Unstetige Aufgaben und Lösungen

Zusammenfassung

Die Entwicklungen der ersten Abschnitte geben nicht immer eine Lösung der ursprünglichen Extremsaufgabe, zwischen zwei gegebenen Punkten eine Kurve zu ziehen, welche ein freies oder gebundenes Extrem des Integrals J liefert. Es wurde nur gezeigt, daß die gesuchte Kurve, wenn sie gewisse Stetigkeitseigenschaften haben soll, nichts anderes sein kann, als ein reguläres Stück einer Extremale; sodann wurden Bedingungen des Extrems abgeleitet unter der Voraussetzung, daß die beiden gegebenen Endpunkte der gesuchten Kurve schon durch einen von Singularitäten freien Bogen einer Extremale verbunden seien. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, was schon bei einfachen Aufgaben vorkommt, so kann das gesuchte Extrem von einer Kurve mit den vorausgesetzten Stetigkeitseigenschaften nicht geliefert werden, und so kommt man zu der Frage, ob nicht eine mit Singularitäten, z. B. Ecken behaftete Kurve die vorgelegte Aufgabe löst. Gelingt es, diese Frage zu beantworten, indem man bestimmte Gattungen von Singularitäten zuläßt, so hat man zwar auch noch keine unfehlbare Methode zur Bestimmung des gesuchten Extrems, aber der Kreis der Fälle, in denen die Aufgabe gelöst werden kann, erweitert sich.