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Kurze Einführung in einige mathematische Verfahren der Regelungstheorie

  • Bernd Schiemenz
Part of the Betriebswirtschaftliche Beträge zur Organisation und Automation book series (BOA, volume 13)

Zusammenfassung

Zum Verständnis der in den Kapiteln 6 und 7 behandelten Beispiele ist die Kenntnis einiger von der Regelungstheorie herangezogener Verfahren erforderlich. Ihre mathematischen Grundlagen sind sehr anspruchsvoll und können hier nicht detailliert dargelegt werden. Zur Vertiefung muß auf die Spezialliteratur verwiesen werden. Wir wollen uns — wie das auch im Bereich der Ingenieurwissenschaften häufig geschieht — darauf beschränken, die wesentlichen Regeln dieser Verfahren anzugeben und an Hand einfacher Beispiele ihre Anwendung zu zeigen, und zwar nur insoweit, als sie hier benötigt wird. Sie spielt, das sei nebenbei erwähnt, nicht nur im Zusammenhang mit Steuerungs- und Regelungssystemen, sondern auch in der Unternehmensforschung eine Rolle1).

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Referenzen

  1. 1).
    Aus einer Zahl von diese Aussage stützenden Veröffentlichungen sollen hier nur zwei stellvertretend herausgegriffen werden. So schreiben Beightler-Mitten-Nemhauser: „ z-transforms are tools of considerable utility to the operations researcher.“ Vgl. BeightlerMitten-Nemhauser, A Short Table of z-Transforms and Generating Functions, in: Operations Research, The Journal of the Operations Research Society of America, Vol. 9 (1961), pp. 574–578, hier S. 574. Ferschl gibt einen kurzen „. . Überblick über einige Hauptprobleme des Dynamic Programming — einer speziellen Lösungsmethode zur Auffindung optimaler Lösungen bei mehrstufigen Extremwertsaufgaben . .“. Vgl. F. Ferschl, Grundzüge des Dynarnic Programming, in: Unternehmensforschung, Bd. 3 (1959), S. 70–80, hier S. 70.Google Scholar
  2. 2).
    Zur Vertiefung sei verwiesen auf G. Doetsch, Anleitung . . .; De Russo-Roy-Close, State Variables . . ., Kapitel 3: Transform Techniques; M. R. Spiegel, Theory and Problems of Laplace Transforms, New York 1965; E. I. Jury, Theory and Application of the z-Transform Method, New York — London — Sydney 1964, (im folgenden zitiert als „z-Transform .“); R. Vich, z-Transformation — Theorie und Anwendung, Berlin 1964.Google Scholar
  3. 3).
    Vgl. G. Doetsch, Anleitung . . S. 30.Google Scholar
  4. 4).
    In Anlehnung an G. Doetsch, Anleitung . . ., S. 45.Google Scholar
  5. 5).
    Vgl. Fußnote 56 auf S. 60.Google Scholar
  6. 6).
    Vgl. G. Doetsch, Anleitung . . ., S. 30 f.Google Scholar
  7. 7).
    vgl. G. Doetsch, Anleitung . . ., S. 228, Nr. 34 und Nr. 41, unter Berücksichtigung, daß La • f (t) — a • F (s), wie aus Gleichung (62) ersichtlich.Google Scholar
  8. 8).
    Vgl. G. Doetsch, Anleitung . . S. 55 f. Diesem Produkt entspricht im Zeitbereich die „Faltung“ a(t) = f e(t) •g(t-τ)dτ ; 0 vgl. ebenda, S. 39 f. Man muß in unserem Beispiel zur Ermittlung der Produktionsleistung jedes Zeitpunktes t die Zahl der zu jedem früheren Zeitpunkt τ.,0 < r < t eingestellten Arbeitskräfte (e(τ) • dτ) mit ihrer augenblicklichen Leistung g(t—τ) multiplizieren und die Produkte bis zum Zeitpunkt t aufsummieren.Google Scholar
  9. 9).
    Vgl. G:Doetsch, Anleitung . . S. 31.Google Scholar
  10. 10).
    Vgl. G. Doetsch, Anleitung . . S. 229, Nr. 56.Google Scholar
  11. 11).
