Zusammenfassung
Ohne uns rücksichtsloser Übertreibung schuldig zu machen, dürfen wir sagen, daß sich im Laufe unserer Arbeit die Konvergenz von Zahlenfolgen und die Stetigkeit von Funktionen als die tragenden Elementarbegriffe der Analysis herauskristallisiert haben. Beide Begriffe wurden mit Hilfe von ε-Umgebungen — also durch Lagebeschreibungen — definiert. Dasselbe gilt für die Konvergenz und Stetigkeit in normierten Räumen, insbesondere also für die Konvergenz einer Folge von p-Vektoren, die gleichmäßige Konvergenz einer Folge beschränkter Funktionen und die Konvergenz der Fourierreihen im quadratischen Mittel. Andere Begriffe, die mit Hilfe von ε-Umgebungen in R oder allgemeiner in normierten Räumen charakterisiert wurden (und sich als unentbehrlich erwiesen haben), sind z. B.: offene, abgeschlossene und kompakte Mengen, isolierte Punkte, innere Punkte und Häufungspunkte.
Ich glaube, wir brauchen eine andere, eine eigentlich geometrische oder lineare Analysis, welche ebenso direkt Lage ausdrückt wie die Algebra Größe.
Gottfried Wilhelm Leibniz
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Referenzen
Der Begriff der Topologie wird häufig mit Hilfe eines Systems „offener Mengen“ definiert. Wie dies zu verstehen ist, wird in A 155.15 auseinandergesetzt.
Der Begriff des metrischen Raumes wurde mittels der metrischen Axiome (M 1) bis (M 3) bereits in Nr. 10 definiert.
Nur der Einfachheit wegen nehmen wir das Intervall X als nullpunktsymmetrisch an.
So genannt nach Felix Hausdorff (1868–1942; 74). Neben bahnbrechenden mathematischen Arbeiten schrieb Hausdorff unter dem Pseudonym Paul Mongré auch geistvolle literarische Werke, darunter das brillante Buch „Sant’ Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras“ (Leipzig 1897). Dieses Buch ist z. B. in der Universitätsbibliothek Tübingen vorrätig.
Hier haben wir zum ersten Mal das etwas undurchsichtige Umgebungsaxiom (U 4) benutzt. Seine Hauptbedeutung liegt darin, über den Satz 155.1 den Satz 155.2 zu ermöglichen.
Vgl. Satz 35.3.
Ist etwa E:= (F[a, b],τ p ) und M die Menge aller auf [a, b] eingeschränkten Polynome, so haben wir gerade eben gesehen, daß jedes f∈ F[a, b] \M Häufungspunkt von M ist. Eine tiefere Untersuchung, auf die wir hier nicht eingehen können, zeigt jedoch, daß hochgradig unstetige Funktionen (etwa die Dirichletsche Funktion) nicht punktweise Grenzwerte von Folgen stetiger Funktionen, erst recht also nicht von Polynomfolgen, sein können (s. den Satz von Baire, den wir kurz nach Satz 104.2 zitierten).
Im Falle E= R hatten wir X-offene Mengen (ohne den Begriff der relativen Topologie zu erwähnen) schon in Nr. 34 — vor Satz 34.7 — und X-abgeschlossene Mengen in A 35.6 eingeführt und mit ihnen die Stetigkeit einer Funktion f: X-+ R in sehr eleganter Weise beschreiben können (s. Satz 34.7 und A 35.7).
Wir werden in unserer weiteren Arbeit häufig A 13.3 heranziehen und empfehlen dem Leser, noch einmal einen Blick auf diese Aufgabe zu werfen.
Ein Bogen wird häufig auch eine Kurve genannt.
Man beachte, daß nach A 158.7 das Kompositum stetiger Funktionen stetig ist. Von dieser Tatsache werden wir hinfort immer wieder stillschweigend Gebrauch machen.
Dabei hat man sich Rp mit irgendeiner Norm versehen zu denken. Welche man nimmt, ist belanglos, da wegen Satz 153.1 alle Normen auf R” ein und dieselbe Topologie erzeugen.
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© 2004 B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
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Heuser, H. (2004). Topologische Räume. In: Lehrbuch der Analysis Teil 2. Mathematische Leitfäden. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-01407-2_6
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-01407-2_6
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-519-62232-1
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