Integration

Zusammenfassung

Schon in der Nr. 49 hatten wir die Frage aufgeworfen, ob man Aussagen über das Änderungsverhalten einer Funktion in einem Intervall I machen kann, wenn man ihre Änderungsrate (also ihre Ableitung) in jedem Punkt von I kennt, ja ob man sie nicht sogar aus ihrer Änderungsrate wiedergewinnen, rekonstruieren kann. Wir stehen also vor dem folgenden Problem: Auf I ist uns eine Funktion f gegeben, von der wir wissen, daß sie die Ableitung einer (zunächst noch unbekannten) Funktion F ist: f = F′ auf I. Gesucht ist F¹⁾. Gelingt es uns nun, auf irgendeine Weise eine Stammfunktion F₀ zu f auf I zu finden, so gibt es nach Satz 55.3 eine Konstante C, mit der F = F₀ + C ist (denn F ist ja selbst eine Stammfunktion zu f auf I). Kennen wir noch den Wert von F an irgendeiner Stelle x₀ von I, so muß F(x₀) = F₀(x₀)+ C, also C = F(x₀)— F₀(x₀) und somit F = F₀+[F(x₀)— F₀(x₀)] sein. Wir können also in der Tat die Funktion F aus ihrer vorgegebenen Änderungsrate f wiedergewinnen, falls wir eine Stammfunktion zu f bestimmen können und uns überdies ein Funktionswert F(x₀) bekannt ist. Rekonstruktionsaufgaben dieser Art haben wir in einigen Fällen auch schon erfolgreich bearbeitet (wir erinnern nur an die Nummern 55 und 56), unserem Vorgehen fehlte es aber gänzlich an Systematik und Methode: Die benötigten Stammfunktionen haben wir, kurz und ehrlich gesagt, nur erraten.

Der Vorteil ist der, daß wenn ein solcher Kalkül dem innersten Wesen vielfach vorkommender Bedürfnisse korrespondiert, jeder, der ihn sich ganz angeeignet hat, auch ohne die gleichsam unbewußten Inspirationen des Genies, die niemand erzwingen kann, die dahin gehörenden Aufgaben lösen, ja selbst in so verwickelten Fällen gleichsam mechanisch lösen kann, wo ohne eine solche Hilfe auch das Genie ohnmächtig wird.

Carl Friedrich Gauß