzungsberichte Heidelberg 1927, 9. Abhandlung und Jahresbericht DMV 37 (1928) 45– 48 sowie E. Kamke, Sitzungsberichte Heidelberg 1930, 17. Abhandlung. Auch später ist noch eine Reihe von Arbeiten zur Eindeutigkeitsfrage erschienen. Z. B.: H. Okamura, Memoirs Kyoto A 17 (1934) 319– 328; s. dazu das Referat von M. Müller im Jahrbuch FdM 6011 (1934) 1093f.

    Google Scholar 

  7. A. Marchaud, Mathematica 10 (1935) 1–31. Kamke, DGlen I, S. 104.

    Google Scholar 

  8. Vgl. z. B. M. Müller, Sitzungsberichte Heidelberg 1927, 9. Abhandlung.

    Google Scholar 

  9. Vgl. z. B. Kamke, DGlen, S. 553 ff., DGlen I, S. 74 ff.

    Google Scholar 

  10. M. Gajas. Bulletin Sc. math. (2) 58 (1934) 236–240; mit vereinfachtem Beweis im Referat von M. Müller, Jahrbuch FdM 601 (1934) 374f.

    MATH  Google Scholar 

  11. Vgl. z. B. Kamke, DGlen I, S. 79, Aufg. 28 nebst der Lösung auf S. 307. Runge-König, Numerisches Rechnen, S. 238–262, 300–311.

    Google Scholar 

  12. Monatshefte f. Math. 39 (1932) 15–50; 41 (1934) 384–391; 48 (1939) 19–25. Dort werden auch noch Verschiebungen mit Richtungsänderungen der Linienelemente behandelt.

    Google Scholar 

  13. Vgl. z. B. Horn, DGlen, S. 101ff.

    Google Scholar 

  14. Sitzungsberichte Heidelberg 1919, 12., 2. und 8. Abhandlung mit Berichtigung ebenda 1920, 9. Abhandlung, Fussnote auf S. 10.

    Google Scholar 

  15. Verschärfung eines Satzes von Poincaré durch O. Perron, Math. Annalen 113 (1936) 292–303.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  16. Vgl. z. B. Kamke, DGlen II, S. 4ff.

    Google Scholar 

  17. Ważewski, Mathematica 8 (1933) 103ff.

    Google Scholar 

  18. E. Kamke, Jahresbericht DMV 44 (1934) 156–161.

    Google Scholar 

  19. Kamke, DGlen, S. 94f., DGlen I, S. 110ff.

    Google Scholar 

  20. Kamke, DGlen, S. 94, DGlen I, S. 110.

    Google Scholar 

  21. Kamke, DGlen, S. 82, 91, DGlen I, S. 105, 125.

    Google Scholar 

  22. O. Perron, Math. Annalen 76 (1915) 471 ff.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  23. Kamke, DGlen, S. 93, DGlen I, S. 109.

    Google Scholar 

  24. G. Ascoli, Berzolari Scritti, S. 617–635. Vgl. auch das Referat von M. Müller im Jahrbuch FdM 6211, S. 1260f. Für lineare DGlen s. 4.4.

    Google Scholar 

  25. Vgl. O. Perron, Jahresbericht DMV 22 (1913) 356f.

    MATH  Google Scholar 

  26. Für einen allgemeineren Existenzsatz s. auch B.Manià, Rendiconti Istituto Lombardo (2) 69 (1936) 461– 476 und das Referat von M. Müller im Jahrbuch FdM 6211, S. 1258–1266.

    Google Scholar 

  27. Vgl. hierzu etwa Serret-Scheffers, Differential- und Integralrechnung III, S. 118–134; Kamke, DGlen, S. 115ff. Gegen die obige Definition ist einzuwenden, daß nach ihr bei dem Beispiel F = (t-x)2 jedes der DGl genügende Linienelement singulär ist; die DGl ist aber völlig gleichwertig mit der sehr einfachen expliziten DGl y′=x. Die obige Unterscheidung zwischen regulären und singulären Linienelementen erklärt sich daraus, daß in der Umgebung eines regulären Linienelements auf Grund des im vorletzten Absatz von 3.1 erwähnten Satzes über implizite Funktionen die DGl (1) nach y′ aufgelöst werden kann. Der erwähnte Satz liefert aber nur eine hinreichende, keine notwendige Bedingung für die Auflösbarkeit, die Auflösung kann also auch in der Umgebung von singulären Linienelementen möglich sein. Daher hat Kamke a. a. O. die ältere Definition der singulären Linienelemente abgeändert. Für eine andere Abänderung s. S. K. Zaremba, Bulletin Acad. Polonaise Cracovie A 1931, S. 289–321 und das Referat von Kamke im Jahrbuch FdM 571, S. 505. — Kamke, DGlen I, S. 63 ff.

