Wellengleichungen

Zusammenfassung

Das Gebiet $\varOmega \subset \mathbb {R}^n$ sei entweder beschränkt oder der Ganzraum, $\varOmega = \mathbb {R}^n$. Wir werden uns intensiv mit dem homogenen Problem (12.1) beschäftigen, eine „rechte Seite“ f können wir dann mit der Variation der Konstanten Formel behandeln.

Übungen

Übung 12.1 (Der Klang einer Trommel)

Die Auslenkung einer Membran über $\varOmega \subset \mathbb {R}^2$ sei beschrieben durch

$$\begin{aligned} u: \varOmega \times (0,\infty ) \ni (x,t) &\mapsto u(x,t)\in \mathbb {R}\,. \end{aligned}$$

Bei einem Dämpfungsfaktor $b>0$ lautet die gedämpfte Wellengleichung für u

$$\begin{aligned} \frac{1}{c^2} \partial _t^2 u - \Delta u &= -2b\, \partial _t u \quad \textit{ in } \varOmega \times (0,\infty )\,, \end{aligned}$$

mit der Dirichlet-Bedingung $u= 0$ auf $\partial \varOmega \times (0,\infty )$ und den Anfangsbedingungen $u(.,0) = u_0$ und $\partial _t u(.,0) = u_1$ auf $\varOmega$. Geben Sie formal die allgemeine Lösung mit Hilfe der Eigenfunktionen von $-\Delta :H^1_0(\varOmega )\rightarrow H^{-1}(\varOmega )$ an. Welche Mischung aus Frequenzen hört man nach langer Zeit?

Übung 12.2 (Eine Wellengleichung höherer Ordnung)

Verwenden Sie  Theorem 12.4, um für $\varOmega \subset \mathbb {R}^n$ und $T>0$ eine Lösung der instationären Plattengleichung

$$\begin{aligned} \partial _t^2 u = - \Delta ^2 u \end{aligned}$$

(12.23)

auf $\varOmega \times (0,T)$ zu finden mit $u(t) \in H^2_0(\varOmega )$ und allgemeinen Anfangsbedingungen. Der Funktionenraum für u(t) ist wie in Übung 6.7.

Übung 12.3 (Schrödinger-Gleichung)

Die Schrödinger-Gleichung lautet, für normierte physikalische Parameter und ein Potential $V:\mathbb {R}^n\rightarrow \mathbb {R}$, $V = V(x)$,

$$\begin{aligned} i \partial _t u = \Delta u + V\, u\,. \end{aligned}$$

(12.24)

Stellen Sie für Lösungen der Form $u(x,t) = U(x) e^{i\omega t}$ fest, dass U eine Helmholtz-artige Gleichung löst. Schreiben Sie in (12.24) die Gleichungen für Realteil und Imaginärteil getrennt und stellen Sie eine Beziehung zu einer Plattengleichung her.