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Das Problem der Vergleichung räumlicher Strecken

  • C. Isenkrahe
Chapter
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Part of the Sammlung Vieweg book series (SV)

Zusammenfassung

A. Weyls Einführung der „kongruenten Abbildung“. — „Ortsversetzung“ als Hilfsmittel zum Vergleich räumlicher Strecken. — Ein und dasselbe „Ding“ „bedeckt“ zuerst das „Raumstück S“, nachher das „Raumstück S’“. — Der Begriff des „Bedeckens“ setzt voraus die transmentale Existenz des „Dinges“, welches „bedeckt“, und des „Kaumstücks“, welches „bedeckt wird“. — Starrheit des Bedeckenden als Garantie für die Gleichheit der bedeckten räumlichen Strecken.

B. Bedenken gegen die Starrheit. — Weyls Volumgleichung. — Lorentzkontraktion. — Die Länge der Maßstäbe nichts Festes. — Auf rotierenden Scheiben gilt die Euklidi sche Geometrie nicht. Einstein. Weyl. — Ruhlage des Maßstabes. — Wegscheiden Nr. 31, 32, 33. — Haas betont die Schwierigkeiten bei Vergleichung von Längen. — Hilbert benutzt den „Maßfaden“. — Tangentenlose Kurven von Weierstrass.

C. Sinn der Aussage, ein bewegter Maßstab verktirze seine Länge. — Welches Vergleichsobjekt existiert dafür ? — Quecksilberfäden im Thermometer. — Die absolute Raumstrecke als letzte Vergleichsinstanz. — Weyls Gruff zur Metaphysik. — Das Problem von Raum und Zeit unterliegt der physikalischen und der metaphysischen Betrachtung. Beide werden gefördert durch die „Elementaranalyse“.