    Google Scholar 

  28. Vgl. auch 28.

    Google Scholar 

  29. O. Perron, Math. Zeitschrift 6 (1920) 158–160. H. Spädth, ebenda 30 (1929) 487ff.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  30. Für derartige Entwicklungen s. Knopp, Unendl. Reihen, S. 554ff.

    Google Scholar 

  31. Oder auch eindimensional (Jaccbsthal).

    Google Scholar 

  32. P. Appell, Journal de Math. (4) 5 (1889) 366.

    Google Scholar 

  33. Zu den folgenden Ausführungen vgl. man 1.

    Google Scholar 

  34. Vgl. z. B. O. Perron, Math. Annalen 78 (1918) 378–384. Kamke, D G len, S. 126 bis 130, 135f., DGlen I, S. 85 ff., S. 9 7 ff. M. üller, Sitzungsberichte Heidelberg 1927, 9. Abhandlung; Jahresbericht DMV 37 (I928) 33–48: Math. Zeitschrift 26 (1927) 619–645.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  35. H. Kneser, Sitzungsberichte Preuß. Akad. 1923, S. 171–174. M. Müller, Math. Zeitschrift 28 (1928) 349–355.

    Article  MATH  Google Scholar 

  36. M. Fukuhara, Proceedings Acad. Tokyo 6 (1930) 360–362.

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  37. E. Kamke, Acta Math. 58 (1932) 71f.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  38. E. Digel, Math. Zeitschrift 39 (1934) 157–160.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  39. Vgl. z. B. Kamke, DGlen, S. 141. Für weitere Eindeutigkeitssätze s. die S. 2, Fußnote 3 angegebene Literatur.

    Google Scholar 

  40. C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, 1. Aufl. Leipzig und Berlin, 1918, Kap. 11.

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  41. Vgl. z. B. Kamke, DGlen, S. 154–166. Für eine Verallgemeinerung s. M. Tsuji, Japanese Journal of Math. 16 (1939) 149–161. — Kamke, DGlen I, S. 104.

    MathSciNet  Google Scholar 

  42. Vgl. z. B. Kamke, DGlen, S. 149ff., 161 ff. — DGlen I, S. 112, 121

    Google Scholar 

  43. Der Fall, daß die f v stetig sind. aber das DGlsSystem nicht mehr schlicht zu sein braucht, ist behandelt bei E. Kamke, Acta Math. 58 (1932) 57–85.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  44. Für „Stabilität im Sinne von Poisson“ s. Poinearé Mécanique céleste III, S. 141.

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  45. Vgl. z. B. Goursat, Cours d’Analyse III, S. 28ff. Poincaré, Acta Math. 13 (1890) 1–270, Kap. I; Mécanique céleste. P. Bohl, Journal für Math. 127 (1904) 179–276;

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  46. Bulletin Soc. Math France 38 (1910) 5–138.

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  47. A. Liapounoff, Annales Toulouse (2) 9 (1907) 203–475

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  48. E. Cotton, Bulletin Soc. Math. France 38 (1910) 144–154;

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  50. O. Perron, Math. Zeitschrift 32 (1930) 703–728.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  51. F. Lettenmeyer, Sitzungsberichte München 1929, S. 201–252. Ein Teil dieser Arbeiten bezieht sich auf die spezielleren „dynamischen Systeme“ (vgl. 7. 1).

    Google Scholar 

  52. O. Perron, Math. Zeitschrift 29 (1929) 129–160.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  53. Vgl. z. B. Kamke. DGlcn, S. 124–126. DGlen I, S. 74ff.

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  54. O. Perron, Math. Annalen 113 (1936) 300. Vgl. auch 12.

    Google Scholar 

  55. Vgl. z. B. Kamke, DGlen II. S. 11 ff.

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  56. Vgl. Kamke, DGlen, S. 153, DGlen I, S. 111.

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  57. Kamke, DGlen, S. 152, DGlen I, S. 110.

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  59. Diese Untersuchungen stammen von H. Poincaré und I. Bendixson. Vgl. I. Bendixson, Acta Math. 24 (1901) 1–88. Kamke, DGlen, S. 204–224. M. Petrovitch, Intégration qualitative des équations différentielles = Mémorial Sei. Math. 48 (1931).

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  60. H. Dulac, Bulletin Soc. Math. France 36 (1908) 216–224; 51 (1923) 45–188; Points singuliers des équations différentielles = Mémorial Sei. Math. 61 (1934).

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  61. O. Perron, Math. Zeitschrift 15 (1922) 121– 146. Vgl. auch G. Hoheisel. Jahresbericht DMV 42 (1932) 33– 42.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  62. O. Perron, Math. Zeitschrift 16 (1923) 273–295. Vgl. auch I. Bendixson, a. a. O.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  63. J. Horn, Archiv Math. (3) 8 (1905) 237–245.

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  64. S. K. Zaremba. Bulletin Acad. Polonaise Cracovie A 1934, S. 197–207.

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  65. O. Perron, Math. Annalen 75 (1914) 256– 273.

