Zahlen und Strukturen

Zusammenfassung

Im Computer stehen uns keine unendlichen Zahlenräume zur Verfügung. Da wir mit 32- oder 64-Bit langen Zahlen arbeiten, sind Zahlen ab einer gewissen Größe nicht mehr darstellbar. Auch beliebig kleine Zahlen können wir nicht im Computer darstellen. Um korrekte Programme schreiben zu können, müssen wir uns ansehen, wie Zahlen im Computer repräsentiert werden und wie damit gerechnet werden kann. Wir sehen uns insbesondere Primzahlen an, die für moderne Verschlüsselungsverfahren wie RSA benötigt werden. Außerdem betrachten wir, wie der Computer Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen wie $\sqrt{(}2)$ beliebig genau berechnen kann und lernen dazu die Intervallschachtelung kennen. Diese nutzen wir auch, um nachzuweisen, dass die reellen Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen überhaupt sinnvoll definiert sind. Außerdem schauen wir uns an, wie viele Zahlen es eigentlich gibt. Gibt es mehr ganze Zahlen als natürliche Zahlen? Gibt es mehr reelle Zahlen als Brüche? In diesem Zusammenhang lernen wir das Diagonalisierungsverfahren von Cantor kennen. Als Vorbereitung auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachten wir einige Begriffe der beschreibenden Statistik. Damit lassen sich große Datenmengen mit wenigen Kennzahlen übersichtlich darstellen und diese Begriffe finden wir oft im Zusammenhang mit Information Retrieval, Big Data und künstlicher Intelligenz. Die Kenntnisse über Wahrscheinlichkeitsrechnung nutzen wir bspw., um mit einer gewissen Verlässlichkeit große Primzahlen sehr effizient berechnen zu können. Nach dem Lesen dieses Kapitels wissen Sie, wie Zahlen im Computer dargestellt werden, wie damit gerechnet werden kann und welche Probleme es im Umgang mit Zahlen im Computer gibt. Sie kennen Primzahlen und Algorithmen, um solche Primzahlen zu berechnen sowie den Einsatz solcher Primzahlen in modernen Verschlüsselungsverfahren wie RSA. Sie kennen und verstehen grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung wie Erwartungswert, Varianz und Kovarianz.