Zeitabhängige Funktionenräume

Zusammenfassung

Wir wollen in den nachfolgenden Kapiteln Existenzresultate für instationäre Probleme beweisen. Dabei werden wir parabolische Probleme in Kap. 11 und Wellengleichungen in Kap. 12 mit ähnlichen Techniken behandeln.

Übungen

Übung 10.1 (Gewöhnliche Differentialgleichung mit Inhomogenität in $L^p$)

Wir  betrachten im Raum $X = \mathbb {R}^N$ die Differentialgleichung

$$\begin{aligned} \partial _t y(t) = f(y(t), t) + g(t)\ \textit{f}{\ddot{ u}}{} \textit{r}\ t\in [0,T]\,, \quad y(0) = y_0\,. \end{aligned}$$

(10.29)

Hierbei sind gegeben: $T>0$, $y_0\in X$, $f:X\times [0,T]\rightarrow X$ stetig im zweiten Argument und Lipschitz-stetig im ersten Argument (mit einer Konstanten unabhängig von t), die Inhomogenität $g\in L^p(0,T;X)$ für ein $p\in [1,\infty )$. Zeigen Sie, dass es eine eindeutige Lösung $y\in W^{1,p}(0,T;X)$ gibt, so dass die Differentialgleichung für fast alle $t\in [0,T]$ erfüllt ist und die Anfangsbedingung im Spursinn.

Anleitung: Definieren Sie $G\in W^{1,p}(0,T;X)$ durch $G(t) := \int _0^t g(s)\, \textit{ds}$. Lösen Sie die Gleichung $\partial _t z(t) = f(z(t) + G(t), t)$ zu $z(0) = y_0$ mit dem klassischen Satz von Picard⁶-Lindelöf⁷ nach z (hier nutzen Sie aus, dass G stetig ist). Setzen Sie $y = G + z$.

Übung 10.2 ($^*$Hölderstetigkeit von $W^{1,p}(0,T;X)$-Funktionen)

Für einen Banachraum X und Zahlen $T>0$ und $p\in (1,\infty )$ betrachten wir den Raum $W^{1,p}(0,T;X)$. Zeigen Sie, dass es eine Zahl $\alpha >0$ gibt, so dass jede Funktion $u\in W^{1,p}(0,T;X)$ einen Repräsentanten $u\in C^\alpha ([0,T],X)$ hat.

Anleitung: Wählen Sie als Repräsentanten von u die stetige Funktion mit $u(t)= \textrm{spur}_t(u)$ für alle $t\in [0,T]$ aus Proposition 10.8 und benutzen Sie den Hauptsatz.

Übung 10.3 ($^*$Keine Stetigkeit im Hilbertraum für $p<2$)

Theorem 10.9 liefert für $p=2$ eine stetige Einbettung $L^2(0,T;V) \cap W^{1,p}(0,T,V') \hookrightarrow C^0([0,T], H)$. Zeigen Sie, dass für allgemeine Gelfand-Tripel $(V,H,V')$ und $p<2$ keine derartige Einbettung existiert.

Anleitung: Verwenden Sie ein Gelfand-Tripel, in dem eine Folge $v_k\in V$ existiert mit $\Vert v_k\Vert _H^2 = \Vert v_k\Vert _V \Vert v_k\Vert _{V'} = 1$ und $\Vert v_k\Vert _{V} \rightarrow \infty$. Betrachten Sie stückweise affine Funktionen $u_k :[0,T] \rightarrow V$ mit $u_k(0) = v_k$ und $u_k(t) = 0$ $\forall t\ge \delta _k$, für eine geeignet gewählte Folge $\delta _k \rightarrow 0$.

Übung 10.4 (Interpolation von Sobolev-Räumen)

Sei  $I=(0,T)$ ein Zeitintervall, zur Vereinfachung der Notation betrachten wir hier $T = 2\pi$, X sei ein Hilbertraum. Für $\alpha \ge 0$ können Sobolevräume $H^\alpha (I,X)$ definiert werden mit Hilfe der Koeffizienten der Fourier-Reihe. Wir setzen $a_k:= \int _I e^{-ikt} u(t)\, \textit{dt} \in X$ für $k\in \mathbb {Z}$ und definieren eine Norm auf $H^\alpha (I,X)$ durch

$$\begin{aligned} \Vert u \Vert ^2_{H^\alpha (I,X)} := \sum _{k\in \mathbb {Z}} (1+ |k|^{2\alpha }) \Vert a_k\Vert _X^2\,. \end{aligned}$$

Für ein weiteres Intervall $\varOmega =(0,2\pi )$ betrachten wir nun Funktionen $u : I \rightarrow L^2(\varOmega )$. Zeigen Sie für $\alpha \in (0,1)$, dass eine stetige Einbettung

$$\begin{aligned} H^1(I,L^2(\varOmega ))\cap L^2(I,H^2(\varOmega )) \hookrightarrow H^\alpha (I, H^{2-2\alpha }(\varOmega , \mathbb {R})) \end{aligned}$$

existiert. Entwickeln Sie dazu eine Funktion $u\in L^2(I,L^2(\varOmega ))$ in einer zweifachen Fourier-Reihe als

$$\begin{aligned} u(x,t) = \sum _{k\in \mathbb {Z}} \sum _{l\in \mathbb {Z}} b_{k,l} e^{ikt} e^{ilx} \end{aligned}$$

und schreiben Sie die Normen als

$$\begin{aligned} \Vert u \Vert _{H^1(I,L^2(\varOmega ))}^2 = C \sum _{k\in \mathbb {Z}} \sum _{l\in \mathbb {Z}} (1+ |k|^{2}) | b_{k,l} |^2\,,\ \Vert u \Vert _{L^2(I,H^2(\varOmega ))}^2 = C \sum _{k\in \mathbb {Z}} \sum _{l\in \mathbb {Z}} (1+ |l|^{4}) | b_{k,l} |^2\,. \end{aligned}$$

Sie erhalten die Abschätzung in $H^\alpha (I, H^{2-2\alpha }(\varOmega , \mathbb {R}))$, indem Sie die entsprechende Norm ausschreiben und die Young’sche Ungleichung (3.34) anwenden.