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  66. J. Haag, Bulletin Sc. math. (2) 60 (1936) 131– 138. Für φ(x) = xk; bei Bendixson, a. a. O.; dort auch Methoden zur Berechnung der Lösungen (Iterationsverfahren). Zur Berechnung der Lösungen s. auch J. Horn, Jahresbericht DMV 25 (1917) 301–325; Journal für Math. 144 (1914) 167–189, 151 (1921) 167–199; Math. Zeitschrift 13 (1922) 263– 282. G. Rémoundos, Bulletin Soc. Math. France 36 (1908) 185–195.

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  67. Vgl. z. B. Kamke, DGlen, S. 167, DGlen F, S. 136. Der allgemeine Existenzsatz 5∙3 liefert natürlich auch hier wieder einen weiter gehenden Satz. Ferner z. B. L. Schlesinger, Journal für Math. 131 (1906) 202–215.

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  68. D. h. je endlich viele der Funktionen sollen linear unabhängig sein; zu diesem Begriff s. 17.1.

    Google Scholar 

  69. W. C. Risselman, Duke Math. Journal 4 (1938) 640– 649. Dort werden noch allgemeinere Ansätze sowie die Konvergenzfrage behandelt.

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  70. Kamke, DGlen, S. 151 f., DGlen I, S. 109. Für eine Verallgemeinerung s. E. Kamke, Sitzungsberichte Heidelberg 1930, 17. Abhandlung, S. 10.

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  71. Vgl. auch M.Bôcher, Americ. Journ. Math. 24 (1902) 311–318.

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  72. J. Tamarkin, Bulletin Americ. Math. Soc. 36 (1930) 99–102.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  73. Vgl. dazu G. D. Birkhoff — R. E. Langer, Proceedings Americ. Acad. 58 (1923) 53ff.

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  74. Vgl. Fußnote 1 der vorigen Seite.

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  75. Das ist das sog. Peano-Baker-Verfahren. Vgl. Ince, Diff.. Equations, S. 408ff H. F. Baker, Proceedings London Math. Soc. 34 (1902) 347–360; 35 (1903) 333 bis 378; (2) 2 (1905) 293–296.

    Article  Google Scholar 

  76. Für einen Existenzbeweis mit Hilfe des Produktintegrals von Volterra und Schlesinger s. G. Rasch, Journal für Math. 171 (1934) 75–119.

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  77. G. A. Bliss, Transactions Americ. Math. Soc. 28 (1926) 569.

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  78. Vgl. 17.5, 17.6 und M. Bôcher, Transactions Americ. Math. Soc. 14 (1913) 403–420.

    Article  MATH  Google Scholar 

  79. Vgl. E. Bounitzki, Journal de Math. (6) 5 (1909) 65ff.

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  80. Manche Autoren verlangen hier — e v,k , statt e v,k .

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  81. Vgl. hierzu 18 und Ince, Diff. Equations, S. 468.

    Google Scholar 

  82. Für Hinweise auf den Fall einer reellen Veränderlichen x s. den Schluß von 10.2 sowie 11.

    Google Scholar 

  83. Dann liegt der Fall 6.3 vor.

    Google Scholar 

  84. Vgl. 18.2.

    Google Scholar 

  85. Diese vorsichtige Ausdrucksweise ist nötig, weil r komplex sein kann.

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  86. Vgl. dazu 18.2.

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    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  88. Proceedings Americ. Acad. 38 (1903) 341–370.

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  89. Das scheint bisher nur durchgeführt zu sein, nachdem zuvor das System (11) in eine „kanonische“ Gestalt gebracht ist.

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  90. Ince, Diff. Equations, S. 469–493. G. D. Birkhoff, Transactions Americ. Math. Soc. 10 (1909) 436–470.

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  91. J. Horn, Jahresbericht DMV 24 (1915) 309– 329; 25 (1917) 74–83.

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  92. Für die Heranziehung von Integralen s. auch .J. Pierce, Amcric. Math. Monthly 43 (1936) 530–539.

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  93. F. Lettenmeyer, Sitzungsberichte München 1926, S. 287–307.

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  94. Ince, Diff. Equations, S. 155f. Für schärfere Aussagen s. O. Perron, Math. Zeitschrift 31 (1930) 748– 766.

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  95. F. Lettenmeyer, Sitzungsberichte München 1929, S. 201–252.

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  99. Vgl. 6.3. O. Perron, Sitzungsberichte Heidelberg 1918, 13. und 15. Abhandlung; 1919, 6. Abhandlung. J. Tamarkin — A. Besicovitch, Math. Zeitschrift 21 (1924) 119–125.

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  100. Die Funktionen f p , g p,q , dürfen komplexe Werte haben; x und ϱ sind reell.

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  101. Vgl. z. B. Kamke, DGlen, S. 179–193, DGlen I, S. 146–156.

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  102. Die oben angegebene Transformation ist nicht die einzige, durch welche die DGl (1) in ein System von DGlen erster Ordnung übergeführt wird. Vgl. dazu 10.2 (gegen Ende) und 25.2 (c).

