Grundlagen für einen verallgemeinerten Lösungsbegriff

Zusammenfassung

Wir erinnern in diesem Abschnitt an die Begriffsbildungen beim Gauß’schen Satz, insbesondere an Lipschitz-Gebiete und Randintegrale. Wir geben hier eine kompakte Übersicht, um anschließend den Gauß’schen Satz für Sobolevfunktionen und den Spursatz besprechen zu können.

Übungen

Übung 3.1 ($^*$Zwiebelintegration)

Beweisen Sie für $f\in C^1(\mathbb {R}^n, \mathbb {R})$ die Formel

$$\begin{aligned} \int _{B_R(0)} f\, d\mathscr {L}^n = \int _0^R \int _{\partial B_r(0)} f\, d\mathscr {H}^{n-1}\, \textit{dr} \,. \end{aligned}$$

(3.31)

Anleitung: Definieren Sie $T_R:x\mapsto Rx$ und damit $(f\circ T_R)(x) = f(Rx)$, um die linke Seite als Integral über $B_1(0)$ zu schreiben. Differenzieren Sie die zu vergleichenden Ausdrücke nach R. Ein Integral der Form

$$\begin{aligned} \int _{B_1(0)} (\nabla f)\circ T_R(x)\cdot x\, \textit{dx} \end{aligned}$$

wird mit partieller Integration behandelt.

Bemerkung : Die Integrationsformel (3.31) ist ein einfaches Beispiel für die Co-Flächen Formel (oder Co-area Formel): Die Familie $\partial B_r(0)$ von Flächen (parametrisiert mit $0<r<R$) überstreicht die Kugel $B_R(0)$. Das Integral über die Kugel kann dann als r-Integral über die Flächenintegrale geschrieben werden.

Übung 3.2 (Der Laplaceoperator in Polarkoordinaten)

Sei $u \in C^{2}(\mathbb {R}^2,\mathbb {R})$. In Polarkoordinaten $\varPhi : [0,\infty )\times [0,2\pi ) \rightarrow \mathbb {R}^2$, $(r,\varphi )\mapsto (r\cos \varphi , r\sin \varphi )$ betrachtet man die Funktion $\tilde{u} := u\circ \varPhi$, $\tilde{u}(r,\varphi ) = u(r\cos \varphi , r\sin \varphi )$. Zeigen Sie die Darstellung des Laplaceoperators

$$\begin{aligned} \Delta u(x) = \frac{\partial ^2}{\partial r^2} \tilde{u}(r,\varphi ) + \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \tilde{u}(r,\varphi ) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial ^2}{\partial \varphi ^2} \tilde{u}(r,\varphi ) \end{aligned}$$

(3.32)

für $x= \varPhi (r,\varphi )$ und $r>0$.

Anleitung: Durch Normierung erhält man aus den Vektoren $\partial _r\varPhi$ und $\partial _\varphi \varPhi$ die (orthogonalen) Richtungsvektoren $e_r$ und $e_\varphi$. Der Gradient von u lässt sich damit schreiben als $(\nabla u)(\varPhi (r,\varphi )) = \partial _r \tilde{u}(r,\varphi ) e_r + r^{-1} \partial _\varphi \tilde{u}(r,\varphi ) e_\varphi$. Für eine beliebige Testfunktion $\psi \in C^2_c(\mathbb {R}^2\setminus \{0\})$ gilt daher

$$\begin{aligned} \int _{\mathbb {R}^2} \nabla u\cdot \nabla \psi = \int _0^\infty \int _0^{2\pi } \left\{ \partial _r \tilde{u}\cdot \partial _r \tilde{\psi }+ \frac{1}{r^2} \partial _\varphi \tilde{u}\cdot \partial _\varphi \tilde{\psi }\right\} \, r\, d\varphi \, \textit{dr} \,. \end{aligned}$$

Durch partielle Integration erhält man links $\Delta u$ und rechts den Ausdruck aus (3.32).

