Zusammenfassung
Diese Worte Blaise Pascals werden in einem kleinen Buche von M. Pasch angeführt, und sie bilden das Thema, das dort in Lehre und Beispiel abgehandelt wird [Mathematik und Logik, Leipzig 1919; zweite Auflage 1924]1).
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Literature
„Toute notre dignite consiste done en la pensee. C’est de lä qu’il faut nous relever, non de l’espace et de la duree, que nous ne saurions remplir. Travaillons done ä bien penser, voilä le principe de la morale.” (Zitiert nach Pasch.)
Science et Methode. Deutsch unter dem Titel Wissenschaft und Methode, herausgegeben von F. und L. Lindemann. (Leipzig und Berlin 1914.)
Ausführbar heißen Rechnungen mit den vier Spezies in endlicher Wiederholung. Z. B. die Darstellung der Zahl 21000 im dekadischen Zahlensystem, die Aufsuchung der Primteiler noch so großer Zahlen u. a. m. Irrationale Zahlen wie fä, die Zahl tt, die Basis des natürlichen Logarithmensystems u. a. können auch theoretisch nur näherungsweise berechnet werden.
Hierunter sind nicht nur die Schlüsse der aristotelischen Logik zu verstehen, denen in der Mathematik nur eine sehr untergeordnete Bedeutung zukommt (Russell, Holder), sondern vor allem die der Mathematik eigentümlichen Schlußweisen, die oft ohne Rücksicht auf ihren erkenntnistheoretischen Charakter Anwendung finden. Zum Beispiel: „Wenn in einer mit Hindernissen besteckten Ebene die Punkte p und q durch einen zusammenhängenden Kurvenzug verbunden werden können, der die Hindernisse vermeidet, und die Punkte q und r ebenfalls, so können auch p und r so verbunden werden.” Natürlich ist das Auseinanderlegen zusammengezogener Schlüsse nicht immer so einfach wie in diesem trivialen Beispiel.
Wie klein die Schritte sind, in die nach Pasch der Fortschritt des Gedankens zerlegt werden soll, mag durch ein Beispiel erläutert werden, das ich Paschs „Grundlagen der Analysis“ (1909) entlehne. Es findet sich dort der Grundsatz (Nr. 2):„Sind Dinge angegeben, so kann nach diesen Angaben ein von diesen Dingen verschiedenes Ding angegeben werden.“ Hierauf folgt dann, unter anderem, ein Lehrsatz (Nr. 14): „Sind Dinge angegeben, so können nach diesen andere Dinge angegeben werden.“ Man achte auf die Unterscheidung: Ein Ding — Dinge. (Als Ding gilt, nach einer vorausgeschickten Erklärung, irgend etwas Wahrgenommenes oder Wahrnehmbares. Die Frage, ob unsere Sinneswahrnehmung etwas mit Mathematik zu tun hat, will ich hier auf sich beruhen lassen.)
Ein weiteres Beispiel wird später angegeben.
Die auf S. 8 angeführten Formeln für 2, *t/4 und e sind Beispiele für konvergente „unendliche Reihen” (Summen). Man kann z. B. dem Zahlenwert n/4 beliebig nahe kommen dadurch, daß man in der Folge der Summen
Siehe die Anhänge II, III, IV.
Ich habe das am Beispiel der Apollonischen Berührungsaufgabe ausgeführt, die verlangt, die Kreise zu finden, die drei gegebene Kreise berühren (Math. Ann., Bd. 49, S. 497, 1897). In diesem Falle sind nicht Zirkel und Lineal die angemessensten Hilfsmittel, sondern ein sonst nicht übliches Instrument, das Kreislineal.
Solche Begriffe, die trotz vieler Worte, die man ihrer Erklärung vorausschicken muß, sich als einfach und deshalb zum Weiterbau geeignet erwiesen haben, sind z. B. algebraische Zahl, Stetigkeit, Grenzwert, gleichmäßige Konvergenz, Differentialquotient, Integral, infinitesimale Transformation, analytische Funktion, Rie mann sehe Fläche.
Siehe Anhang IL
Man findet in Anhang III ein Beispiel.
Siehe Anhang IV.
Vgl. des Verfassers Schrift Mathematik und Physik (Sammlung Vieweg, Heft 65, 1923); R. Strohal, Die Grundbegriffe der reinen Geometrie in ihrem Verhältnis zur Anschauung (Sammlung Wissenschaft und Hypothese, 1925).
Ges. Werke, 3. Folge, Mathematik, Bd. 5, S. 89 (zitiert nach Holder).
Das Buch, dem die im Texte angeführten Stellen entnommen sind, heißt: The Autocrat of the Breakfast Table. (XIXth Century Classics, 1898.)
Sie wird meistens viel zu einseitig auf eine Behandlung der Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung hinausgespielt. In England wird sie sogar danach benannt. (Analytical Conic Sections.) “It is as though the great science of Anthropology were named the Study of Noses, owing to the fact that noses are a prominent part of the human body” (Whitehead).
Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 17, S. 125, 1908; Bd. 25, S. 96, 1916; Arch. d. Math. u. Phys., 3. Reihe, Bd. 18, S. 169, 1911.
Tatsächlich haben Denkfehler, die sich in philosophischen Schriften über die Grundlagen der Mathematik reichlich finden, auf die Entwickelung der mathematischen Wissenschaft gar keinen Einfluß gehabt.
Siehe Anhänge II, III, Seite 47. Study, Denken und Darstellung. 2. Aufl.
In seinem Werke Die Mathematische Methode, Erkenntnistheoretische Untersuchungen im Gebiete der Mathematik, Mechanik und Physik, 1924 (S. 274), das auch sonst noch vieles für den Erkenntnistheoretiker Beachtenswertes enthält.
Ganz ebenso äußert sich Holder, S. 326.
Gauß scheint in seinen Vorlesungen dem Ideal von Pasch nahe gekommen zu sein. Aber gerade als akademischer Lehrer ist er nicht sehr erfolgreich gewesen.
Ich erinnere an Buchtitel wie Differentialgeometrie, Geometrie der Berührungstransformationen, Geometrie im komplexen Gebiet, Geometrie der Zahlen. Mit der Geometrie der Alten haben solche Disziplinen nur einen losen und keineswegs notwendigen Zusammen-* hang. Diese Stoffe sind nun einmal da und werden von ihren Vertretern Geometrie genannt. Also sollte man nicht durch Haften an einem längst veralteten Wortsinn Mißverständnisse hervorrufen. (Einem solchen Mißverständnis war ich selbst in der ersten Auflage dieser Schrift zum Opfer gefallen. Wie Herr Pasch mir mitgeteilt hat, versteht er an gewissen Stellen polemischen Inhalts unter „Geometrie“ sogar nur den in Schulbüchern abgehandelten Stoff!)
Besonders möchte ich auf den Abschnitt über den Bildungswert der Mathematik hinweisen, der vieles enthält, das mir als wertvoll erscheint, hier aber nicht berührt werden konnte.
Der unvollständigen Induktion, im Gegensatz zur vollständigen Induktion der Mathematik, dem Schluß von n auf n + 1.
Über den logischen Charakter und Erkenntniswert verschiedener Überzeugungsmittel scheinen öfter Unklarheiten zu bestehen. Wenn behauptet wird, dieses oder jenes sei „nicht bewiesen“, so ist das ja, genau genommen, gewöhnlich richtig. In unzähligen Fällen der Art kann aber ein bündiger Beweis überhaupt nicht erbracht werden. So liegt die Sache immer da, wo eine unvollständige Induktion ins Spiel tritt, also bei allen sogenannten Naturgesetzen. Wenn nun ein strenger Beweis nicht zu liefern ist, so hat es keinen Sinn, ihn zu verlangen. Man muß sich anders ausdrücken.
Eine Erörterung der Hypothesen findet man in des Verfassers „Realistischer Weltansicht” (2. Aufl., I.Teil, 1923).
Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, öffentliche Sitzung vom 28. Juni 1923, S. XC.
Es handelt sich um den sogenannten Lamarekismus und um eine mit Entstellungen arbeitende Kritik der Selektionstheorie. Siehe Naturwissenschaften, 7. Jahrg., S. 371, 392, 406, 1919; 9. Jahrg., S. 252, 1921; Zeitschr. f. induktive Abstammungs- und Vererbungslehre, Bd. 24, S. 33–70, 1920; siehe ferner F.Lenz, Archiv für Rassen-und Gesellschaftsbiologie 1920, S. 194–203. Die in diesen Aufsätzen kritisierten Schriften sind seitdem noch erheblich übertroffen worden. (B. Dürken, Allgemeine Abstammungslehre, 1923.)
S. Tschulok, Deszendenzlehre, 1922.
Auch für diesen allgemeinen Fall hat man noch ein entsprechendes Problem formuliert und gelöst. (Mary Sinclair, siehe O. Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung 1909, S. 447.)
Dieses ist also eine Definition. Sie wird ermöglicht durch den unmittelbar vorausgehenden Lehrsatz.
Der übliche Ausdruck ist: Jordanscher Kurvenbogen.
F. Apt, Sitzungsber. der Berliner Math. Gesellsch., XIX. Jahrg., 1920; Math. Zeitschr. 1922.
Peano, 1890, Hubert, 1891; vgl. F. Hausdorff, Grundzüge, der Mengenlehre 1914, IX, §2; zweite Auflage 1927, VIII, §36.
Nahezu wörtliche Wiedergabe von Bolzanos Text.
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Study, E. (1928). Unsere ganze Würde besteht im Denken. Bemühen wir uns also, richtig zu denken. Das ist der Anfang der Moral. In: Denken und Darstellung in Mathematik und Naturwissenschaften. Sammlung Vieweg, vol 2. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-02378-4_1
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-02378-4_1
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
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