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  103. Tôhoku Math. Journ. 39 (1934) 299–315; Referat von M. Müller im Jahrbuch FdM 60II (1934) 1106–1108. Vgl. auch L. Fantappiè, Memorie Accad. d’Italia 1 (1930) Nr. 2.

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  110. Dort findet man noch weitere Sätze ähnlicher Art, aber mit komplizierterem Wortlaut; ebenso bei R. D. Carmichael, Annals of Math. (2) 19 (1917–18) 159–171 und Americ. Journal Math. 44 (1922) 129–152.

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  111. Vgl. auch M. Nagumo, Japanese Journal of Math. 5 (1928) 225–238.

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  112. Die am Anfang von 17.1 genannten Voraussetzungen sollen jetzt für das abgeschlossene Intervall a ≦ x ≦ b erfüllt sein.

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  113. Vgl. Ince, Diff. Equations, S. 160, 365ff. Die in dem Abschnitt 18 behandelten Dinge gehören einem eingehend untersuchten, umfangreichen Gebiet der Theorie der DGlen an. Vgl. dazu Encyklopädie II B 5 und 6; Ince a. a. O.; Poole, Diff. Equations; Forsyth, Diff. Equations; Schlesinger, Handbuch der linearen DGlen. Für den Fall, daß die Koeffizienten f(x) in Dirichletsche Reihen entwickelbar sind, s. S. Borofsky, Annals of Math. 32 (1931) 811–829. — Kamke, DGlen I, S. 200ff.

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  114. Der Fall einer regulären Stelle ist insofern darin enthalten, als jedes g v den Faktor (x- ξ)n-v enthalten und dann die D Gl durch (x- ξ)n dividiert werden kann.

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  115. Vgl. Horn, DGlen, S. 124–126.

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  116. Vgl. hierzu G. Frobenius, Journal für Math. 76 (1873) 214– 235. Horn, DGlen, S. 113–124. Ince, Diff. Equations, S. 396– 415. Für eine etwas abgeänderte Darstellung s.

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  117. E. C. Poole, Proceedings London Math. Soc. (2) 37 (1934) 209–220.

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  118. Diese vorsichtige Ausdrucksweise ist deswegen nötig, weil r komplex sein kann.

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  121. Vgl. Ince, Diff. Equations, Kap. 17. L. W. Thomé, Journal für Math. 74 (1872) 193–217; 75 (1873) 265–291; 76 (1873) 273–302.

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  125. O. Perron, Math. Annalen 66 (1909) 479ff. Für Sätze ähnlicher Art s.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  126. auch 22.5 sowie J. M. Sheffer, Transactions Americ. Math. Soc. 35 (1933) 184–214.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  127. Vgl. G. Floquet, Annales École Normale (2) 12 (1883) 47– 88. Ince, Diff. Equations, S. 381 ff.

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  128. Dieses ist z. B. der Fall, wenn f 1 = 1 und die f v regulär sind; vgl. hierzu die Mathieusche DGl C 2.22 und die Hillsche DGl C 2.30.

    Google Scholar 

  129. Horn, DGlen, S. 98f. Für eine andere Methode s. Ince, a. a. O., S. 383. Die DGI in der f und g periodische Funktionen mit gemeinsamer Periode sind, ist behandelt bei G. Calamai, Atti Accad. Lincei (6) 19 (1934) 560–566.

    Google Scholar 

  130. Vgl. G. Floquet, Annales École Normale (3) 1 (1884) 181– 238, 405– 408. Ince, Diff. Equations, S. 375ff.

    MathSciNet  Google Scholar 

  131. M. Bôcher, Bulletin Americ. Math. Soc. 5 (1899) 275–281.

    Article  Google Scholar 

  132. Vgl. hierzu Ince, Diff. Equations, S. 187ff. H. Bateman. Transactions Cambridge Soc. 21, No. VII (1909) 171–196.

    Google Scholar 

  133. Der Kurvenbegriff unterliegt den in der Funktionentheorie üblichen Beschränkungen, die dadurch bedingt sind, daß das Integral existieren soll. Die Kurve kann geschlossen sein. Sie kann auch die reelle t-Achse oder ein Stück davon sein; dann bleibt man im Bereich reeller Veränderlicher.

    Google Scholar 

  134. Ist K ein Stück der reellen t-Achse, so kann G=K gewählt werden; φ(t) braucht dann in dem t-Intervall nur n-mal stetig differenzierbar zu sein.

    Google Scholar 

  135. Hier gilt eine entsprechende Bemerkung wie in Fußnote 3.

    Google Scholar 

  136. Siehe die letzte Fußnote auf S. 90.

    Google Scholar 

  137. Vgl. hierzu Schlesinger, Handbuch der linearen DGlen I, S. 409– 426. Forsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 267ff. Ince, Diff. Equations, S. 443– 454. J. Horn, Math. Annalen 71 (1912) 510– 532. L. Fantappiè, Memorie Accad. d’Italia 1, No. 2 (1930).