Übung 3.3 (Der Laplaceoperator in Kugelkoordinaten)

Es sei  $u \in C^{2}(\mathbb {R}^n,\mathbb {R})$ radialsymmetrisch, es existiere also eine Funktion $\hat{u}:[0,\infty )\rightarrow \mathbb {R}$, so dass $u(x)=\hat{u}(|x|)$ für alle $x \in \mathbb {R}^n$. Zeigen Sie, dass für $r= |x|$

$$\begin{aligned} \hat{u}\in C^2([0,\infty ),\mathbb {R})\quad { und } \quad \Delta u(x) = \left( \frac{\partial ^2}{\partial r^2}+\frac{n-1}{r} \frac{\partial }{\partial r}\right) \hat{u}(r) \,. \end{aligned}$$

Übung 3.4 (Integrale über den Torus)

Gegeben sei ein Torus $T\subset \mathbb {R}^{3}$, parametrisiert mit Radien $0<r<R$ durch $\varPhi : G = [0,2\pi ) \times [0,2\pi ) \rightarrow \mathbb {R}^3$,

$$\begin{aligned} \varPhi (\alpha , \beta ) = \left( \begin{array}{c} \cos (\alpha ) (R + r \cos (\beta )) \\ \sin (\alpha ) (R + r \cos (\beta )) \\ r \sin (\beta )\\ \end{array} \right) \,. \end{aligned}$$

Geben Sie einen Normalenvektor und zwei linear unabhängige Tangentialvektoren in einem Punkt $(x,y,z) \in \varPhi (G)$ an. Berechnen Sie die Oberfläche des Torus und das Integral von $f:T\rightarrow \mathbb {R}$, $f(x,y,z) = xyz$ über T für $R=5$ und $r=1$.

Übung 3.5 (Flächenintegrale)

Berechnen Sie die folgenden Integrale

• a) Für die Kreislinie $\varGamma = \{(x,y)\in \mathbb {R}^2|\ x^2+y^2=1 \}$

  $$|\varGamma | = \int _\varGamma 1 = \int _\varGamma d\mathscr {H}^{1}(x,y)\quad {und }\quad \int _\varGamma x^2\, d\mathscr {H}^{1}(x,y) \,.$$

• b) Für die Sphäre $\varGamma = \{(x,y,z)\in \mathbb {R}^3|\ x^2+y^2+z^2=1 \}$

  $$|\varGamma | = \int _\varGamma 1 = \int _\varGamma d\mathscr {H}^{2}(x,y,z)\quad {und }\quad \int _\varGamma x^2\, d\mathscr {H}^{2}(x,y,z) \,.$$

• c) Für die Fläche $\varGamma = {\varPhi }\left( D\right) \subset \mathbb {R}^3$, wobei $D=(-1,1)\times (-\pi ,\pi )$ und $\varPhi (\alpha ,\beta ) = (\alpha ,\beta ,\sin \beta )$, das Integral

  $$\int _{\varGamma } z\ d\mathscr {H}^2(x,y,z) \,.$$

Übung 3.6 (Lipschitz-Gebiete)

Stellen Sie fest, welche der folgenden Mengen Lipschitz-Gebiete sind

• a) $\{(x,y)\in \mathbb {R}^2|\ |x|+|y|<1\}$

• b) $\{(x,y)\in \mathbb {R}^2|\ \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}<1\}$

• c) $\{(x,y)\in \mathbb {R}^2|\ x\in (-1,1), -2<y< x\, \sin (1/x) \}$

• d) $\{(x,y)\in \mathbb {R}^2|\ x\in (-1,1), -2<y< x^2\, \sin (1/x) \}$

• e) $\{(x,y)\in \mathbb {R}^2|\ |(x,y)|\in (1,2)\} \setminus \{(x,0)| x>0\}$

Übung 3.7 ($^*$Flächenintegrale im Dreidimensionalen)

Für $n=3$ kann das Flächenmaß durch das Kreuzprodukt zweier natürlicher Tangentialvektoren (gegeben durch die Parametrisierung der Randfläche) erhalten werden. Wir schreiben symbolisch

$$\begin{aligned} \nu (x) d\mathscr {H}^2(x) = (\tau _1\times \tau _2)\ d\mathscr {L}^2(p)\,, \end{aligned}$$

(3.33)

wenn $\varPhi$ eine Parametrisierung der Fläche ist, $x = \varPhi (p)$, und $\tau _j(x) = \partial _j \varPhi (p)$.

Zeigen Sie zum Nachweis von (3.33) für eine Matrix $F\in \mathbb {R}^{3\times 2}$ mit Spalten $f_1, f_2\in \mathbb {R}^3$ die Gleichung

$$\begin{aligned} \det (F^T\cdot F) = | f_1\times f_2 |^2 \,. \end{aligned}$$

Übung 3.8 ($^*$Distributionsableitungen)

Bestimmen Sie die Distributionsableitungen der folgenden Funktionen $u:D\rightarrow \mathbb {R}$.

