Nichtlineare Gleichungen

Zusammenfassung

Als Teilaufgabe zur Behandlung komplexer Probleme sind oft die Lösungen einer nichtlinearen Gleichung oder eines Systems von nichtlinearen Gleichungen zu bestimmen. Dazu sind iterative Verfahren notwendig, welche eine gesuchte Lösung als Grenzwert einer Folge von Näherungen liefern. Als theoretische Grundlage für das Studium der Konvergenzeigenschaften werden wir zuerst den Banachschen Fixpunktsatz in allgemeiner Formulierung bereitstellen. Für die Brauchbarkeit und Effizienz eines Verfahrens ist das Konvergenzverhalten der Näherungsfolge gegen die Lösung entscheidend. Unter diesem Gesichtspunkt werden einige Methoden zur Bestimmung einer Lösung einer nichtlinearen Gleichung in einer Unbekannten entwickelt und betrachtet. Anschließend werden die Überlegungen auf Systeme übertragen. Als wichtigen Spezialfall und teilweise als Anwendung der Methoden behandeln wir abschließend die Berechnung von Polynom-Nullstellen.