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  138. Diese brauchen nicht alle denselben Grad zu haben.

    Google Scholar 

  139. Das ist z. B. der Fall, wenn τ eine schwach singuläre Stelle der DGl (16) ist, und solche gibt es z. B., wenn Q m (t) nur einfache Nullstellen hat; daß r keine ganze Zahl ≧ 0 ist, wird gefordert, damit nicht y ≡ 0 wird.

    Google Scholar 

  140. J. Horn, Math. Zeitschrift 8 (1920) 100–114; 21 (1924) 85– 95.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  141. Vgl. Doetsch, Laplace-Transformation. H. Droste, Die Lösung angewandter Differentialgleichungen mittels Laplacescher Transformation, Berlin 1939 = Neuere Rechenverfahren der Technik, Heft 1.

    Google Scholar 

  142. K. W.Wagner, Operatorenrechnung nebst Anwendungen in Physik und Technik. Leipzig 1940.

    Google Scholar 

  143. Doetsch, a. a. O., S. 401 ff.

    Google Scholar 

  144. Doetsch, a. a. O., S. 329.

    Google Scholar 

  145. Vgl. Ince, Diff. Equations, S. 195.

    Google Scholar 

  146. Vgl. Ince, Diff. Equations, S. 191f.

    Google Scholar 

  147. Diese Funktionen P v , Q v sind natürlich andere als die vorher ebenso bezeichneten Funktionen.

    Google Scholar 

  148. Siehe Fußnote 1 auf S. 98.

    Google Scholar 

  149. Vgl. Ince, Diff. Equations, S. 197ff.

    Google Scholar 

  150. Vgl. die bei 19.2 angegebene Literatur, ferner H. Poincaré, Americ. Journ. Math. 7 (1885) 203–258.

    Article  Google Scholar 

  151. J. Horn, Acta Math. 24 (1901) 289–308.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  152. W. Sternberg, Math. Annalen 81 (1920) 119–186.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  153. J. Horn, Journal für Math. 133 (1908) 16– 67.

    Google Scholar 

  154. C. E. Love, Annals of Math. (2) 15 (1913–14) 145–156.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  155. W. J. Trjitzinsky, Acta Math. 62 (1934) 167–226; Transactions Americ. Math. Soc. 37 (1935) 80–146.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  156. Acta Math. 43 (1922) 319– 336.

    Google Scholar 

  157. O. Perron, Journal für Math. 143 (1913) 25–50, insbes. S. 46; 142 (1913) 254–270; insbes. S. 267; Math. Zeitschrift 1 (1918) 27–43.

    Google Scholar 

  158. Vgl. auch F. Lettenmeyer, Sitzungsberichte München 1929, S. 201–252.

    Google Scholar 

  159. L. Cesari, Annali Pisa (2) 9 (1940) fasc. III/IV, S. 1–24.

    MathSciNet  Google Scholar 

  160. W. B. Fite, Transactions Americ. Math. Soc. 19 (1918) 344– 350.

    MathSciNet  Google Scholar 

  161. Für ähnliche Sätze bei allgemeineren D Glen s. A. Kneser, Math. Annalen 42 (1893) 421 ff.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  162. O. Perron, Sitzungsberichte Heidelberg 1919, 6. Abhandlung, S. 22– 25. Vgl. auch 12 und O. Perron, Sitzungsberichte Heidelberg 1918, 13. und 15. Abhandlung, S. 26ff. bzw. S. 26–30.

    Google Scholar 

  163. W. J. Trjitzinsky, Acta Math. 67 (1936) 1–50.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  164. G. D. Birkhoff, Transactions Americ. Math. Soc. 9 (1908) 219–231.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  165. Vgl. G. D. Birkhoff, Transactions Americ. Math. Soc. 9 (1908) 380f.; Rendiconti Palermo 36 (1913) 117, Fußn. 10.

    Google Scholar 

  166. O. Perron, Sitzungsberichte Heidelberg 1919, Abhandlung 6, S. 25f.

    Google Scholar 

  167. M. H. Stone, Transactions Americ. Math. Soc. 28 (1926) 695ff.

    Article  Google Scholar 

  168. J. Tamarkine, Math. Zeitschrift 27 (1928) 1–54.

    Article  Google Scholar 

  169. Für den Fall, daß g(x) eine Nullstelle hat und die Variable x komplex sein darf, s. H. Scheffé, Transactions Americ. Math. Soc. 40 (1936) 127–154.

    Article  Google Scholar 

  170. Vgl. z. B. Kamke, DGlen I, S. 180– 187, ferner 16 und 17.1.

    Google Scholar 

  171. U. Broggi, Rendiconti Istituto Lombardo (2) 63 (1930) 1047–1050.

    MATH  Google Scholar 

  172. Vgl. z. B. Kamke, DGlen I, S. 187–193.

    Google Scholar 

  173. Dieses formale Vorgehen (einschließlich noch weitergehender formaler Operationen) ist als sog. Heaviside-Kalkül bekannt. Tatsächlich ist es in dem obigen Umfange bereits von Lagrange einwandfrei begründet worden. Vgl. dazu K. Th. Vahlen, Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 13 (1933) 283–298. Für seine Begründung mittels der Laplace-Transformation vgl. 19.3 unddie dort angegebene Literatur.