• a) Positiver Anteil: $D = (-1,1)$, $u(x) = x$ für $x\ge 0$ und $u(x) = 0$ für $x<0$

• b) Signumsfunktion: $D = (-1,1)$, $u(x) = 1$ für $x> 0$, $u(x) = 0$ für $x=0$, und $u(x) = -1$ für $x<0$

• c) Kegel: $D = B_1(0) \subset \mathbb {R}^n$, $u(x) = |x|$

Übung 3.9 ($^*$Einfache Pole)

Sei $f_\alpha (x) := | x |^\alpha$ für $x\in \mathbb {R}^n\setminus \{0\}$ und $\alpha \in \mathbb {R}$.

• a) Für welche $\alpha \in \mathbb {R}$ ist durch $\langle f_\alpha \rangle$ eine Distribution in $\mathscr {D}'(\mathbb {R}^n,\mathbb {R})$ definiert?

• b) Für welche $\alpha \in \mathbb {R}$ und $p\in [1,\infty ]$ sind $\langle f_\alpha \rangle$ und $\partial _j \langle f_\alpha \rangle$ für $j=1,\ldots ,n$ durch $L^p_{\textrm{loc}}$-Funktionen darstellbar?

Übung 3.10 ($^*$Young und Hölder)

Wiederholen Sie die folgenden Aussagen für duale Exponenten $p, p'$, also Zahlen $p,p' \in (1,\infty )$ mit $\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1$. Die Young’sche¹⁰ Ungleichung

$$\begin{aligned} AB \le \frac{1}{p} A^p + \frac{1}{p'} B^{p'} \end{aligned}$$

(3.34)

für reelle Zahlen $A,B \ge 0$. Die Hölder¹¹-Ungleichung 

$$\begin{aligned} \Vert f\, g \Vert _{L^1(\varOmega )} \le \Vert f \Vert _{L^p(\varOmega )}\Vert g \Vert _{L^{p'}(\varOmega )} \,. \end{aligned}$$

(3.35)

Übung 3.11 (Distributionell harmonische Funktionen I)

Eine lokal integrierbare Funktion $u:\varOmega \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Gebiet $\varOmega$ ist harmonisch im Distributionssinn, falls

$$\begin{aligned} \int _{\varOmega } u\, \Delta \varphi = 0\quad \textit{f}{\ddot{ u}}{} \textit{r}\ \textit{alle}\ \varphi \in C^2_c({\varOmega }) \,. \end{aligned}$$

Beweisen Sie, dass eine solche Funktion mit der Regularität $u \in C^2(\varOmega )$ im klassischen Sinn harmonisch ist.

Sei $\varOmega \subset \mathbb {R}^n$ Lipschitz-Gebiet und $u\in H^1(\varOmega )$ harmonisch im Distributionssinn. Zeigen Sie mit einem Dichtheitsargument, dass u auch schwach harmonisch ist,

$$\begin{aligned} \int _{\varOmega } \nabla u\cdot \nabla \varphi = 0\quad \forall \varphi \in H^1_0({\varOmega }) \,. \end{aligned}$$

Übung 3.12 ($^*$Zur Einbettung $H^1\hookrightarrow C^{1/2}$ in einer Dimension)

Auf $I = (a,b)$ sei u eine Funktion der Klasse $u\in H^1 (I, \mathbb {R})$. Zeigen Sie, dass für fast alle $x, y\in I$ gilt:

$$|u(x) - u(y)| \le \Vert \partial _x u \Vert _{L^2(I)}\ |x-y|^{1/2}.$$

Zeigen Sie, dass man einen stetigen Repräsentanten für u finden kann.

Anleitung: Zeigen Sie die Ungleichung erst für klassisch differenzierbare Funktionen, und arbeiten Sie dann mit Hilfe eines Dichtheitsarguments.

Übung 3.13 ($^*$Distributionell harmonische Funktionen II)

Sei ${\varOmega }\subset \mathbb {R}^n$ offen und $u\in L^1_{\textrm{loc}}({\varOmega })$ distributionell harmonisch, es gelte also $\Delta u=0$ in $\mathscr {D}'(\varOmega )$. Zeigen Sie die Regularität $u\in C^2(\varOmega )$ und die klassische Gleichung $\Delta u = 0$ in $\varOmega$.

