Darstellungsformeln

Zusammenfassung

Als Fundamentallösung der Poisson-Gleichung bezeichnet man eine Lösung $\varPhi :\mathbb {R}^n\rightarrow \mathbb {R}$ der Gleichung

Übungen

Übung 5.1 (Schwarz’sches Spiegelungsprinzip)

Für $n\ge 2$ sei $u\in H^1(\varOmega )$ eine (distributionell) harmonische Funktion auf dem Halbraum $\varOmega = \mathbb {R}^n_+ = \mathbb {R}^{n-1}\times \mathbb {R}_+$. Es gelte $u|_{\partial {\varOmega }} = 0$ im Spursinn. Wir betrachten die ungerade Fortsetzung $\tilde{u} :\mathbb {R}^n\rightarrow \mathbb {R}$,

$$\begin{aligned} \tilde{u}(x_1,\ldots ,x_{n-1},x_n) := {\left\{ \begin{array}{ll} u(x_1,\ldots ,x_{n-1},x_n)&{}\ \textit{falls }\ x_n \ge 0\,,\\ -u(x_1,\ldots ,x_{n-1},-x_n)&{}\ \textit{falls }\ x_n < 0\,. \end{array}\right. } \end{aligned}$$

Zeigen Sie, dass $\tilde{u}$ auf $\mathbb {R}^n$ harmonisch ist.

Übung 5.2 (Eigenschaften der Darstellungsformel)

Sei $n\ge 2$ und $\varPhi$ das Newton-Potential. Sei $f\in C_c^2(B_r(0))$ rotationssymmetrisch und $u:=\varPhi *f$. Zeigen Sie, dass u rotationssymmetrisch ist, also $u(Rx)=u(x)$ für jede Rotationsmatrix $R\in \textit{SO}(n)$. Zeigen Sie weiterhin, dass für alle $x\in \mathbb {R}^n$ mit $|x|>r$ gilt:

$$\begin{aligned} u(x)\,=\, \varPhi (x)\int _{B_r(0)} f(y)\,\textit{dy}\,. \end{aligned}$$

Übung 5.3 ($^*$Lösungsoperator auf $L^1(\varOmega )$)

Mit dem Newton-Potential $\varPhi$ betrachten wir den Lösungsoperator des Poisson-Problems auf dem Ganzraum, $S : f\mapsto f*\varPhi$. Es soll gezeigt werden, dass S nicht zu einem beschränkten Operator $L^1(\mathbb {R}^n) \rightarrow W^{2,1}(\mathbb {R}^n)$ fortgesetzt werden kann. Zeigen Sie dazu, dass es keine Konstante C gibt, so dass für alle $f \in C_c^2(\mathbb {R}^n)$ gilt:

$$\begin{aligned} \Vert D^2 (S f)\Vert _{L^1(\mathbb {R}^n)} \le C \Vert f\Vert _{L^1(\mathbb {R}^n)}\,. \end{aligned}$$

Hinweis: Betrachten Sie $f_k$ mit $f_k\rightarrow \delta _0$ in $\mathscr {D}'(\mathbb {R}^n)$ und verwenden Sie Übung 5.2.

Übung 5.4 (Ein Neumann-Problem im Halbraum)

Es sei $\varOmega = \mathbb {R}^3_+= \mathbb {R}^2\times \mathbb {R}_+$ der Halbraum mit Rand $\partial {\varOmega } \equiv \mathbb {R}^2$, $\rho \in C^0_c(\mathbb {R}^2)$ eine Ladungsdichte auf $\partial {\varOmega }$. Wir betrachten

$$\begin{aligned} u(x)= \frac{1}{2\pi } \int _{\mathbb {R}^2} \frac{\rho (y)}{|x-(y,0)|} \,d\mathscr {L}^2(y)\,. \end{aligned}$$

Beweisen Sie, dass u harmonisch ist und für $\bar{x}\in \mathbb {R}^2$ die Randbedingung

$$\begin{aligned} \lim _{x_3\rightarrow 0} \partial _3 u (\bar{x}, x_3) = -\rho (\bar{x}) \end{aligned}$$

erfüllt. Hinweis: Interpretieren Sie die Integraldarstellung von $\partial _3 u(\bar{x},1/m)$ als Faltung von $\rho$ mit einer Dirac-Folge.

Übung 5.5 (Spiegelung am Kreisrand)

Sei $B_1(0)$ der Einheitskreis in $\mathbb {R}^2$, $f\in L^2(B_1(0),\mathbb {R})$ und $u\in H^1_0(B_1(0),\mathbb {R})$ mit $\Delta u = f$ in $B_1(0)$. Mit $r := |x|$ setzen wir

$$\begin{aligned} w(x) := {\left\{ \begin{array}{ll} u(x) &{}\ \textit{f}{\ddot{ u}}{} \textit{r}\ \le 1\,,\\ -u(x/r^2) &{}\ \textit{f}{\ddot{ u}}{} \textit{r}\ r> 1\,. \end{array}\right. } \end{aligned}$$

Zeigen Sie $w\in H^1_{\textrm{loc}} (\mathbb {R}^2,\mathbb {R})$ und $\Delta w=g$ mit

$$\begin{aligned} g(x) := {\left\{ \begin{array}{ll} f(x) &{} \textit{f}{\ddot{ u}}{} \textit{r}\ r\le 1\,,\\ r^{-4} f(x/r^2) &{} \textit{f}{\ddot{ u}}{} \textit{r}\ r> 1\,. \end{array}\right. } \end{aligned}$$

Übung 5.6 ($^*$Implizite Randbedingung bei einer distributionellen Gleichung)

Für $n\ge 2$ sei $\varOmega = \mathbb {R}^n_+ = \mathbb {R}^{n-1}\times \mathbb {R}_+$ ein Halbraum. Für eine Funktion $u\in C^1(\bar{\varOmega },\mathbb {R})\cap C^2(\varOmega ,\mathbb {R})$ mit $f := \Delta u\in L^1(\varOmega ,\mathbb {R})$ seien $\tilde{u}$ beziehungsweise $\tilde{f}$ die trivialen Fortsetzungen auf $\mathbb {R}^n$ (Fortsetzung durch 0). Im Distributionssinn gelte

$$\begin{aligned} \Delta \tilde{u} = \tilde{f} \quad \textit{ auf }\,\, \mathbb {R}^n\,. \end{aligned}$$

Welche Randbedingungen erfüllt die Funktion u auf $\partial {\varOmega }$?

Übung 5.7 (Grundlösung für $\Delta ^p$)

Für $p,n\in \mathbb {N}$, $p \ge 1$, $n\ge 2$ und $x\in \mathbb {R}^n\setminus \{0\}$ sei

$$\varPsi (x) = |x|^{2p-n} (A\log |x| + B)\,.$$

Bestimmen Sie reelle Konstanten A und B, so dass $\varPsi$ eine Grundlösung für $\Delta ^p$ im $\mathbb {R}^n$ ist. Hinweis: Es gilt $A=0$ falls $2p<n$ oder n ungerade, $B=0$ falls $2p\ge n$ und n gerade.