    Article  Google Scholar 

  174. U. Broggi, Rendiconti Istituto Lombardo (2) 63 (1930) 1047–1050.

    MATH  Google Scholar 

  175. Vgl. Forsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 260ff.

    Google Scholar 

  176. A. Mambriani, Bolletino Unione Mat. Italiana 17 (1938) 26–32.

    Google Scholar 

  177. Vgl. auch 18.6 (b), insbes. für den obigen Teil (b).

    Google Scholar 

  178. Vgl. L. Pochhammer, Math. Annalen 35 (1890) 470–526; 37 (1890) 500–543. Ince, Diff. Equations, S. 454– 460. Ferner auch 19.5.

    Article  MATH  Google Scholar 

  179. W. Anissimoff, Math. Annalen 56 (1903) 273–276

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  180. M. Nagumo, Proc. Phys.-math. Soc. Japan (3) 19 (1937) 861– 865.

    Google Scholar 

  181. Ida Groppi, Bolletino Unionc Mat. Italiana 17 (1938) 179–182. Vgl. auch M. Picone, Annali di Mat. (4) 20 (1941) 97ff.

    Google Scholar 

  182. M. Nagumo, Proc. Phys.-math. Soc. Japan (3) 21 (1937) 529–534. Vgl. auch Nachtrag zu B 8.3.

    MathSciNet  Google Scholar 

  183. K. Yosida, Japanese Journal of Math. 9 (1932) 145–152, 227–230.

    MATH  Google Scholar 

  184. E. Milne, Bulletin Americ. Math. Soc. 28 (1922) 102–104.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  185. Vgl. hierzu 16.

    Google Scholar 

  186. Kourensky, C. R. Paris 192 (1931) 1627–1629.

    Google Scholar 

  187. Vgl. auch 25.8 (b), (c).

    Google Scholar 

  188. Das läßt sich ähnlich beweisen wie der Satz 5 auf S. 91 bei Kamke, DGlen. Vgl. auch F. H. Murray, Annals of Math. (2) 24 (1923) 69–88.

    MATH  Google Scholar 

  189. Vgl. Kamke, Americ. Math. Monthly 1939.

    Google Scholar 

  190. J. K. L. MacDonald, Bulletin Americ. Math. Soc. 45 (1939) 164–171.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  191. Zu diesem von L. Euler herrührenden Verfahren und zur Konvergenzfrage s. Perron, Kettenbrüche, § 80.

    Google Scholar 

  192. Vgl. hierzu auch E. L. Ince, Proceedings Edinburgh Math. Soc. 34 (1916) 146–154.

    Article  MATH  Google Scholar 

  193. Vgl. M. Bôcher, Bulletin Americ. Math. Soc. 4 (1898) 365ff. und Méthodes de Sturm. M. Picone, Annali Pisa 10 (1908). Ince, Diff. Equations, S. 223–230.

    Article  MATH  Google Scholar 

  194. Vgl. Ince, Diff. Equations, S. 226f. Für eine Ausdehnung der Formel auf DGlen n-ter Ordnung s. G. Cimmino, Atti Accad. Lince (6) 9 (1929) 524–526(6) 28 (1938) 354–364.

    MATH  Google Scholar 

  195. Für f = 1 bei M. Bôcher, Bulletin Americ. Math. Soc. 4 (1898) 301f.

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  196. F. H. Murray, Annals of Math. (2) 24 (1923) 69–88.

    MATH  Google Scholar 

  197. A. Kneser, Math. Annalen 42 (1893) 409–435; Journal f. Math. 116 (1896) 178–212; 117 (1897) 72–103; 120 (1899) 267–275.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  198. G. Ascoli, Atti Accad. Lincei (6) 22 (1935) 234–243. Caligo, Bolletino Unione Mat. Italiana (2) 3 (1941) 286–295.

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  199. M. Biernacki, Prace mat.-fiz. 40 (1933) 163–171. Vgl. auch H. Milloux, ebenda 41 (1934) 39–54 sowie 2).

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  200. A. Wiman, Acta Math. 66 (1936) 121–145.

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  201. G. Sansone, Berzolari Scritti, S. 385– 403. Z. Butlewski, Mathematica 12 (1936) 36–48. Vgl. ferner 23.4.

    Google Scholar 

  202. W. B. Fite, Transactions Americ. Math. Soc. 19 (1918) 342f. Der Beweis scheint nicht lückenlos zu sein, kann aber leicht vervollständigt werden.

