Zusammenfassung
Die Probleme, die jetzt noch zu erörtern sind, beziehen sich auf mögliche Änderungen der Nettoprämienelemente. Wir erinnern zunächst noch einmal daran, daß wir bisher ausnahmslos eine absolute Konstanz der Nettoprämien vorausgesetzt haben, wobei kein grundsätzlicher Unterschied besteht, ob sie von vornherein bekannt sind — das haben wir im ersten bis vierten Kapitel angenommen — oder ob sie sozusagen nachträglich und alsdann mit geringerer Zuverlässigkeit aus den empirischen Ergebnissen der Versicherer ermittelt werden. Jedenfalls aber — und das ist von entscheidender Bedeutung — kommen in allen bisher entwickelten Formeln nur konstante Prämienelemente (insbesondere p- und q-Werte) vor. Die Ergebnisse waren insoweit durchaus präzise und exakt, besagen aber nicht das geringste für den Fall, daß die Prämiendaten als solche irgendwelchen Veränderungen unterliegen. Es ist äußerst wichtig, diese Bedingtheit klar zu erkennen, damit keine Irrtümer und Mißverständnisse entstehen1).
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Hier sind also nicht die gesetzmäßigen Veränderungen gemeint, wie sie insbesondere im Bereich der Lebensversicherung aus dem fortschreitenden Lebensalter resultieren. Sie werden bekanntlich nach dem System der gleichbleibenden Prämie auf Grund der Sterbetafel von vornherein einkalkuliert, so daß hieraus kein zusätzliches Risiko erwachsen kann.
Wiederum ergibt ein Urnenbeispiel die erforderliche gedankliche Klarheit. 10 gleichartige und gleichzeitige Versicherungsverträge entsprechen 10 Urnen mit gleichem Inhalt, die auf 10 Personen dergestalt verteilt werden, daß jede Person aus „ihrer“ Urne eine Kugel zu ziehen hat. Die Gesamtziehung erfolgt somit gleichzeitig. Der gleiche Effekt kommt aber auch dann zustande, wenn eine Person aus nur einer Urne zehnmal hintereinander eine Kugel zieht, vorausgesetzt, daß die jeweils gezogene Kugel jedesmal wieder in die Urne zurückgelegt wird, will sagen, daß der Urneninhalt vor jeder späteren Ziehung der gleiche ist, wie zu Anfang. Das wäre dann der Fall der einzelnen Versicherung, die über 10 Jahre hinweg beobachtet wird. Allerdings müssen wir genau genommen auch hier das Phänomen der „wiederholten“ Schäden (neuntes Kapitel) einbeziehen, indem wir dem ausgleichenden Effekt einer längeren Beobachtungsperiode den gravierenden Einfluß der sich alsdann häufenden Wiederholungsschäden gegenüberstellen. Vielleicht wird es sich dann zeigen, daß beispielsweise die Krankenversicherung und auch andere Versicherungszweige aus einer verlängerten Beobachtungsperiode risikomäßig keinen nennenswerten Ausgleich zu erwarten haben.
Wenn die Methode der Schadenquadrate angewandt wird, bestehen ebenfalls keine Bedenken, die Langfristigkeit der Vertragsbeziehungen durch einen proportionalen Abschlag entsprechend dem Verhältnis 1 zu berücksichtigen. Das wird allerdings problematisch, wenn in einem komplexen Versicherungsbestand nur ein Teil der Verträge langfristig gebunden ist, insbesondere natürlich dann, wenn ursprünglich längerfristige Verträge kurz vor dem Ablauf stehen. Ein Ausweg ist wohl nur so möglich, daß der Versicherer jeweils für seinen Gesamtbestand die mittlere Laufzeit der Verträge ermittelt und diese dann als zusätzliches Element des technischen Risikos mit einkalkuliert.
Als typische Vertreter dieser Auffassung seien genannt: Kaspar Neumann mit seinen „Breslauer Sterbetafeln“ und Johann Peter Süßmilch (1741: „Die göttliche Ordnung in den Veränderungen des menschlichen Geschlechts, aus der Geburt, dem Tode und der Fortpflanzung desselben erwiesen“). — Weitere Literatur bei Mahr, a. a. O., S. 62 ff.
