Lineare Gleichungssysteme, iterative Verfahren

Zusammenfassung

Die Behandlung von elliptischen Randwertaufgaben mit der Differenzenmethode oder mit finiten Elementen führt beispielsweise auf die Aufgabe, lineare Gleichungssysteme mit symmetrischer oder gelegentlich unsymmetrischer Matrix für die unbekannten Funktionswerte in den Gitterpunkten zu lösen. Bei feiner Diskretisierung des Grundgebietes sind die Systeme einerseits von hoher Ordnung und besitzen anderseits die Eigenschaft, sehr schwach besetzt zu sein. Grundsätzlich können sie mit den direkten Methoden von Kapitel 1 gelöst werden, wobei bei geeigneter Numerierung der Unbekannten die resultierende Bandstruktur ausgenützt werden kann. Im Verlauf des Eliminationsprozesses erfolgt aber im Inneren des Bandes ein oft vollständiger Auffüllprozeß, bei welchem Matrixelemente, die ursprünglich gleich Null sind, durch von Null verschiedene Werte ersetzt werden. Dadurch kann für sehr große Gleichungssysteme neben dem Rechenaufwand insbesondere der Speicherbedarf prohibitiv groß werden. Deshalb erweisen sich iterative Verfahren zur Lösung von sehr großen, schwach besetzten linearen Gleichungssystemen als geeignete Alternativen, mit denen die schwache Besetzung voll ausgenützt wird. Im folgenden betrachten wir die klassischen Iterationsmethoden und zeigen einige ihrer wichtigsten Eigenschaften auf. Dann wird die Methode der konjugierten Gradienten für symmetrische und positiv definite Gleichungssysteme sehr ausführlich unter Einschluß der zentralen, die Konvergenz verbessernden Vorkonditionierung behandelt, um daraus anschließend die Methode der verallgemeinerten minimierten Residuen zur Lösung von unsymmetrischen Gleichungssystemen zu entwickeln. Ausführlichere, unter anderem auch die effizienten Mehrgitterverfahren behandelnden Darstellungen von Iterationsmethoden findet man etwa in [Bar77, Hac85, Hac91, HaY81, StB90, Var62, You 71].