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Notes

Referenzen

  1. 1).
    Nach der Relativitätstheorie kann es nämlich überhaupt keine größere Geschwindigkeit geben, als die der Lichtfortpflanzung im leeren Raum. Manche unerwartete Folgerungen lassen sich daraus ziehen: Wenn eine mit Zeitzünder versehene Bombe im Fluge explodiert, so bekommen die nach vom weggeschleuderten Sprengstücke (gemäß einem bekannten Schwerpunktsatze) eine größere Geschwindigkeit, als die Bombe sie hatte. Eine mit Lichtgeschwindigkeit fliegende Bombe könnte also entweder gar nicht existieren, oder doch nicht explodieren, oder wenn sie es täte, so könnte sie keine Scherben nach vorn schleudern, oder — der Satz gilt nicht. (Übrigens wäre dabei aber auch die „Lorentz-Kontraktion“ in Betracht zu ziehen.)Google Scholar
  2. 1).
    Daß der Körper durch Zufuhr von Wärme sein „Volumen“ ändert, ist die Sache nicht, um die es sich hier handelt.Google Scholar
  3. 2).
    Hierüber schreibt Weyl (S. 175. Ähnlich auch H. Geir ing er in den Naturwissenschaften 1918, S. 657) : „Durch ein einfaches anschauliches Beispiel kann man sich klar machen, wie die geometrischen Verhältnisse durch Bewegung in Mitleidenschaft gezogen werden. Man versetze eine ebene Scheibe in gleichförmige Rotation. Ich behaupte, wenn in demjenigen Bezugsraum, relativ zu dem hier von gleichförmiger Rotation gesprochen wird, die E uk 1 i disehe Geometrie gilt, sie auf der rotierenden Scheibe, wenn diese mittels mitbewegter Maßstäbe ausgemessen wird, nicht mehr gilt. Man betrachte nämlich einen um das Rotationszentrum beschriebenen Kreis auf der Scheibe. Sein Radius hat den gleichen Wert, ob ich ihn mittels ruhender oder mitbewegter Maßstäbe messe; denn die Bewegungsrichtung ist senkrecht zu der Längserstreckung des an den Radius angelegten Maßstabes. Hingegen ergibt sich für die Kreisperipherie mittels der mitbewegten Maßstäbe wegen der Lorentz-Kontraktion, welche sie erfahren, ein größerer Wert. Auf der rotierenden Scheibe gilt somit nicht mehr das E uklidische Gesetz, daß der Umfang des Kreises gleich 2 π mal dem Radins ist.“Google Scholar
  4. 2a).
    Die Form dieser Begründung finde ich nicht besonders uberzeugend. Beginnt die „ebene Scheibe“ — die ja nicht als vollkommen starrer Körper angesehen werden darf — zu rotieren, und unterliegt die Peripherie des Randes oder irgend eines anderen um das Zentrum beschriebenen Kreises der Lorentz - Kontraktion, so wird sie (falls die Zentrifugalkraft nicht das Gegenteil bewirkt) kürzer, als sie im Ruhezustande war; sie schrumpft ein. Infolgedessen bilden sich Spannungszustände in der Masse der Scheibe, deren Wirkung darin bestehen kann’ daß sie sich kr üü m mat und die Form einer Kalotte oder auch einer kegelmantelartigen Rotationsfläche annimmt, die um so spitzer werden müßte, je mehr die Geschwindigkeit wächst. Der unverkürzte Scheiben radius wird dabei Seite des Mantels. Soll bei solch einem Vorgange die Scheibe immer noch als „eb en“ in Geltung bleiben, so müßte der „Bezugsraum“, in welchem das der Fall ist, allerdings vom Euklidischen verschieden sein. Ob übrigens die „mitbewegten Maßstäbe“ sich verkürzen oder nicht, würde davon abhängen, ob sie in radialer oder tangentialer Richtung auf der Scheibe angebracht sind. Im letzteren Falle findet die Verkiirzung bei der „Peripherie“ und bei den „Maßstäben“ in gleichem Verhältnis statt. Einstein entwickelt das Argument vom rotierenden Kreise a. a. O. S. 12. — Sollte das „Gelten“ des „Euklidschen Gesetzes“ nicht überhaupt zu prüfen sein unter dem Gesichtspunkt, daß es laute : „Der Kreisumfang ist ceter i sparibus gleich 2 mal dem Radius?“ — Die Scheibe brauchte übrigens gar nicht zu rotieren; sehr wohl könnte der Konflikt mit dem Euklidschen Satz auch auf andere Weise erziolt und verschiedentlich variiert werden.Google Scholar
  5. 1).
    Schwierigkeiten bei Beurteilung und Vergleichung von „Längen“ gibt es von verschiedener Art, und mehrfach wurden solche schon hervorgehoben. So betont z. B. Haas (a. a. O., S.125) nachdrücklich das „Vorurteil“, welches darin bestehe, daß „wir in der klassischen, wie auch noch in der Rie mannschen Geometrie von Läng en schlechthin sprechen, statt uns darauf zu beschränken, immer nur von Längen in einem bestimmten kleinen Bereich e zu reden“. Welchen Sinn hat denn aber im Gebiet des Räumlichen überhaupt der Ausdruck „kleiner Bereich“? — Ha a s findet, daß „in einer konsequent durchgeführten Nahegeometrie, ebensowenig wie Richtungen, im allgemeinen auch Längen miteinander verglichen werden können“. Wenn also „zwei einander nahe Punkte A und B gegeben sind“ [Unmittelbar benachbart sind zwei Punkte nie, vielmehr befinden sich zwischen ihnen immer noch unzählbar viele andere Punkte : wie wird denn festgesetzt, was dazu gehört, daß A und B einander „n a h e Punkte“ sind?], und wenn „um A herum eine Längeneinheit als Maßstabseinheit gegeben ist“, so müsse uns außerdem noch reine Größe gegeben sein, die die Übertragung der Maßeinheit von dem um A gelegenen Bereich zu einem beliebigen benachbarten Bereich [B] bestimmt“. — Auch damit ist aber noch nicht alles erschöpft, was für eine zweifelfreie „Längen“messung gefordert werden kann. Würde man in der sogenannten „ebenen Geometrie“ mit einer Haasschen „Maßstabseinheit“ zurechtkommen, so erweist sich solch ein Ding bei gekrümmten Objekten als ungeeignet zur Messung einer „Länge“; daher führt Hilbert (Zweite Mitteilung, S. 2) einen „Maßfaden“ ein. Taugt der denn zweifellos für alle Fälle ? — Man kann sich ja vorstellen, daß ein ohne Hindernis biegsames Meßinstrument so angelegt werden kann, daß es bei beliebig gekrümmten Linien in jedem beliebigen Punkte die Richtung der Tangente deckt, daß das zu messende Objekt also nur (was man beim Raum voraussetzt) an sich selber stetig zu sein brauche, um mit einem stetig sich anschmiegenden Maßfaden ausgemessen werden zu können. Das oben (S. 13) erwähnte Hilbert sche Integral würde dann als ein zutreffender Ausdruck für die „Länge“ λ gelten dürfen. Nun sind aber bekanntlich Kurven definiert worden — ich nenne beispielsweise die von Weierstrass angegebene (vgl. Ro the im Taschenbuch 1913, S. 110): welche zwar in jedein Punkte stetig, in keinem Punkte jedoch differenzierbar sind, also überhaupt keine Tangenten haben, und auf die der Begriff der „Länge“ demgemäß gar nicht anwendbar ist. Wie die Differentiation hier versagt, so versagt auch die Integration. Was wird dann aus der Definition für — die „Elementaranalyse“ findet, wie man sieht, an dieser Stelle wohl noch einige Arbeit vor.Google Scholar

Copyright information

© Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, Germany 1921

Authors and Affiliations

  • C. Isenkrahe

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