Zusammenfassung
Wir greifen in diesem Abschnitt eines der großen und fruchtbaren Probleme der Mathematik auf, das der Entwicklung der Analysis mächtige Impulse gegeben hat: das Problem der schwingenden Saite. Seine erste tiefergehende Behandlung verdankt man Jean Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783; 66)1).
Es lässt sich mit Grund behaupten, dass die wesentlichsten Fortschritte in diesem für die Physik so wichtigen Theile der Mathematik [wo ganz willkürliche Functionen vorkommen] von der klareren Einsicht in die Natur [der Fourierreihen] abhängig gewesen sind.
Bernhard Riemann
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Referenzen
Die Geschichte dieses Problems wird in Heuser [5], S. 441–449 erzählt. 2) Eine ganz elementare Herleitung dieser Gleichung ist in Heuser [5], S. 292 f zu finden.
Es wird bald deutlich werden, weshalb wir den Koeffizienten a o mit dem an sich überflüssigen Faktor 1/2 behaftet haben.
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830; 62). — Man sieht übrigens jetzt, warum wir das Anfangsglied der trigonometrischen Reihe mit dem Faktor 1/2 versehen haben: Bei dieser Schreibweise gelten die Formeln (133.4) auch noch für n = O.
Ein Leser, der nur über das Riemannsche Integral verfügt, ersetze in Gedanken die Zeichen L und L2 immer durch R. R-Funktionen und quadratisch integrierbare Funktionen sind dann natürlich Funktionen aus R [ — -π, π]. Werden Sätze aus der Lebesgueschen Theorie benutzt, so muß er zu den korrespondierenden Sätzen über R-Integrale greifen.
Wir haben „fast überall” eingeklammert, weil wir immer dann, wenn wir L2 als normierten Raum betrachten — und wir werden dies sofort tun —, Funktionen, die fast überall gleich sind, identifizieren wollen (s. die Bemerkung nach Satz 130.3).
Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846; 62).
Warum wir diese völlig beliebige Zahl in der Form s(x) schreiben, wird sehr rasch besser verständlich werden.
Die Grenzwerte f(x +) und f(x —) existieren nach Satz 91.8. — Man beachte das „unparteiische“ Verhalten der Fourierreihe: An einer Unstetigkeitsstelle x bevorzugt sie keinen der Grenzwerte f(x + ), f(x — ), sondern konvergiert gegen deren arithmetisches Mittel (s. Fig. 136.1).
Wir fordern also eine Art einseitiger Differenzierbarkeit.
Eine weitaus schärfere Aussage findet der Leser in A 141.3.
Aus der Lehre von den Potenzreihen wissen wir, daß sie dann auch auf ( —1, 1) konvergieren muß.
So genannt nach Denis Poisson (17811840; 59).
Dieser entscheidende Schluß wäre nicht möglich, wenn wir nur den Riemannschen Integralbegriff besäßen.
Wenn wir, wie in der vorliegenden Nummer, L2 als normierten Raum auffassen, identifizieren wir gemäß unserer Verabredung in Nr. 130 Funktionen, die fast überall auf [ — irr,Tr] übereinstimmen. s =f bedeutet also, daß s(x) = f(x) fast überall auf E— π,πr] ist.
Dieser Schluß wäre auch auf Grund des Satzes 131.2 möglich gewesen, wenn wir diesen Satz bewiesen hätten.
Marc-Antoine Parseval (?-1836; ?).
Wir erinnern noch einmal daran, daß wir L2-Funktionen identifizieren, wenn sie fast überall gleich sind.
So genannt nach Frigyes Riesz (1880–1956; 76).
Rights and permissions
Copyright information
© 2004 B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Heuser, H. (2004). Fourierreihen. In: Lehrbuch der Analysis Teil 2. Mathematische Leitfäden. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-01407-2_4
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-01407-2_4
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-519-62232-1
Online ISBN: 978-3-663-01407-2
eBook Packages: Springer Book Archive