Nichtkonvexe Funktionale, Nebenbedingungen

Zusammenfassung

Bisher haben wir für Existenzbeweise Satz 13.8 verwendet, also die schwache Unterhalbstetigkeit konvexer Funktionen. Damit konnten wir Variationsprobleme lösen mit Integranden $f=f(x,p)$ (unabhängig von $z=u(x)$), falls f konvex war in p.

Übungen

Übung 14.1 ($^*$Direkte Methode und Sobolev-Einbettung)

Sei $\emptyset \ne \varOmega \subset \mathbb {R}^3$ offen und beschränkt, wir betrachten auf $X := H_0^1(\varOmega )$ das Variationsproblem $A(u) := \frac{1}{2} \int _\varOmega |\nabla u|^2 \rightarrow \min$ unter der Nebenbedingung $\varPhi (u) := \int _\varOmega |u|^6 {\mathop {=}\limits ^{!}} 1$. Dieses Problem ist nicht mit der Direkten Methode lösbar. Zeigen Sie: Es gibt $u_k \rightharpoonup u$ in $H^1(\varOmega )$ mit $\Vert u_k\Vert _{L^6(\varOmega )} = 1$, aber $\Vert u\Vert _{L^6(\varOmega )}\ne 1$. Hinweis: $|u_k|^6$ muss eine Dirac-Distribution approximieren.

Übung 14.2 ($^*$Punktweise und schwache Konvergenz)

Sei  $\varOmega \subset \mathbb {R}^n$, $u_k$ eine Folge in $L^2(\varOmega )$. Die Folge sei schwach konvergent gegen $\bar{u}$ und konvergiere punktweise fast überall gegen $\tilde{u}$. Beweisen Sie mit dem Satz von Egoroff, dass dann $\bar{u}(x) = \tilde{u}(x)$ für fast alle x.

Übung 14.3 (Schwache Unterhalbstetigkeit eines nicht-konvexen Funktionals)

Sei $\varOmega \subset \mathbb {R}^n$ offen und beschränkt, der Koeffizient $a:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}_+$ sei stetig. Zeigen Sie, dass das Funktional

$$\begin{aligned} A: H^1_0(\varOmega )\rightarrow \mathbb {R},\qquad A(u) := \int _\varOmega a(u) |\nabla u|^2 \end{aligned}$$

schwach unterhalbstetig ist. Verwenden Sie die Rellich-Einbettung und den Satz von Egoroff, aber keine Stützebenen. Vergleichen Sie auch mit Satz 14.2.

Übung 14.4 ($^*$Mittelwert-Nebenbedingung)

Wir betrachten ein beschränktes Gebiet $\varOmega \subset \mathbb {R}^n$ und das Funktional $A(u) = \frac{1}{2} \int _\varOmega |\nabla u|^2 \rightarrow \min$ auf $X = H_0^1(\varOmega )$. Für eine Zahl $M\in \mathbb {R}$ sei eine Nebenbedingung definiert durch

$$\begin{aligned} \varPhi (u) := \int _\varOmega u = M\,. \end{aligned}$$

Zeigen Sie die Existenz eines Minimierers u und leiten Sie die Gleichung für u ab.

Übung 14.5 ($^*$Eine nichtlineare Poisson-Gleichung)

Sei $\emptyset \ne \varOmega \subset \mathbb {R}^n$ offen und beschränkt, $n>2$. Zeigen Sie die Existenz einer nicht-trivialen ($u\ne 0$) schwachen Lösung $u\in H^1_0(\varOmega )$ von

$$\begin{aligned} -\Delta u = |u|^{q-1}\,u\quad \textit{ in }\, \varOmega \,, \end{aligned}$$

wobei $2 < q+1 < 2n/(n-2)$ erfüllt sein soll.

Anleitung: Verwenden Sie die Nebenbedingung $\varPhi (u) := \Vert u\Vert _{L^{q+1}(\varOmega )}^{q+1} = 1$ und bringen Sie den Lagrange-Multiplikator durch Skalierung auf den gewünschten Wert.

Übung 14.6 (Darstellung als curl)

Sei $\varOmega = [0,L)^3 \subset \mathbb {R}^3$ der dreidimensionale Würfel. Wir definieren $H^1_\#(\varOmega , \mathbb {R}^3)$ als den Raum periodischer Funktionen auf $\varOmega$, also aller Funktionen $u\in H^1(\varOmega ,\mathbb {R}^3)$, deren periodische Fortsetzung in $H^1_\textrm{loc}(\mathbb {R}^3,\mathbb {R}^3)$ ist. Wir fordern zusätzlich, dass das Integral über $\varOmega$ verschwindet.

Zeigen Sie: Für jedes f im Dualraum $H^1_\#(\varOmega , \mathbb {R}^3)'$ besitzt das Funktional

$$\begin{aligned} A(w) = \frac{1}{2} \left\{ \int _\varOmega |{\text {curl}}\, w|^2 + |\text {div}\, w|^2 \right\} - \langle f, w\rangle \end{aligned}$$

ein Minimum $w\in H^1_\#(\varOmega , \mathbb {R}^3)$.

Anleitung: Partielle Integration ohne Randterme ist immer zulässig wegen der Periodizität. Schreiben Sie das Funktional A in einer einfacheren Form, um die Koerzivität direkt ablesen zu können.

Folgern Sie einen Darstellungssatz. Jedes $f\in L^2(\varOmega , \mathbb {R}^3)$ mit $\nabla \cdot f = 0$ und $\int _\varOmega f = 0$ lässt sich als Rotation schreiben: Es existiert ein sogenanntes Vektorpotential $v\in L^2(\varOmega , \mathbb {R}^3)$ mit

$$\begin{aligned} {\text {curl}}\, v= f\quad { in }\, \varOmega \,, \end{aligned}$$

Dabei kann sogar das Potential $v$ selbst als Rotation geschrieben werden: $v= {\text {curl}}\, w$ für ein $w\in H^1_\#(\varOmega , \mathbb {R}^3)$. Weiterhin gilt eine Abschätzung $\Vert v\Vert _{L^2(\varOmega )} \le C \Vert f\Vert _{H^{-1}(\varOmega )}$. Anleitung hierzu: Konstruieren Sie w mit dem obigen Funktional und setzen Sie $v:= {\text {curl}}\, w$. Verwenden Sie die Lösung der Gleichung $\Delta \varPhi = \rho := \text {div}\, w$ um nachzuweisen, dass $\text {div}\, w = 0$ gilt.