    Abb. 44 ist stets der Wert b = 1 [Monat-1] zugrunde gelegt.Google Scholar
  12. 12).
    Diese Beziehung wurde zur Ermittlung der Ausgangssignale in Abb. 23 und 24 verwendet. Dabei ist zu berücksichtigen, daß dort nicht die Gewichtsfunktion, sondern die Sprungantworten (bzw. Übergangsfunktionen) angegeben sind.Google Scholar
  13. 13).
    Vgl. G. Doetsch, Anleitung . . ., S. 55 ff. und J. T. Tou, Sampled-Data Control . . ., S. 18 ff.Google Scholar
  14. 14).
    Vgl. z. B. De Russo-Roy-Close, State Variables . . ., S. 158; H. Freeman, Discrete-Time Systems . . ., S. 36; J. T. Tou, Sampled-Data Control . . ., S. 145. Tou schreibt (ebenda): „ . . the z-transform techniques have become the most used method for the analysis and synthesis of sampled-data and digital control systems.“Google Scholar
  15. 15).
    Vgl. E. I. Jury, z-Transform . . S. 2 ff.; G. Doetsch, Anleitung . . S. 171 ff.; De RussoRoy-Close, State Variables . . S. 158 ff.; J. T. Tou, Sampled-Data Control . . S. 145 f. F(z) ist also definiert als Laurent-Reihe f(0 • T) • z---0 + f(1 • T) • z-1 + f(2 • T) • z--2 + . . .; z könnte als „ordnende Variable“ dieser Reihe angesehen werden.Google Scholar
  16. 16).
    Vgl. De Russo-Roy-Close, State Variables . . S. 159.Google Scholar
  17. 17).
    Vgl. E. I. Jury, z-Transform . . S. 28 f.; De Russo-Roy-Close, State Variables . . S. 176 ff.Google Scholar
  18. 18).
    Im Zeitbereich entspricht diesem Produkt die Faltungssumme a(k.T) rg [Ck-i) .T] .e(i.T) Vgl. H. Freeman, Discrete-Time Systems . . S. 14 f. und S. 39 ff.; G. Doetsch, Anleitung . . S. 177. Man muß in unserem Beispiel, um die Leistung a(k • T) zu erhalten, die Zahl der zu jedem früheren Zeitpunkt 1 • T, 0 ≤_ 1 ≤_ (k-1) eingestellten Arbeitskräfte e (1 • T) mit ihrer augenblicklichen, auf der Dauer ihrer Tätigkeit (k—i) • T beruhenden Leistung g [(k—i) • T] multiplizieren und diese Produkte aufsummieren. Läßt sich zu der Gewichtsfunktion g(t) bzw. der „Gewichtssequenz“ (weighting sequence, vgl. H. Freeman, Discrete-Time Systems . . S. 14) g(k • T) keine z-Transformierte G(z) bilden, so kann man diese Beziehung direkt zur Berechnung des Ausgangssignals heranziehen, indem man e(k • T) und a(k • T) als Vektoren und g(k • T) als „Überführungsmatrix“ (transmission matrix) anordnet. Vgl. H. Freeman, Discrete-Time Systems . . S. 17 ff.; B. C. Kuo, Analysis . . S. 125 ff. Dieser Ansatz liegt z. B. der Arbeit von Langen zugrunde, vgl. H. Langen, Der Betriebsprozeß in dynamischer Darstellung, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft, 38. Jg. (1968), S. 867–880.Google Scholar
  19. 19).
    Ist eine Kenntnis der Werte für a(t) auch zwischen den Zeitpunkten k • T erwünscht, muß die modifizierte z-Transformation herangezogen werden, vgl. Abschnitt 5.3.Google Scholar
  20. 20).
    Vgl. E. I. Jury, Application . . S. 278, Nr. 1 und 2.Google Scholar
  21. 21).
    Vgl. G. Doetsch, Anleitung . . S. 176.Google Scholar
  22. 22).
    Vgl. G. Doetsch, Anleitung . . S. 175 f.; E. I. Jury, z-Transform . . S. 9 ff.; De RussoRoy-Close, State Variables . . S. 169 ff.; H. Freeman, Discrete-Time Systems . . S. 47 ff. Google Scholar
  23. 23).
    vgl. E. I. Jury, z-Transform . . S. 278, Nr. 3.Google Scholar
  24. 24).
    Vgl. E. I. Jury, z-Transform . . S. 283, Nr. 55.Google Scholar
  25. 25).
    Entsprechendes gilt, wenn ein Eingangssignal als Kontinuierliche-Zeit-Funktion vorliegt, hinsichtlich dieser Funktion und den von ihr durchlaufenen Gliedern.Google Scholar
