Zusammenfassung
Dies sind zwei Grundbegriffe, die nach Kant apriorisch festliegend (angeboren) die Form aller Erfahrung bestimmen, ja Erfahrung überhaupt erst ermöglichen1): Mit Raum und Zeit haben wir einen Bezugsrahmen zum Ordnen unserer Erfahrung.
Alles Denken ist seiner Herkunft nach räumliches Denken. Das erkennen wir schon an den Bezeichnungen für die abstrakten Leistungen des Geistes: Wir gewinnen Einsicht in einen Zusammenhang und können ihn uns vorstellen, wenn wir ihn begriffen haben.
Vgl. K. Lorenz: Das Wirkungsgefüge der Natur und das Schickal des Menschen (Piper, München 1983, S. 235).
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Referenzen
Nach der evolutionären Erkenntnislehre — vgl. z.B. G. Vollmer: Evolutionäre Erkenntnistheorie (Hirzel, Stuttgart 1980) — hat sich das Angeborene stammesgeschichtlich durch Anpassung an unsere Umwelt entwickelt. Deshalb bemerken wir auch erst unter ungewöhnlichen Umständen die Unzulänglichkeiten dieser „selbstverständlichen“ Begriffe, z.B. bei Geschwindigkeiten nahe der von Licht (c = 299792458 m/s) oder bei Wirkungen in der Größenordnung des Wirkungsquantums (h = 6, 626 076 • 10–34 Js). Mit solchen „unheimlichen“ Fällen werden wir uns erst später beschäftigen — in der Elektrodynamik bzw. Quantenmechanik: Vorläufig wollen wir erst einmal sicher im Umgang mit unserer gewohnten Umwelt werden.
Bisweilen wird das Gegenteil behauptet, z.B. in Sätzen wie: „Wir wählen die Einheiten so, daß die Lichtgeschwindigkeit c den Wert 1 erhält“. Tatsächlich wird dann der Begriff der Geschwindigkeit abgeändert, nämlich anstelle der Geschwindigkeit y das Verhältnis v/c als Geschwindigkeit bezeichnet — und ct als Zeit oder x/c als Länge.
Ich gebe die Komponenten hinter den Einheitsvektoren an — das ist insbesondere in der Quantenmechanik angebracht, aber auch sonst sinnvoll, denn der Koeffizient richtet sich nach der Entwicklungsbasis.
Ich schreibe z.B.und vermeide dadurch ein unnötiges Minuszeichen bei der Einführung der Wirbeldichte (Rotation).
In Abschn. 1.1.12 werden wir das Beispiel betrachten.
Es handelt sich hierbei vielmehr um ein dyadisches bzw. Tensorprodukt, wie im nächsten Kapitel gezeigt wird.
Auf den Begriff der „Feldlinien“ bin ich schon in Abschn. 1.1.4 eingegangen.
Der erste Ausdruck ist selbstverständlich auch gleich
Hier sollte eigentlich linke und rechte Seite vertauscht werden, denn man möchte ja eigentlich das Dreifach— zum Zweifach—Integral vereinfachen.
An der Sprungstelle wird die Sprungfunktion meist nicht festgelegt — oder der Mittelwert genommen, damit sie punktsymmetrisch wird. Oft wird die Sprungfunktion auch als Thetafunktion bezeichnet und & statt ε geschrieben — gegen die IUPAP—Vorschrift.
Für die zweite Umformung nutzen wir
Für die Ortsdarstellung des Impulsoperators in der Quantentheorie (Abschn. 4.3.2)
Im folgenden schreibe ich d3r für das Volumenelement dV im Ortsraum und d3k für das Volumenelement im Raum der Koordinate k. Diese Volumenelemente sind keine Vektoren. In kartesischen Koordinaten ist
Soll z.B. f d3κ exp für alle gelten, so muß die geschweifte Klammer für alle k verschwinden.
Die Zerlegung ist eindeutig: Gäbe es nämlich zwei verschiedene Vektorfelder aā 1 und ā2 mit denselben Quellen und Wirbeln, so hätte ā1 — ā2 nirgends Quellen und Wirbel. Jedes wirbelfreie Vektorfeld läßt sich aber eindeutig als Gradientenfeld
Um summieren zu können, schreiben wir statt x, y, z besser 1, 2, 3.
Bei allen Koordinatenwechseln dieses Kapitels soll der Ursprung erhalten bleiben — Verschiebungen wären leicht hinzuzufügen.
Die 9 reellen Matrixelemente müssen nämlich 6 Bedingungen erfüllen, die in der Forderung D D = 1 zusammengefaßt sind — sie entspricht in N Dimensionen N(N + 1) Bedingungen, denn es ist i = 1.
Gewöhnlich wird die neue Größe mit einem Hochstrich (’) statt eines Querstrichs bezeichnet — wie im vorletzten Abschnitt — aber das finde ich hier bei den zusätzlichen Indizes nicht so schön.
Das Spatprodukt dreier reeller Vektoren ist stets reell — und ungleich null, wenn sie nicht alle in einer Ebene liegen, d.h. linear voneinander abhängen. Deshalb ist g positiv.
Genauer sollte es heißen: Dreimal einen Wert zwischen 10,05 und 10,15, achtmal Werte zwischen 10,15 und 10, 25, ... .
Ausführlichere Darstellungen: B. Baule: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs II (Deutsch, Thun 1979)
F. Kohlrausch: Praktische Physik I (Teubner, Stuttgart 1985),
R.H. Leaver & T.T. Thomas: Versuchsauswertung (Vieweg, Braunschweig 1977),
W. Lichten: Skriptum Fehlerrechnung (Springer, Berlin 1988)
J.R. Taylor: Fehleranalyse (VCH, Weinheim 1988)
V. Klose & W. Wöger: Phys.Bl. 43(1987)399.
Allerdings haben nicht alle zulässigen Fehlerverteilungen einen endlichen mittleren Fehler — so z.B. nicht die Lorentzverteilung, die man stattdessen mit der halben Halbwertsbreite kennzeichnet.
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© 1994 B. G. Teubner Stuttgart
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Lorenz, K. (1994). Grundbedingungen der Erfahrung. In: Grundkurs Theoretische Physik. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-663-01224-5_1
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Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
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