Darstellungsformeln für Parabolische Gleichungen

Zusammenfassung

Die einfachste zeitabhängige Partielle Differentialgleichung ist die Wärmeleitungsgleichung.

Übungen

Übung 9.1 (Eindimensionale Wärmeleitungsgleichung)

Die Raumdimension sei $n=1$, wir suchen eine Lösung $u : \mathbb {R}\times (0,\infty )$ der Wärmeleitungsgleichung. Wir machen den Skalierungsansatz $u(x,t) = v(x^2/t)$. Zeigen Sie:

• a) Die Funktion u erfüllt $\partial _t u = \partial _x^2 u$ genau dann, wenn

  $$\begin{aligned} 4zv^{\prime \prime } (z) + (2+z) v'(z)=0\quad \textit{f}{\ddot{ u}}{} \textit{r}\, \textit{alle }\, z>0\,. \end{aligned}$$

  (9.22)

• b) Die allgemeine Lösung von (9.22) lautet, für $c, d\in \mathbb {R}$,

  $$\begin{aligned} v(z) = c \int _0^z e^{-s/4}s^{-1/2}\,\textit{ds} + d\,. \end{aligned}$$

• c) Man erhält die eindimensionale Fundamentallösung, indem man u nach x differenziert und die Konstante c geeignet wählt.

Übung 9.2 ($^*$Eine Gleichung mit endlichem Lösungsintervall)

Es sei $f:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion mit der Eigenschaft, dass für alle $y_0 >0$ die gewöhnliche Differentialgleichung

$$\begin{aligned} \partial _t y = f(y)\,, \quad y(0) = y_0 > 0 \end{aligned}$$

nur ein endliches maximales Existenzintervall hat. Ein Beispiel ist gegeben durch $f(y)=y^2$. Zeigen Sie, dass auf einem beschränkten Gebiet $\varOmega \subset \mathbb {R}^n$ die Gleichung

$$\begin{aligned} \partial _t u - \Delta u = f(u)\,,\quad \partial _\nu u|_{\partial \varOmega } = 0 \end{aligned}$$

mit Anfangsbedingung $u(0)=u_0 \ge 0$ und $u_0 \ne 0$ höchstens ein endliches Existenzintervall hat.

Anleitung: Stellen Sie eine Gleichung für den Mittelwert von u auf. Verwenden Sie Jensen’s Ungleichung aus Übung 13.6, für jede konvexe Funktion $f:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$. Nutzen Sie ein Vergleichsprinzip: für zwei Funktionen $y, w: [0,T]\rightarrow \mathbb {R}$ mit $\partial _t y = f(y)$ und $\partial _t w \ge f(w)$ und $w(0) \ge y(0)$ gilt $w\ge y$.

Übung 9.3 (Die Wärmeleitungsgleichung im Halbraum)

Gegeben seien stetige Randdaten $g:[0,\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ mit $g(0)=0$. Wir definieren

$$\begin{aligned} u(x,t) := \frac{x}{2\sqrt{\pi }} \int _{0}^{t} \frac{g(s)}{(t-s)^{3/2}}\; e^{\frac{-x^{2}}{4(t-s)}}\,\textit{ds} \end{aligned}$$

für $x\in \varOmega := (0,\infty )$ und $t>0$. Zeigen Sie: u ist eine klassische Lösung des Anfangs-Randwertproblems

$$\begin{aligned} \partial _t u - \partial _x^{2} u & = 0 \qquad \textit{in}\;\; \varOmega \times (0,\infty )\,,\\ u & = 0 \qquad \textit{auf}\;\;\varOmega \times \{t=0\}\,,\\ u & = g \qquad \textit{auf}\;\;\{x=0\} \times [0,\infty )\,. \end{aligned}$$

Anleitung: Für den Nachweis der Randbedingung ist zu zeigen, dass $\varPhi _x(\tau ) := x \tau ^{-3/2} \exp (-x^2/4\tau )$ als Familie von Funktionen in $\tau \in (0,\infty )$ für $x\searrow 0$ eine Diracfolge definiert (bis auf Normierung). Dies kann mit einer Substitution nachgewiesen werden.

Übung 9.4 (Entwicklung in eine Fourier-Reihe I)

Wir betrachten  das folgende Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung auf $\varOmega = (0,1)$:

$$\begin{aligned} \partial _t u(x,t) &= \partial _x^2 u(x,t)\qquad \forall \ (x,t) \in \varOmega \times (0,\infty )\,,\\ u(0,t) &= u(1,t) =0\quad \ \forall \ t \in (0,\infty )\,, \\ u(x,0)&= u_0(x)\qquad \quad \ \forall \ x \in \varOmega \,. \end{aligned}$$

Für das Anfangsdatum gelte $u_0 \in C^1([0,1])$ mit $u_0(0) = u_0(1)=0$. Geben Sie eine Darstellung der Lösung mit einer Fourier-Reihe an. Hinweis: Die ungerade Fortsetzung von $u_0$ auf $(-1,1)$ kann in eine Fourier-Reihe entwickelt werden.