    MathSciNet  Google Scholar 

  203. Außer der in 18.2 angegebenen Literatur vgl. auch Forsyth-Jacobsthal, DGlen, S. 152–163, 244–259, 584–597. Whittaker- Watson, Modern Analysis, S. 197–201.

    Google Scholar 

  204. M. Bôcher, Transactions Americ. Math. Soc. 1 (1900) 40– 52. vgl. auch 18.9.

    Article  MATH  Google Scholar 

  205. Vgl. Ince, Diff. Equations, S. 169ff.

    Google Scholar 

  206. Vgl. Y. Ikeda, Math. Zeitschrift 22 (1925) 16– 25; dort ist das Verfahren auf die Besselsche DGl angewendet.

    Article  MATH  Google Scholar 

  207. G. Fubini, Atti Accad. Lincei (6) 26 (1937) 253– 259; Referat von M. Müller im Jahrbuch FdM 631, S. 434.

    MATH  Google Scholar 

  208. G. Hoheisel, Journal für Math. 153 (1924) 228–244; dort finden sich auch weiterreichende Ausführungen. Weiter vgl. 20 sowie etwa

    MATH  Google Scholar 

  209. J. Horn, Archiv Math. (3) 4 (1903) 213–230. A. Hamburger, Über die Restabschätzung bei asymptotischen Darstellungen der Integrale linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Diss. Berlin 1906.

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  210. O. Blumenthal, Archiv Math. (3) 19 (1912) 136–174.

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  211. Vgl. B 9.10 (c) und R. E. Langer, Bulletin Americ. Math. Soc. 40 (1934) 545–582.

    Article  Google Scholar 

  212. Vgl. hierzu G. D. Birkhoff, Annals of Math. (2) 12 (1910– 11) 103– 127.

    MathSciNet  Google Scholar 

  213. G. Mamana, Rendiconti Istituto Lombardo (2) 63 (1930) 272–282.

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  214. G. Gallina, Bolletino Unione Mat. Italiana 12 (1933) 142–145.

    Google Scholar 

  215. Die Koeffizienten sind ausgerechnet bei W. Sternberg, Math. Zeitschrift 3 (1919) 192.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  216. Außer der am Anfang genannten Literatur s. auch W. Kutta, Zeitschrift f. Math. Phys. 46 (1901) 435–453.

    MATH  Google Scholar 

  217. H. Koch, Über die praktische Anwendung der Runge-Kuttaschen Methode zur numerischen Integration von Differentialgleichungen; Diss. Göttingen 1909. Levy-Baggott, Numerical studies, S. 96–110.

    Google Scholar 

  218. Hier wird also vorausgesetzt, daß f (x,y) eine analytische Funktion ist.

    Google Scholar 

  219. Nach Schulz, Formelsammlung, S. 112. Vgl. auch Koch, a. a. O., S. 15.

    Google Scholar 

  220. Es handelt sich hier um eine Ausgestaltung des Verfahrens 2.2 für die praktische Rechnung. Vgl. auch Nyström, a. a. O., S. 29ff. A. Nowakowski, Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 13 (1933) 299–322.

    Article  Google Scholar 

  221. G. Schulz, ebenda 12 (1932) 54–59 und Formelsammlung, S. 114–116.

    Google Scholar 

  222. Außer der am Anfang angegebenen Literatur vgl. F. Bashfort — J. C. Adams, An attempt to test the Theory of Capillary Action, Cambridge 1883.

    Google Scholar 

  223. Levy-Baggott, Numerical studies, S. 111–162. G. Schulz, Formelsammlung, S. 116–126. E. T. Whittaker — G. Robinson, The Calculus of Observations, London 1924, S. 363– 367.

    Google Scholar 

  224. Für einen Beweis der Konvergenz des Verfahrens s. J. Tamarkine, Math. Zeitschrift 16 (1923) 214–219.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  225. A. a. O., S. 33.

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  226. Americ. Math. Monthly 33 (1926) 455 – 460.

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  227. E. Lindelöf, Acta Soc. Fennicae A 2 (1938) No. 13, S. 6ff.

    Google Scholar 

  228. Vgl. Schulz, Formelsammlung, S. 114.

    Google Scholar 

  229. Lindow, a. a. O., S. 122. Nyström, a. a. O., S. 5f.

    Google Scholar 

  230. Vgl. hierzu 28.1 und die am Anfang von 28 angegebene Literatur, insbes. Nyström, a. a. O. Bei Nyström findet man auch Formeln für Systeme von DGlen zweiter Ordnung.

    Google Scholar 

  231. Nyström, a. a. O., S. 25, Nr. V. Vgl. auch R. Zurmühl, Zeitschr. f. angew. Math. Mech. 20 (1940) 110 f. mit entsprechenden Formeln für DGlen dritter Ordnung; jedoch erfordern die dort benutzten Bezeichnungen Vorsicht.