Man kann sich zwar sehr gut vorstellen, daß ein internationaler Verband der Spielbanken (den es sicher in irgendeiner Form geben wird) ganz allgemein über einen schlechten Geschäftsgang klagt, weil etwa der Publikumsverkehr rückläufig ist, die Kosten und Unkosten nicht gedeckt werden u. a. m. Dagegen erscheint es unvorstellbar, daß alle Bankhalter „durch die Bank“ über erhöhte und damit verlustbringende Auszahlungsquoten klagen. Nach dem Gesetz der großen Zahl, angewandt auf die Vielzahl von Spielbanken und die Länge der Zeit, ist ein solcher Fall eben so extrem unwahrscheinlich, daß er tatsächlich als unmöglich bezeichnet werden kann. Ganz anders jedoch im Bereich der Versicherungswirtschaft. Hier ist es häufig geradezu an der Tagesordnung, daß nicht nur einzelne Versicherer, sondern alle Mitglieder von umfassenden Fachverbänden eine allgemeine Verschlechterung der Schadenergebnisse feststellen. Das ist, wie wir später noch zeigen werden, ein deutliches Anzeichen dafür, daß sich die p-Werte geändert haben. Hier wird man jedoch weder von einem „Unmöglich“ sprechen, noch ein versicherungsfremdes Element feststellen können.
Als Ideal würde hier die Gaußsche Verteilungskurve mit voller Symmetrie der Abschnitte beiderseits des Mittelwertes oder dichtesten Wertes gelten, es kommen aber auch verschiedene andere Verteilungskurven asymmetrischer Art in Frage.
Als typischer Vertreter einer solchen Auffassung kann Burrau genannt werden.
Ein Urnenbeispiel ähnlich dem Modell, das wir auf S. 48 ff. gebracht haben, könnte auch hier die gewünschte Anschaulichkeit vermitteln. 10 Jahre mit völlig konstanten p-Werten entsprechen 10 Urnen mit absolut gleichem Kugelinhalt. Das Ergebnis der 10 Ziehungen ist maximal unsicher. Wenn andererseits die gleichbleibende Gesamtzahl und Zusammensetzung der Kugeln so verteilt wird, daß die Urneninhalte differieren, erhalten wir „heterogene Jahre“ mit dem Erfolg, daß die Unsicherheit geringer wird.
Dann wird allerdings um so mehr die Frage akut, wie weit man sich tatsächlich auf die Konstanz der Mittelwerte verlassen kann.
Vgl. F. Rueff, Ableitung von Sterbetafeln für die Rentenversicherung und sonstige Versicherungen mit Erlebensfallcharakter, Sonderveröff. Nr. 2 der Deutschen Gesellschaft für Versicherungsmathematik, Würzburg 1955
G. Wünsche: Invaliditätsversicherung und säkulare Sterblichkeitsänderung, Transactions XV. International Congress of Actuaries, 1957, Vol. II.
Lochmaier (a. a. O., S. 54) unterscheidet zwischen einem Schwankungs- und Änderungsrisiko, wobei sich das erste, das L. zutreffend, wenn auch ohne theoretische Begründung als weniger gefährlich bezeichnet, anscheinend auf die zyklischen Schwankungen bezieht, während das zweite strukturelle und andere Veränderungen dynamischer Art erfassen soll. (Der Ausdruck „Änderungsrisiko“ erscheint dafür allerdings etwas farblos.) — Saisonale Schwankungen, die L. ebenfalls erwähnt, spielen für unser Thema nur eine nebensächliche Rolle. Ihre Bedeutung liegt vor allem auf dem Gebiete der richtigen Prämienermittlung für kurzlaufende Versicherungen von unterjähriger Dauer. Gürtler (Die Kalkulation der Versicherungsbetriebe, Berlin 1936, S. 320 ff.) trennt nach regelmäßigen und unregelmäßigen Schwankungen der Schadenquoten. Zu den regelmäßigen rechnet er: saisonale, konjunkturelle und strukturelle Änderungen. Schon bei den konjunkturellen Änderungen wäre zu fragen, ob sie nicht neben dem zyklischen meist auch einen trendmäßigen Charakter besitzen werden. Noch problematischer erscheint die Zuordnung der strukturellen Änderungen in die Gruppe der „regelmäßigen“ Schwankungen. Vielleicht geht Gürtler von der Annahme aus, daß ein erkennbarer Trend berechenbar werden und somit einer Regelmäßigkeit unterliegen kann. Dabei darf jedoch die Unsicherheit, die solchen Berechnungen anhaftet, nicht übersehen werden. — In seinem Aufsatz „Risiko und Rückversicherung“ (a. a. O., S. 445–446) stellt Gürtler dem Zufallsrisiko ein „Katastrophenrisiko“ gegenüber; es wirkt sich in der Weise aus, „daß die Zahl oder der Umfang der Schäden infolge irgendwelcher Änderung en in der v er sicher t en Gefahrzu- oder abnehmen“. In dieser Fassung erscheint der Begriff des Katastrophenrisikos allein schon aus sprachlichen Gründen wenig glücklich, wie Gürtler übrigens selbst andeutet. Ganz abgesehen davon, daß eine Verbesserung der Gefahrlage, wie sie Gürtler ausdrücklich mit einbezieht, nach dem allgemeinen Sprachgebrauch wohl schwerlich als „Katastrophe“ bezeichnet werden kann, läßt sich der Katastrophenfall durchaus noch als Teil des Zufallsrisikos erfassen. Es wären außergewöhnlich große Schäden — so etwa der Totalschaden in der Seeversicherung —, die zwar nur sehr selten, aber immer noch mit einer regelmäßigen Wahrscheinlichkeit vorkommen, ohne daß alsdann eine echte Änderung der grundlegenden Rechnungselemente angenommen zu werden braucht. Zwischen zyklischen Schwankungen und strukturellen oder trendmäßigen Verschiebungen macht Gürtler anscheinend keinen Unterschied. Der von Mahr (a. a. O., S. 135) gebrauchte Ausdruck der „temporären Wahrscheinlichkeitszahlen“ erstreckt sich auf Durchschnittswerte mehrerer aufeinander folgender Perioden. Rein zyklische Schwankungen könnte man also im Sinne von Mahr so definieren, daß bei ihnen die temporären Wahrscheinlichkeiten langfristig konstant bleiben. Gegenüber strukturellen und trendmäßigen Vorgängen würde naturgemäß auch dieses Instrument versagen. Lorenz (Statistik, Deutsche Versicherungswirtschaft, Berlin 1936–39, Bd. II, S. 426) bezeichnet vom statistischen Standpunkte solche Zeitreihen, „bei denen der statistisch ermittelte Tatbestand eine Entwicklung in bestimmter Richtung zeigt“ — das wäre der Trend —, als evolutorisch. Man könnte also anstelle des Trend- von einem evolutorischen Risiko sprechen. Zeitreihen, bei denen diese Tendenz fehlt, gelten nach Lorenz als oscillatorisch, undulatorisch, periodisch und typisch. Wir haben dafür den Ausdruck „zyklisch“ gebraucht.
Gürtler (Risiko und Rückversicherung, a. a. O., S. 448) bemerkt, daß das von ihm so benannte „Katastrophenrisiko“ (s. Anm. 12 zu diesem Kapitel) große wie kleine Gesellschaften in gleicher Stärke erfaßt. Wir gehen noch darüber hinaus, indem wir die Wirkung für große Gesellschaften aus den angegebenen Gründen als noch stärker bezeichnen. Auch die Vorsorgemöglichkeiten gegen Katastrophenschäden, die Gürtler im einzelnen benennt, haben naturgemäß nur eine begrenzte Schutzwirkung; auch sie werden gegenüber einer trendmäßig anhaltenden Steigerung der Schadenquoten auf die Dauer versagen müssen.
Die Schadenergebnisse nach den Druckberichten der Versicherungsunternehmungen geben die tatsächlichen Schwankungen nur sehr unvollkommen wieder. In der Erfolgsrechnung erscheinen nur die Nettoergebnisse nach Abzug des Anteils der Rückversicherung. Das Gesamt-Schadenergebnis wird allenfalls im Geschäftsbericht zu finden sein, wobei jedoch meist verschiedene Teilsparten zusammengefaßt werden, so etwa in der Feuerversicherung das sogenannte einfache Geschäft zusammen mit Landwirtschaft und Industrie. Dadurch werden häufig die Einzelschwankungen, auf die es letztlich ankommt, erheblich nivelliert. Konkretes Zahlenmaterial bei Gürtler, Risiko und Rückversicherung, a. a. O., S. 448.
Dieses Symptom ist zweifellos am beweiskräftigsten. Würden nämlich nur Zufallsabweichungen „im Spiele“ sein, so müßten diese sich nach allen Regeln der Wahrscheinlichkeitstheorie sehr schnell verringern, wenn die Beobachtungen aus mehreren Beständen zusammengefaßt werden.
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Braess, P. (1960). Änderungen der Nettoprämienelemente. In: Versicherung und Risiko. Die Wirtschaftswissenschaften, vol 25. Gabler Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-02774-4_10
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Publisher Name: Gabler Verlag, Wiesbaden
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