Anwendungen

Zusammenfassung

Im Laufe unserer Arbeit haben wir schon zahlreiche spezielle Differentialgleichungen gelöst, die aus naturwissenschaftlichen und technischen Problemen entsprangen. Immer noch fehlt uns aber ein tieferer Einblick in das Verhalten der allgemeinen Differentialgleichung erster oder gar höherer Ordnung. Ausgerüstet mit den mächtigen Methoden der beiden letzten Kapitel können wir diese Lücke nun endlich schließen — und zwar in überraschend bequemer und durchsichtiger Weise. Wir fassen zunächst das Anfangswertproblem

$$y' = f(x,y),\quad y(\xi ) = \eta $$

((117.1))

ins Auge und beweisen, daß es unter gewissen Voraussetzungen über f genau eine Lösung besitzt, d. h., daß genau eine (differenzierbare) Funktion y der Veränderlichen x existiert, für die y′ (x) =f(x, y (x)) und y (ξ) = η ist. Darüber hinaus werden wir sogar sehen, daß man diese Lösung als Grenzwert einer gewissen Funktionenfolge konstruieren kann. Alle auftretenden Funktionen sind reellwertig.

Das Quadrat ist das Gesetz der Natur, das Dreieck das des Geistes.[?]

Georg Wilhelm Friedrich Hegel

Vor allem fand ich an den mathematischen Wissenschaften wegen ihrer ... Klarheit Gefallen.

René Descartes