Das Lebesguesche Integral

Zusammenfassung

Der Satz 108.3 über die gliedweise Integration monoton konvergenter Funktionen folgen hinterläßt einen höchst unbefriedigenden Eindruck, weil die Integrierbarkel der Grenzfunktion sich nicht aus den Voraussetzungen ergibt, sondern ausdrücklicl gefordert werden muß. Gleichzeitig weist er aber auch darauf hin, wie dieser Mange in sehr natürlicher Weise durch eine angemessene Verallgemeinerung des Riemann schen Integralbegriffes behoben werden kann. Ist nämlich mit den Bezeichnun gen des Satzes 108.3 die Grenzfunktion f nicht notwendig über [a, bi R-integrier bar, bleibt aber die wachsende Folge der Integrale $\int\limits_a^b {{f_n}dx}$ unterhalb einer festen oberen Schranke (mit anderen Worten: ist sie konvergent), so können wir uns au „Stetigkeitsgründen“ schwerlich der Versuchung erwehren, der Funktion f ein Inte gral durch die Festsetzung

$$\int\limits_a^b {{f_n}dx} : = \lim \int\limits_a^b {{f_n}dx} $$

zuzuordnen. Satz 108.3 lehrt, daß dieses Integral mit dem Riemannschen überein stimmt, falls f überhaupt R-integrierbar ist. Die vorliegende Nummer ist der präzi sen Darstellung und Entfaltung dieses neuen Integralbegriffes gewidmet. Alle auf tretenden Funktionen sind reell.

Mit Furcht und Schrecken wende ich mich ab von diesem beklagenswerten Übel der Funktionen ohne Ableitungen.

Charles Hermite

Vielen Mathematikern wurde ich der Mann der Funktionen ohne Ableitungen.

Henri Lebesgue