Laplace-Transformation zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Wenn die behandelten Schaltvorgänge auf Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen führen, sollen diese mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst werden. Einer Zeitfunktion f(t) wird durch das sogenannte Laplace-Integral

$$ {\text{L}}(f(t)) = \varphi (p) = \int\limits_0^\infty {f(t) \cdot {e^{ - pt}} \cdot dt} $$

(1)

eine Unterfunktion oder Bildfunktion φ(p) zugeordnet. Die komplexe Variable p im Unter- bzw. Bildbereich besitzt die Dimension einer Frequenz. Für die Zuordnung zwischen Ober- und Unterbereich soll die folgende Schreibweise angewandt werden:

$$ L(f(t)) = \varphi (p){L^{ - 1}}(\varphi (p)) = f(t) $$

(2)

Der französische Mathematiker Pierre Simon de Laplace (1749–1827) war nicht der Schöpfer der Laplace-Transformation. Der englische Telegrafen-Ingenieur Oliver Heaviside (1850–1925) schuf durch Probieren, geniale Intuition und Erfahrung die nach ihm benannte Operatorenrechnung, welche formal weitgehend übereinstimmt mit den Ergebnissen der Laplace-Transformation. Die mathematische Begründung der Laplace-Transformation, vor allem durch den Mathematiker Gustav Doetsch, war etwa 1955 abgeschlossen. Die Laplace-Transformation wird grundsätzlich als bekannt vorausgesetzt, hier werden nur einige Hinweise zur „handwerklichen“ Nutzung gegeben. Die wichtigsten Funktionenpaaresind in Tafel 1, die wichtigsten Rechenregeln in Tafel 2 zusammengestellt.