  26. 26).
    So z. B. De Russo-Roy-Close, State Variables . . ., S. 178.Google Scholar
  27. 27).
    So J. Ackermann, Einführung in die Theorie der linearen Abtastsysteme, Vortragsmanuskript zum Lehrgang „Einführung in die Regelungstheorie“ der Carl-Cranz-Gesellschaft, Oberpfaffenhofen 1966, (im folgenden zitiert als „Lineare Abtastsysteme . . .“), S. 13.Google Scholar
  28. 28).
    Eine große Zahl von Beispielen für die Zusammenfassung bringen J.T. Tou, Sampled-Data Control . . ., S. 244 f. und E. I. Jury, Sampled-Data Control Systems, New York 1958, (im folgenden zitiert als „Sampled-Data . . .“), S. 112 ff. Die gestrichelten Signalfluß-Linien sollen verdeutlichen, daß mittels des Rechenverfahrens den in Wirklichkeit Kontinuierliche-ZeitSignale darstellenden Ausgangssignalen, z. B. a(t), nur zu den Zeitpunkten k • T „Proben“ entnommen werden.Google Scholar
  29. 29).
    Vgl. De Russo-Roy-Close, State Variables . . ., S. 182 ff. Aus den Beziehungen wird deutlich, daß man die modifizierte z-Transformierte einmal finden kann, indem man f(t+-λT) bildet und darauf die normale z-Transformation anwendet, zum anderen, daß man zu f(t) aus einer Tabelle die modifizierte z-Transformierte sucht. Entsprechendes gilt für die inverse Transformation. Vgl. ebenda, S. 183.Google Scholar
  30. 30).
    Vgl. De Russo-Roy-Close, State Variables . . ., S. 184.Google Scholar
  31. 31).
    Vgl. H. Freeman, Discrete-Time Systems . . ., S. 220, Nr. B 51. Hier wird also auf die modifizierte Gewichtsfunktion die z-Transformation angewendet.Google Scholar
  32. 32).
    Vgl. E. I. Jury, z-Transform . . ., S. 284, Nr. 62.Google Scholar
  33. 33).
    Nach J. Ackermann, Lineare Abtastsysteme . . ., vgl. z. B. S. 24 und 31 f.Google Scholar
  34. 34).
    Vgl. Bellman-Karush, Dynarnic Programming: A Bibliography of Theory and Application, Santa Monica (Calif.) 1964, (im folgenden zitiert als „Bibliography . . .“), S. III.Google Scholar
  35. 35).
    Eine Zusammenstellung bis einschließlich 1963 geben Bellman-Karush, Bibliography . . . Neuere deutschsprachige Veröffentlichungen sind z. B. Künzi-Müller-Nievergelt, Einführungskursus in die dynamische Programmierung, in: Beckmann-Künzi (Hrsg.), Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics, Bd. 6, Berlin — Heidelberg — New York 1968, (im folgenden zitiert als „Einführungskursus . . .“); J. S. Wentzel, Elemente der dynamischen Programmierung, (übers. aus dem Russischen), München — Wien 1966.Google Scholar
  36. 36).
    Bellman-Karush, Bibliography . . S. III; vgl. dort (S. 111 ff.) auch die noch detailliertere Aufgliederung.Google Scholar
  37. 37).
    Vgl. J. T. Tou, Modern Control . . S. 260. Zur Anwendung auf Regelungssysteme siehe z. B. R. Bellman, Selbstanpassende Regelprozesse . . .; Bellman-Kalaba, Dynamic Programming and Modern Control Theory, New York and London 1965, (im folgenden zitiert als „Control Theory . . .“).Google Scholar
  38. 38).