Anleitung: Verwenden Sie eine reguläre Diracfolge $\psi _\varepsilon$ und zeigen Sie 1. $u_\varepsilon = u * \psi _\varepsilon$ ist $C^2$ und harmonisch. 2. Schließen Sie für eine feste Glättungsfunktion $G = \psi _{\varepsilon _0}$, dass $u_0 = u * G$ harmonisch ist und dass $u_\varepsilon (x) = (u_\varepsilon * G)(x) = (u_0 * \psi _\varepsilon )(x)$ unabhängig von $\varepsilon$ ist. 3. Schließen Sie aus der distributionellen Konvergenz $u_\varepsilon \rightarrow u$ die Behauptungen.

Übung 3.14 ($^*$Gegenbeispiel zu den Sobolev-Einbettungen und zum Spursatz)

Im Zweidimensionalen sei ${\varOmega } = B_{1/2}(0) \subset \mathbb {R}^2$ und $u(x) = \log |\log |x||$. Zeigen  Sie mit dieser Funktion:

• a) Es gibt keine stetige Einbettung $H^1(\varOmega ) \hookrightarrow L^\infty ({\varOmega })$  .

• b) Es gibt keinen stetigen Punkt-Auswertungsoperator $S:H^1(\varOmega ) \rightarrow \mathbb {R}$, so dass $S(u) = u(0)$ für $u\in C^1(\varOmega )$  .

Übung 3.15 ($^*$Vergleich von $C^0(\partial {\varOmega })$ und $H^{1/2}(\partial {\varOmega })$)

Sei ${\varOmega } := (0,2\pi )\times (0,\infty )\subset \mathbb {R}^2$ mit Koordinaten $(x,y) \in {\varOmega }$ und mit dem unteren Rand $\Sigma := (0,2\pi )\times \{0\}$. Wir betrachten Randwerte $g:\Sigma \rightarrow \mathbb {R}$ in der Form einer Fourier-Reihe und eine Fortsetzung $u:{\varOmega }\rightarrow \mathbb {R}$ der Randwerte, die formal eine harmonische Funktion beschreibt,

$$\begin{aligned} g(x) = \sum _{k\in \mathbb {N}} a_k \sin (k x)\,,\qquad u(x,y) = \sum _{k\in \mathbb {N}} a_k \sin (k x) e^{-ky}\,. \end{aligned}$$

Geben Sie ein Kriterium für die Koeffizienten $(a_k)_k$ an, welches sicherstellt, dass $u\in H^1({\varOmega })$ erfüllt ist (in diesem Fall gilt $g\in H^{1/2}({\Sigma })$). Zeigen Sie, dass es eine Folge $(a_k)_k$ gibt, so dass g stetig ist, aber nicht von der Klasse $H^{1/2}({\Sigma })$.

Übung 3.16 ($^*$Die Spur in den Normen $L^2(\varOmega )$ und $H^1(\varOmega )$)

Das Gebiet ${\varOmega }\subset \mathbb {R}^n$ sei beschränkt  mit Lipschitz Rand. Zeigen Sie für den Spuroperator die Abschätzung

$$\begin{aligned} \Vert \textrm{spur}\, u\Vert ^2_{L^2(\partial {\varOmega })} \le C \Vert u\Vert _{L^2(\varOmega )}\, \Vert u\Vert _{H^1(\varOmega )} \,. \end{aligned}$$

(3.36)

Eine laxe Interpretation: Die rechte Seite kann mit $\Vert u \Vert ^2_{H^{1/2}(\varOmega )}$ verglichen werden, denn es wird mittig zwischen $L^2(\varOmega )$ und $H^1(\varOmega )$ interpoliert. Insofern deutet Ungleichung (3.36) an, dass bei der Anwendung des Spuroperators eine halbe Regularitätsstufe verlorengeht (wie in der rigorosen Aussage in Übung 24.4).

Übung 3.17 (Lösungsbegriffe)

Zeigen Sie für beschränkte Gebiete $\varOmega \subset \mathbb {R}^n$ und die Gleichung $\Delta u = f$ die Implikationen: $u \in C^2(\bar{\varOmega })$ klassische Lösung $\ \Rightarrow \$ u starke Lösung $\ \Rightarrow \$ u schwache Lösung $\ \Rightarrow \$ u distributionelle Lösung.