Zusammenfassung
Als einer der Schlüsselsätze in der Lehre von den Potenzreihen hat sich (via Transformationssatz) der Cauchysche Doppelreihensatz erwiesen, also die Aussage, daß unter gewissen Voraussetzungen.
Wenn die Glieder einer konvergenten Reihe...stetige Funktionen sind, ist auch die Reihensumme stetig.
Augustin Louis Cauchy, 1821
Mir scheint, daß dieses [nebenstehende] Theorem Ausnahmen zuläßt, zum Beispiel....
Niels Henrik Abel, 1826
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Literatur
; Anders als in (102.4) schließen wir die Punkte x = 0 und x = 1 aus. Weil für alle n ständig fn(0) = 0 und fn(1) = 1 ist, braucht über sie nichts mehr gesagt zu werden.
Für x0 = 1/100 leistet bereits n0 = 1 das Gewünschte, für x0 = 99/100 aber erst n0 = 69.
Wohlgemerkt: n 0 hängt zwar noch von ε, aber nicht mehr von x ab! Das ist der entscheidende Unterschied zur bloß punktweisen Konvergenz. — In der „komplexen Version“ dieser Definition und der folgenden Sätze dürfen die fn komplexwertig sein.
Der Leser wird nicht Gefahr laufen, den Konvergenzdoppelpfeil mit dem Implikations-doppelpfeil zu verwechseln.
Wir lassen diese Folge stillschweigend erst mit einem (sicher vorhandenen) Index m beginnen, ab dem alle Funktionen f n — f in B(X) liegen. Die Funktionen fn und f brauchen jedoch nicht zu B(X) zu gehören.
Im Falle einer komplexen Potenzreihe ist, wie üblich, „Konvergenzintervall“ durch „Konvergenzkreis“ zu ersetzen.
In der komplexen Version dieses Satzes darf X eine Teilmenge von C und f n komplex-wertig sein. Entsprechendes gilt für die anderen Sätze dieser Nummer.
Vgl. dazu Satz 107.3. Dort wird die Möglichkeit der gliedweisen Differentiation unter ganz anderen Voraussetzungen eröffnet. S. auch Aufgabe 4 für einen einfacheren Beweis unter schärferen Voraussetzungen.
Der tiefliegende Teil des Beweises war allein der Nachweis, daß f integrierbar ist. In Nr. 107 werden wir eine ganz andere Begründung kennenlernen, die von der Tatsache ausgeht, daß das Riemannsche Integral ein Netzlimes ist.
Mit anderen Worten: Es gibt eine Konstante γ > 0, so daß |gk(x)| γ für alle k und alle x ∈ X ist.
Siehe etwa Scholz-Schoeneberg [14].
Mit anderen Worten: Es gibt eine Konstante γ > 0, so daß |gk(x)| γ für alle k und alle x ∈ X ist.
Siehe etwa Scholz-Schoeneberg [14].
Die f ι haben also den gemeinsamen Definitionsbereich X, der natürlich eine beliebige nichtleere Menge sein darf, also nicht notwendig ein Teil von R ist.
Offenbar ist jedes f ∈ℱ auf X gleichmäßig stetig. Das Neue, um es noch einmal zu sagen, besteht darin, daß 8 ein „Gemeinschafts-δ“ ist: Es kann unterschiedslos für jedes f∈ℱ verwendet werden. Beispiele für gleichstetige Funktionenfamilien findet der Leser in den Aufgaben 1 bis 3. — In der komplexen Version unserer Definition darf X eine Teilmenge von C und jedes f∈ℱ komplexwertig sein. Entsprechendes gilt für die Sätze dieser Nummer.
Cesare Arzelà (1847–1912; 65). Giulio Ascoli (1843–1896; 53). — S. zu diesem Satz auch Aufgabe 5.
Man vgl. den Beweis des Satzes 36.5 und beachte die beherrschende Rolle, die das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß in beiden Beweisen spielt.
Natürlich ist dann für jedes feste y0∈ Y die Funktion x →f (x, Y0) auf X stetig — und sogar gleichmäßig stetig.
Wir bezeichnen die Richtungen in beiden Fällen mit demselben Zeichen ≺ . Ver-wechslungen sind nicht zu befürchten.
Wenn über die Richtung von Y kein Zweifel besteht, werden wir die Funktion y F(x, y) auch kürzer ein Netz auf Y (statt auf (Y, ≺ )) nennen. Entsprechend verfahren wir in ähnlich gelagerten Fällen.
Die Voraussetzung, daß ξ nicht in X und η nicht in Y liegen soll, ist keine zu Buche schlagende Einschränkung. Notfalls kann man immer ξ aus X und η aus Y entfernen, ohne etwas an den folgenden Betrachtungen zu ändern.
Z ist eine Zerlegung von a, b, ein zugehoriger Zwischenvektor. Die gerichtete Menge ist vor Satz 79.2 erklärt. N wird mit seiner natürlichen Richtung versehen.
Wir bezeichnen die Richtungen in X, Y und X x Y unterschiedslos mit demselben Zeichen ≺ . Verwechslungen sind nicht zu befürchten.
Diese Definition unterscheidet sich von der Erklärung der gleichmäßigen Konvergenz einer Funktionenfolge(f n (x))nur dadurch, daß die Variable y die Rolle des Index n über-nimmt. Um dies noch augenfälliger zu machen, benutze man anstelle des Funktionensym-bols F(x, y) in Gedanken die Indexnotation fy(x):= F(x, y).
Genauer: Die Einschränkung von f auf [a, b] x [c, d] sei in der ersten Veränderlichen gleichstetig. Man beachte, daß die kritische Zahl δ in der Gleichstetigkeitsdefinition von d abhängen wird und f nicht auf ganz Q in der ersten Veränderlichen gleichstetig zu sein braucht. Es lohnt sich übrigens, schon jetzt einen Blick auf Satz 113.1 zu werfen.
Ulisse Dini (1845–1918; 73). Eine Verallgemeinerung des Dinischen Satzes, bei der X irgendein kompakter topologischer Raum sein darf, findet der Leser in A 159.2.
Man beachte, daß hier, in markantem Unterschied zu Satz 104.4, die Integrierbarkeit der Grenzfunktion vorausgesetzt wird — und auch vorausgesetzt werden muß, wie etwa die Folge (fn) aus (102.5) lehrt. — Natürlich gilt ein entsprechender Satz auch im Falle fn↗.
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© 2000 B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden
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Heuser, H. (2000). Vertauschung von Grenzübergängen. Gleichmäßige und monotone Konvergenz. In: Lehrbuch der Analysis. Mathematische Leitfäden. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-01371-6_14
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-01371-6_14
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-519-42235-8
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