    Z. B. K. Elsner, Mehrstufige Produktionstheorie . . .; R. A. Howard, Dynamic Pro:gramming, in: Management Science, Vol. 12 (1966), pp. 317–348; H. Wedekind, Das Dynamische Programmieren als eine Methode zur Auswertung von Verkaufsstatistiken in der Konsumgüterindustrie, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft, 36. Jg. (1966), S. 19–28, (im folgenden zitiert als „Das Dynamische Programmieren . . .“). Eine große Zahl weiterer Veröffentlichungen findet man in der Operations Research Literatur, so z. B. F. Ferschl, Grundzüge . . .; D. Zschocke, Die Behandlung von Entscheidungsproblemen mit Hilfe des Dynamischen Programmierens, in: Unternehmensforschung, Bd. 8 (1964), S. 101–127, (im folgenden zitiert als „Behandlung . . .“); Henn-Künzi, Einführung in die Unternehmensforschung II, Berlin — Heidelberg — New York 1968, (im folgenden zitiert als „Einführung . . .“), mit weiteren Literaturhinweisen.Google Scholar
  39. 39).
    Ein Beispiel, in dem sich die Mehrstufigkeit nicht auf den zeitlichen Ablauf des Prozesses bezieht, ist die im Hinblick auf die Maximierung des Gesamtumsatzes optimale Auswahl der Werbemittel für die einzelnen Produkte eines Betriebes der Konsumgüterindustrie unter Einhaltung eines vorgegebenen Gesamtbetrages für die Werbung. Vgl. hierzu H. Wedekind, Das Dynamische Programmieren . . .Google Scholar
  40. 40).
    Auch die Lenkung eines Kontinuierliche-Zeit-Signal-Systems läßt sich als Problem des Dynamischen Programmierens formulieren. Zur Lösung wird jedoch meist eine Diskretisierung erforderlich. Die folgenden Ausführungen erfolgen in Anlehnung an J. T. Tou, Modern Control . . ., S. 266 ff. und D. Zschocke, Behandlung . . ., S. 105 ff.Google Scholar
  41. 41).
    Vgl. auch S. 80, Gleichung (23), und S. 104 f. Zur Vereinfachung werden Zeitpunkte und Zeiträume durch eine fortlaufende Nummer (k) charakterisiert.Google Scholar
  42. 42).
    Durch Einbeziehung weiterer Zustandsvariablen in den Vektor S(k) kann diese Bedingung theoretisch immer erfüllt werden. Dies folgt aus der Definition des „Zustandes“ (vgl. S. 78) und der Interpretierbarkeit des „Erlöses“ R(k) als Ausgangssignal des Systems. „Erlös“ soll die zielrelevante Ausbeute kennzeichnen. Durch leichte Umformung läßt sich die Problemstellung auch in die der Minimierung eines „Einsatzes“ (z. B. Kosten) umdeuten.Google Scholar
  43. 43).
    Infolge des „fiktiven Erlöses“ ist dieser nicht mehr rein zeitraumbezogen.Google Scholar
  44. 44).
    Vgl. S. 104 f.Google Scholar
  45. 45).
    Eine solche Reihenfolge wird in diesem Zusammenhang als „Politik“ bezeichnet. Die im Hinblick auf den Gesamterlös aller N Perioden optimale Reihenfolge heißt „optimale Politik“.Google Scholar
  46. 46).
    R. Bellman, Dynamic Programming, Princeton 1957, S. 83.Google Scholar
  47. 47).
    vgl. z. B. Bellman-Kalaba, Control Theory . . ., S. 59.Google Scholar
  48. 48).
    vgl. Bellman-Kalaba, Control Theory . . ., S. 59.Google Scholar
  49. 49).
    Vgl. Bellman-Kalaba, Control Theory . . ., S. 60.Google Scholar
  50. 50).
    Vgl. Künzi-Müller-Nievergelt, Einführungskursus . . ., S. 37.Google Scholar
  51. 51).
    Dieses Problem würde beispielsweise vorliegen, wenn ein Betrieb zu einem bestimmten Zeitpunkt völlig stillgelegt werden soll. Ein regelungstechnisches Beispiel ist die Landung eines Raumschiffes zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem vorgegebenen Ort.Google Scholar
  52. 52).
    Vgl. z. B. R. Bellman, Selbstanpassende Regelprozesse . . ., S. 39; J. T. Tou, Modern Control . . ., S. 227 f. und S. 312 ff.Google Scholar

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© Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden 1972

Authors and Affiliations

  • Bernd Schiemenz

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