Konvexe Analysis

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wollen wir die wichtigsten Begriffe der konvexen Analysis erklären. Nach einführenden Bemerkungen zu konvexen Funktionen und mehrwertigen Abbildungen werden wir die grundlegenden Begriffe der Fenchel-konjugierten Abbildung und des Subdifferentials einführen und die wichtigsten Zusammenhänge ableiten, insbesondere die Fenchel-Relationen in Satz 15.5.

Übungen

Übung 15.1 (Beispiel für die Fenchel-Relationen)

Wir betrachten die konkreten Funktionen $F, G:\mathbb {R}^n\rightarrow \mathbb {R}$, gegeben durch $F(x):= c\cdot x -b$ für $b\in \mathbb {R}$, $c\in \mathbb {R}^n$ und $G(x):= |x|$. Bestimmen Sie die Fenchel-Transformierten von F und G und überprüfen Sie für die konkreten Funktionen die Relationen aus Satz 15.5.

Übung 15.2 (Abschätzungen für zeitdiskrete Approximationen)

Sei $b:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}$ streng monoton. Sei $\Psi$ eine Stammfunktion von $b^{-1}$, es gelte also $\Psi ' = \varphi := b^{-1}$. Zeigen Sie für alle $u,v\in \mathbb {R}$ die Ungleichung

$$\begin{aligned} b(u)v-b(v)v\le \Psi (b(u))-\Psi (b(v))\,. \end{aligned}$$

Hinweis: Schreiben Sie die Aussage in den Variablen $s:=b(u)$ und $r:=b(v)$ mit Integralen. Bemerkung: Wir erhalten damit die in (15.14) verwendete Ungleichung mit einer klassischen Rechnung.

Übung 15.3 ($^*$Zeitschrittverfahren für Differentialinklusion I)

 Wir  betrachten die gewöhnliche Differentialgleichung (15.15). Gegeben seien Zeitpunkte $0 = t_0 < t_1 < \ldots < t_N = T$ und ein Startwert $u_0\in \mathbb {R}^n$. Zeigen Sie, dass das Verfahren

$$\begin{aligned} \frac{u_k - u_{k-1}}{t_k - t_{k-1}} \in \partial \chi (Y(t_k) - u_k) \end{aligned}$$

eine Lösung $(u_1, \ldots , u_N)$ besitzt. Überlegen Sie sich die geometrische Bedeutung des Verfahrens in dem Fall, dass $\chi$ die Indikatorfunktion einer konvexen Menge $B\subset \mathbb {R}^n$ ist.

Anleitung: Betrachten Sie zu einem vorgegebenem Wert $u_{k-1}$ das Funktional $A : \mathbb {R}^n\rightarrow \hat{\mathbb {R}}$,

$$\begin{aligned} A(u) := \frac{1}{2 (t_k - t_{k-1})} \Vert u - u_{k-1} \Vert ^2 + \chi (Y(t_k) - u)\,. \end{aligned}$$

Stellen Sie fest, dass A ein Minimum $u = u_k \in \mathbb {R}^n$ besitzt. Schließen Sie aus $0\in \partial A(u_k)$ die Lösungseigenschaft.

Übung 15.4 (Relaxiertes Funktional)

Konstruieren Sie ein konvexifiziertes Funktional zu Beispiel 15.6. Überprüfen Sie an diesem Beispiel die Aussagen von Lemma 15.8 und Satz 15.9.