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Die Probleme der Grenze, der Dimension, der Krümmung und der Strecke

  • C. Isenkrahe
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Part of the Sammlung Vieweg book series (SV)

Zusammenfassung

A. Weyls Auffassung der Augenblicke als Grenzen. — Wichtigkeit des Grenzbegriffs. — Die ursprüngliche und die übertragene Sinnunterlegung des Wortes „Grenze”. — Beiziehung weiterer Grundbegriffe. —Definition des Grenzbegriffs. — Aristoteles. — Zwei Sätze Killings. — Meine Formulierung der Definition.

B. Zusammenhang zwischen den Begriffen „Grenze” und „Dimension”. —Weyls Erklärung des Begriffs „Vektor”. — Was heißt „Verschiebung des Baumes”? — Die „Vektormannigfaltigkeit”. — Killings Feststellung der Anzahl von Dimensionen mit Hilfe des Grenzbegriffs. — Vierund mehrdimensionale Kontinua.

C. Zusammenhang des Begriffs der „Krümmung” mit dem der „Richtung”. — Benutzung des Begriffs „Richtung” als Grundbegriff. — Die Auffassung von Haas. — Wegscheiden Nr. 22, 23 und 24. Zwei Fassungen von 24a. Hinweis auf gewisse Komponenten des „Energietensors”. — Definition der „Geraden”. — Wie Weyl die Gerade definiert. — Ableitung des Begriffs der Krümmung.

D. Nachprüfung der Begriffe „Richtung” und „Richtungswechsel”. — Das Problem des Augenblicks und das des Ortes als Kern der Raum- und Zeitfrage. — Der Begriff der Strecke. — Seine Abhängigkeit vom Begriff des „zwischen”. — Die Begriffe „Entfernung” und „Abstand” bedürfen, sobald die Relativitätstheorie Euklids „ebenen” und Newtons „absoluten” Raum verabschiedet, einer neuen, besonderen Definition, um nicht sinnleer zu werden.