    Google Scholar 

  232. Vgl. C. Störmer, Comptes Rendus du Congrès international des mathématiciens Strasbourg 1920 (Toulouse 1921), S. 243– 257 und Norsk mat. Tidsskrift 3 (1921) 121–134. Schulz, Formelsammlung, S. 116–126. E. Lindelöf, Acta Soc. Fennicae A 2 (1938) No. 13.

    Google Scholar 

  233. Die rechte Seite ist dieselbe wie in 28 (3), nur hat f hier eine andere Bedeutung.

    Google Scholar 

  234. Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 22 (1942) 42.

    Google Scholar 

  235. Vgl. Störmer und Schulz, a. a. O.

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  236. Americ. Math. Monthly 40 (1933) 322–327. Vgl. auch D. R. Hartree, Memoirs Manchester 76 (1932) 91–107.

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  237. V. Blaess, Zeitschrift VDI 81 (1937) 587– 596. Vgl. auch R. Zurmühl, Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 20 (1940) 104–109.

    Article  Google Scholar 

  238. Siehe J. W. Sandström, Annalen Hydrogr. 37 (1909) 242–554. Dort findet man eine Reihe durchgeführter Beispiele, ebenso bei G. Gyllström, Meddelanden met.-hydr. Anstalt 4 (1928) Nr. 9.

    Google Scholar 

  239. Bjerknes, Meteorologie, S. 63

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  240. Ft. A. Willers, Archiv Math. (3) 26 (1917) 96–102; dort sind noch einige weitere Typen von DGlen behandelt.

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  241. Jahresbericht DMV 16 (1907) 270– 272. Fr. A. Jillers, Graphische Integration, S. 77 –83.

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  242. Neuendorff, Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 2 (1922) 131–136.

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  243. E. A. Kholodovsky, Americ. Math. Monthly 37 (1930) 231– 240.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  244. Vgl. hierzu für DGlen zweiter Ordnung auch B. G. Pobedinsky, Recueil math. Moscou 35 (1928) 87–103 (russisch); Bericht hierüber im Jahrbuch FdM 5511 (1929) 948.

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  245. A. Schwaiger, Archiv Elektrotechn. 4 (1916) 269–278.

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  246. L. Gümbel, Zeitschrift VDI 63 (1919) 771–778, 802–807; dort auch eine Reihe ausgeführter Beispiele; weitere Beispiele bei Gümbel, Jahrbuch schiffbautechn. Gesellschaft 2 (1901) 211– 294. Willers, Graphische Integration, S. 102–104.

    Google Scholar 

  247. Diese Aufgabe tritt in der Mechanik bei der Bestimmung der Seilkurve auf, und das folgende sog. Mohrsche Verfahren wird meistens auch durch Überlegungen aus der Mechanik begründet; vgl. z. B. Trefft, Graphostatik, § 30. Es läßt sich jedoch auch leicht rein mathematisch begründen.

    Google Scholar 

  248. Den Schwerpunkt S eines Trapezes mit den parallelen Seiten a und b kann man nach Fig. 38 genau konstruieren. In den meisten Fällen wird jedoch eine Schätzung nach Augenmaß genügen.

    Google Scholar 

  249. Für den Fall h ≢ 0 s. (e).

    Google Scholar 

  250. Vgl. 30.7 und Fußnote 2 auf S. 156.

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  251. Heinrich, a. a. O.

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  252. W. Richter, Ingenieur-Archiv 8 (1937) 1–3; 11 (1940) 437–450.

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  253. Vgl. Willers, Graphische Integration, S. 99–104. Mehmke, Graph. Rechnen. S. 139f.

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  254. Ingenieur-Archiv 10 (1939) 395 – 411.

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  255. Siehe Fußnote 3 auf S. 172.

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  256. Zur Erhöhung der Genauigkeit dieses Verfahrens s. (e).

    Google Scholar 

  257. Siehe Fußnote 1 auf S. 174.

    Google Scholar 

  258. Für Varianten dieses Verfahrens und sonstige nützliche Winke sei auf die Arbeit von Grammel verwiesen.

    Google Scholar 

  259. Bei Grammel ist die Konstruktion für y(x), also mit Benutzung des unendlich fernen Punktes ausgeführt.

    Google Scholar 

  260. V. Blaess, Zeitschrift f. techn. Phys. 9 (1928) 7–11.

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  261. Vgl. auch R. Zurmühl, Zeitschrift f. angew. Math. Mech. 20 (1940) 104 ff.

    Article  Google Scholar 

  262. W. Meyer zur Capellen, Zeitschrift f. techn. Phys. 11 (1930) 259f.

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  263. Siehe Fußnote 3 auf S. 177.

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  264. Organ d. Eisenbahnwesens 79 (1924) 353–358. DRP. 286519, 340239.

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  267. W. Meyer zur Capellen, Mathematische Instrumente, Leipzig 1941, S. 205 ff.

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  1. Universität Tübingen, Deutschland

    Dr. E. Kamke (Ehemals O. Professsor)

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Kamke, E. (1977). Allgemeine Lösungsmethoden. In: Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-05925-7_1

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