Das allgemeine Integral

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geben wir einen Abriss der Lebesgueschen Integrationstheorie. Das Lebesgue—Integral vermeidet verschiedene Nachteile des Riemann—Integrals (s. unten) und liefert grundlegende Beispiele für Banach— und Hilberträume. Für die in späteren Kapiteln zu behandelnde Fourier—Analyse und Stochastik ist dieser Integralbegriff unverzichtbar. Im zweiten Abschnitt werden wir einen allgemeinen Integralbegriff entwickeln und gleichzeitig einige der im ersten Abschnitt offen gebliebenen Resultate beweisen. Der ungeduldige Leser sollte bei Bedarf sofort nachschlagen.

On a réussi, en particulier, à charactériser les fonctions d’ensemble qui sont des intégrales indéfinies par deux propriétés: l’additivité complète et l’absolue continuité. Quand une fonction d’ensemble ψ(E) jouit de ces deux propriétés, elle est l’intégrale indéfinie d’une fonction f qui dépend de 1, 2, 3,... variables suivant que les ensembles E sont formés à l’aide des points d’une droite, d’un plan, de l’espace ordinaire, etc. Pour avoir un langage et une notation uniformes, disons que f est une fonction de point, f(P), et écrivons: $\Psi E = \int_E {f(P)dm(P).}$

Henri Lebesgue