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Notes

Referenzen

  1. 2).
    Ausführliches darüber im dritten Kapitel meiner vorerwähnten Schrift über „das Endliche und das Unendliche”. Auch im folgenden wird noch die Bede darauf kommen. Iaenkrahe, Zur Elementaranalyae der Eelativitätatheorie.Google Scholar
  2. 1).
    Vgl. „Philos. Jahrbuch” 1917, S. 83.Google Scholar
  3. 2).
    Vgl. „Das Endliche und das Unendliche”, S. 19.Google Scholar
  4. 1).
    Der Begriff einer „negativen Dimension”, den Weyl mehrfach, u. a. S. 28, 135, 174 im Anschluß an gewisse mathematische Formeln erwähnt, ist mit der hier angegebenen, auf Killing gestützten Sinnunterlegung des Wortes „Dimension” augenscheinlich unvereinbar.Google Scholar
  5. 1).
    Weyl schreibt (S. 140): „Die Weltpunkte bilden eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit; das ist vielleicht die sicherste Tatsache unseres gesamten Tatsachenwissens. “Google Scholar
  6. 2).
    Vgl. hierzu den Artikel von Arthur Haas über „die Physik als geometrische Notwendigkeit” in den „Naturwissenschaften” 1920, wo auf S. 126 zwar auch von der Beziehung der vierdimensionalen zu einer (meinerseits schon in „Das Endl. u. d. Unendl.” , S. 45 beigezogenen) fünfdimensionalen Mannigfaltigkeit die Kede ist, aber nicht von ihrer damit in allernächster Verbindung stehenden Beziehung zum Grenzbegriff.Google Scholar
  7. 1).
    Den Begriff der „Richtung” haben wir als einen „Grundbegriff” benutzt, ihn also nicht definiert, sondern seinen Sinn für gegeben erachtet. Nun schreibt A. Haas im oben erwähnten Artikel auf S. 124 u. a.: „Nur in der ebenen Geometrie hat es einen Sinn, von Eichtungen schlechthin zu sprechen; in jeder anderen krummlinigen Geometrie kann man nur von einer Richtung in einem bestimmten Punkte sprechen.” Sodann wählt erals Beispiel eine recht kleine Nadel, die auf einem recht großen Globus fortgeschoben wird „in ihrer eigenen Kichtung”, und die doch nach einiger Zeit eine andere Richtung besitzt.— Diesen Gedanken überhaupt zu vollziehen, würde jedoch schon ganz unmöglich sein für einen Menschen, dem der Begriff der Richtung nicht zuvor schon gegeben wäre! Ist er aber gegeben, und ist auch der Begriff „Punkt” gegeben, so sehe ich kein Hindernis, diese beiden Begriffe, die einander keinesfalls widerstreiten, einfach miteinander zu verbinden. Und dann kann man in einer beliebigen „Geometrie” sprechen von beliebig vielen „Richtungen” an jedem beliebigen „Punkte”. — Durchaus eine andere Sache ist es, von der Beibehaltung bzw. Änderung der Richtung zu sprechen, die feststellbar bzw. nicht feststellbar ist bei gewissen Grenzgebilden, die irgend ein Allgemeingebiet zerlegen in ein „Hüben und ein Drüben”. Da kommt es sehr wesentlich darauf an, ob ein auf einem ausgewählten Grenzgebilde bewegter Punkt, um eine ausgewählte „Richtung” beibehalten zu können, dasjenige Gebiet, in welchem er enthalten ist, verlassen muß oder nicht. Dies ist eine Angelegenheit, die sich in verschiedenen „Geometrien” verschieden verhalten mag. — Der in der Schleuder befindliche Kieselstein Davids mußte im geeigneten Moment die Kreisbahn verlassen, um die Richtung nach Goliaths,,Stirn beibehalten zu können. Ebenso muß Haas’„Nadel” den „Globus” verlassen, um bei einer Verschiebung ihre „Richtung” zu behalten. Solche Beispiele tasten aber den „Sinn” des Grundbegriffs „Richtung” nicht an; sie hindern uns nicht, ihn als „Grundbegriff” zu verwenden und festzuhalten. Viel erörtert ist die Beziehung des Begriffs der „Richtung” zum Trägheitsgesetz, zum „Impulssatz”, zur Idee des „Kreiselkompasses”, zum Foucault sehen Pendel und noch zu manchen anderen Dingen, auf die hier nicht näher eingegangen werden kann.Google Scholar
  8. 1).
    Das Wort „Direktion” wird hier (als gleichbedeutend mit „Richtung”) nur deswegen beigezogen, um durch seinen Anfangsbuchstaben D eine kurze Bezeichnung zu ermöglichen. Der Anfangsbuchstabe B des Wortes „Richtung” ist nämlich als Symbol für „Raumpunkt” bereits vorweggenommen.Google Scholar
  9. 2).
    Leicht sieht man, daß hier auch die Wegscheiden 8 und 16, die von der „symmetrischen” bzw. „asymmetrischen Beziehung” zwischen den betreffenden Punkten handeln, von durchgreifender Wichtigkeit sind. Auf den beiden a-Straßen haben D12 und D24 als voneinander verschiedene — und zwar wegender entgegengesetzten Reihenfolge der Punktzeiger — als entgegengesetzte Richtungen zu gelten. Auf den fr-Straßen hingegen ist dieser Unterschied belanglos und kann die Identität beider Richtungen nicht zerstören.Jedesmal also da, wo im späteren der „Reihenfolge” der Indizes eine Bedeutung beigelegt wird, ist von selbst die Fahrt auf der a-Straße vorausgesetzt. — Es würde viel zu weit abführen, wenn wir hier Bezug nehmen wollten auf das Verhalten der 16 Komponenten des sogenannten „Energietensors”, bei denen ebenfalls je zwei, die sich nur durch die Reihenfolge der Indizes voneinander unterscheiden, als einander gleich angenommen werden. Ebensowenig können wir eingehen auf die Frage der Gleichheit von solchen Richtungen, bei deren Kennzeichnung vier verschiedene Indizes auftreten, eine Frage, die mit dem Begriff der „Parallelität” zusammenhängt.Google Scholar
  10. 2).
    Bei Kurven können diese Punkte zu solchem Zwecke wohl einen Dienst leisten, reichen aber nicht hin. — Zur Ableitung des Begriffs der Geraden benutzt Weyl (a. a. O., S. 12 ff.) zwei Methoden, die beide denArbeitsbegriff der „Bewegung” in Anspruch nehmen, nämlich erstens die Methode der „Rotation”, zweitens die der ; Translation”. Die erste besteht nach der üblichen Weise darin, daß man eine Linie um zwei zugleich festliegende Punkte rotieren läßt und verlangt, daß dabei jeder Punkt unverrückt belassen und gelagert bleibe „an seiner Stelle”. [Frage: Worin bleibt den diese „Stelle” unverrückt „belassen”, wenn nicht in dem transmental seienden „Stellenbehälter” namens „Raum”, dessen eigene Unbeweglichkeit das „Belassenbleiben des Linienpunktes an seiner Stelle” doch überhaupt erst garantieren kann? Würde aber dieser „Stellen”-Besitzer, -Behälter und-Bewahrer selber als Ganzes verschoben, so würde er mitsamt seinem ganzen „Stellen-Inhalt” eben „von der Stelle gerückt”, und unausweichlich zwänge sich wieder die Frage auf: Worin wird er denn verschoben? Was ist den das übergeordnete Etwas, was seine alte und seine neue „Stelle” beherbergt und deren behauptete Nichtidentität begründet? — Wenn das ein Nichts, ein „non-ens” sein soll : was heißt dann überhaupt noch „Stelle” ? Was heißt „bleiben”, was heißt „verschieben”? Sind diese Worte dann noch sinnbegabt oder sind sie sinnleer?] Bezüglich der zweiten Methode schreibt Weyl (S. 14): „Die gerade Linie, können wir sagen, entsteht aus einem Punkt durch immer wiederholte Ausführung derselben infinitesimalen Translation und ihrer inversen.” — Hier wird also eine unendlich große-Mannigfaltigkeit von unendlich kleinen Verschiebungen (d. h. Bewegungen) zu Hilfe genommen. — Vgl. dazu auch S. 61, Anmerkung Hessenberg schreibt (Abhandlungen der F rie s sehen Schule, Göttingen 1904, S. 174): „“Denkt man sich unter Differentialen die berüchtigten Größen, die kleiner als jede anderen und doch nicht Null sind, so geht man auf die vorkritische Zeit der Mathematik zurück.”Google Scholar
  11. 2).
    Bei Erörterung der „Raumkrümmung” führt Weyl (S. 108) einen komplizierten Algorithmus B, unter dem Namen „Eiernannscher Krümmungstensor” ein, der nachher (S. 189 f.) als „Riemannscher Linientensor Krümmung” in der Einst einschen Gravitationstheorie eine wichtige Rolle spielt.Google Scholar

Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, Germany 1921

Authors and Affiliations

  • C. Isenkrahe

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