Zusammenfassung
In Satz 103.1 hatte sich die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge als Konvergenz „im Sinne der Supremumsnorm” entpuppt. Den Sätzen bzw. Beweisen der Nr. 103 war demgemäß eine so starke Ähnlichkeit mit den entsprechenden Verhältnissen bei Zahlenfolgen auf die Stirn geschrieben, daß man dazu gedrängt wird, den Kern dieser Analogien freizuschälen. Dieser Kern ist der Begriff des normierten Raumes, der uns der Sache nach schon längst vertraut ist:
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Ein linearer Raum E mit Elementen f, g, ... heißt normierter Raum, wenn jedem f∊ E eine reelle Zahl ∥Iƒ∥, die Norm von f, so zugeordnet ist, daß die drei Normaxiome aus A 14.10 gelten:
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(N 1)
∥f∥≥0 und ∥f∥=0⇔f=0.
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(N 2)
∥αf∥=∣α∣∥f∥ für jede Zahl α1).
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(N 3)
∥f+g∥≤∥f∥+∥g∥.
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(N 1)
Die Annäherung der Methoden ist dazu dienlich, sie gegenseitig zu erhellen, und das, was sie gemeinsam haben, enthält in den meisten Fällen ihre wahre Metaphysik.
Pierre Simon Laplace
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Referenzen
Im Zusammenhang mit normierten Räumen mögen griechische Buchstaben immer Zahlen bedeuten. Statt von Zahlen spricht man häufig von Skalaren und nennt dann den Zahlkörper R auch den Skalarkörper des normierten Raumes.
In Aufgabe 8 werden wir sehen, daß man jeden metrischen Raum als Teil eines geeigneten normierten Raumes auffassen kann. Diese Tatsache ist der Grund, weshalb wir unsere Aufmerksamkeit kaum auf „rein metrische“ Räume richten.
So genannt nach Stefan Banach (1892–1945; 53).
Man sieht, daß die Vollständigkeit der normierten Räume B (X), C (X), R[a, b] und (c) auf Sätzen beruht, die durchaus nicht an der Oberfläche liegen.
Es läßt sich zeigen — was wir nicht tun wollen —, daß aus der unbedingten Konvergenz jedoch nicht die absolute folgen muß.
Je größer eine Algebra ist, um so größere Chancen hat ein Element, dort eine Inverse zu finden.
Carl Neumann (1832–1925; 93).
Nach (110.3) ist der hier auftretende Limes stets vorhanden.
Wir verwenden, wie schon früher, die klammemsparende Schreibweise Af statt A (f).
Konvergenz ist hier wie auch im folgenden immer im Sinne der jeweiligen Norm zu verstehen. Man erinnere sich, daß Konvergenz im Sinne der Supremumsnorm mit gleichmäßiger Konvergenz äquivalent ist.
Vgl. Satz 34.2.
Eine von J. Weissinger [18] stammende Verallgemeinerung dieses Satzes findet der Leser in Aufgabe 11. S. ferner die Aufgabe 8 und A 155.14.
In dem zitierten Beweisteil wird der Begriff des Häufungswerts einer Zahlenfolge und der Satz 28.1 verwendet. Häufungswerte einer Folge aus E werden natürlich ganz entsprechend erklärt wie die von Zahlenfolgen; man hat nur wieder Betragsstriche durch Normstriche zu ersetzen. Und selbstverständlich gilt dann auch das Analogon des Satzes 28.1.
Beachte, daß nach A 17.1 stets A 0 = 0 ist; von dieser einfachen Tatsache werden wir immer wieder Gebrauch machen.
Man darf diesen Beschränktheitsbegriff nicht verwechseln mit einem anderen, der gemäß unserem bisherigen Sprachgebrauch näher liegen würde und nach dem A beschränkt genannt werden müßte, wenn mit einer gewissen Konstanten γ>0 für alle x ∊ E stets ∥A x∥ ≤ γ wäre. In diesem Sinne ist aber unter allen linearen Abbildungen nur die Nullabbildung beschränkt. Unsere Terminologie wird durch Aufgabe 8 verständlicher werden.
Wir könnten ihn durch einen Hinweis auf A 13.5c erbringen, ziehen es aber vor, ihn detailliert vorzuführen, um das Zusammenfallen der beiden Bedeutungen von A-1 klar zu machen.
Nichts hindert den Leser, sich Vektoren immer in Spaltenform geschrieben zu denken; in der Tat ist dies das konsequenteste Vorgehen. Wir praktizieren es nur deshalb nicht, weil die Zeilenform raumsparender ist.
Zemánek [19]. Einen ganz elementaren Beweis des klassischen Weierstraßschen Satzes, der nur die gleichmäßige Stetigkeit einer auf [a, b] stetigen Funktion und die Bernoullische Ungleichung benutzt, findet man in Kuhn [10]. Brosowski-Deutsch [3] haben, von dem Kuhnschen Ansatz ausgehend, einen ähnlich elementaren Beweis des Satzes von Stone-Weierstraß geliefert (s. die Andeutungen am Ende der Nr. 228). Völlig andere Zugänge zu dem klassischen Weierstraßschen Satz eröffnen die Aufgabe zu Nr. 116 und A 139.3.
C(X), versehen mit der Maximumsnorm, ist nach Satz 111.12 eine Banachalgebra (die trivialerweise die Funktion 1 enthält).
h n ist nicht mit einem der obigen h x zu verwechseln.
Eine Verallgemeinerung des Stone-Weierstraßschen Satzes, bei der X irgendein kompakter topologischer Raum sein darf, werden wir in Satz 159.5 kennenlernen.
Dieser Abschnitt wendet sich nur an diejenigen Leser, die den Unterkurs über komplexe Zahlen mitgemacht haben.
Die einfache Stetigkeitsbetrachtung überlassen wir dem Leser. Wer sie nicht durchführen will, braucht den Satz 116.3 deshalb noch nicht preiszugeben. Dieser wichtige Satz wird im Anschluß an den Satz 139.4 noch einmal (aber auf ganz andere Weise als hier) bewiesen werden.
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© 2004 B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
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Heuser, H. (2004). Banachräume und Banachalgebren. In: Lehrbuch der Analysis Teil 2. Mathematische Leitfäden. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-01407-2_1
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Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
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