Spezielle mathematische Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Funktionen vorgestellt, die in den Ingenieurwissenschaften oft benutzt werden. Diskutiert werden zuerst Polynomfunktionen. Sie sind beliebt, um Punkte zu interpolieren. Anschließend werden rationale Funktionen definiert. Sie werden in der Regel- und Steuerungstechnik gebraucht, um übertragene Signale zu analysieren. Am Schluss des Kapitels werden die Exponential- und die Logarithmusfunktion vorgestellt. Mit diesen Funktionen modelliert man Wachstumsphänomene, dynamische Systeme, elektrische Netzwerke und Schwingungen.

Exponentielles Wachstum

Aufgaben

6.1

Pharmazeutische Produkte besitzen Dosierungsanweisungen für Erwachsene und Kinder. Wenn a die Dosierung (in Milligramm) für eine erwachsene Person ist und t das Alter (in Jahren) des Kindes bezeichnet, so gibt es zwei Umrechnungsformeln für die Dosierung $D=D(t)$ für ein Kind:

$$ \text{ Regel } \text{ von } \text{ Cowling: }\; D= a\cdot \frac{t+1\,\text {Jahr}}{24\,\text { Jahre}}\qquad \quad \text{ Regel } \text{ von } \text{ Friend: }\; D=a\cdot \frac{t}{12{,}5\,\text {Jahre}} $$

• (a) Visualisieren Sie die zwei Dosierungsarten für t zwischen 0 und 12 Jahren in einem (t, D)-Koordinatensystem, wenn $a= 100$ mg ist.

• (b) Für welches Alter empfehlen beide Formeln dieselbe Dosierung (exakte und grafisch approximative Lösung)?

6.2

Bestimmen Sie Gleichungen der Geraden mit den gegebenen Bedingungen:

• (a) Durch $A=(5\,|\,2)$ und $B=(-1\,|\,3)$

• (b) Durch $A=(4\,| \,-3)$ und Steigung $-3$

• (c) Durch $A=(12\,| \, -4)$ und parallel zur Geraden mit Gleichung $5x-2y=4$

• (d) Durch $A=(9\,|\,-2)$ und senkrecht zur Geraden mit Gleichung $2x-5y=8$

6.3

Bestimmen Sie das lineare Polynom $y=p_1(x)$, dessen Graph die Steigung 5 hat und durch den Punkt $(4\,| \, 2)$ geht. Geben Sie das Resultat in der Stützpunkt-Steigungsform an.

6.4

Gesucht ist ein Polynom $p_4$ mit Grad 4 mit Nullstellen $-2$, 0, 3, 6 (je einfach) und $p_4(1)=1$. Wie lautet die Gleichung des Polynoms? Zeichnen Sie anschließend mit MATLAB oder mit Julia den Graph des Polynoms.

6.5

Gesucht ist ein Polynom $p_5$ mit Grad 5 mit Nullstellen $-2$ (einfach), 3 (doppelt) und 6 (doppelt) und $p_5(2)=10$. Wie lautet die Gleichung des Polynoms?

6.6

Das Polynom p mit Funktionsgleichung $y=p(x)= -1 + 3x^2 +5x^3 +7x^4 + 4x^5$ besitzt die Nullstelle $x=-1$. Überprüfen Sie dies und bestimmen Sie das Polynom q(x) mit $p(x)=(x+1)\cdot q(x)$ durch Division.

6.7

Von einem Polynom mit Grad 3 kennt man die Nullstellen $x=1$, $x=2$ und $x=-5$. Weiter weiß man, dass der Graph des Polynoms durch den Punkt $(0\, | \,3)$ geht. Bestimmen Sie die Gleichung des Polynoms.

6.8

• (a) Bestimmen Sie mit MATLAB oder mit Julia das Interpolationspolynom mit Grad 5, das durch die Punkte (0/0), (1/1), (2/0), (3/1) , (4/0) und (5/1) geht. Zeichnen Sie die Punkte und den Graph des Polynoms.

• (b) Machen Sie das Analoge wie in Aufgabe (a) für ein Polynom mit Grad n durch die Punkte (0/0), (1/1), (2/0), ..., (n/1) mit $n = 7, 9, 11, 13, 15, 21, 31$. Was stellen Sie fest? Was ändert sich?

6.9

Bestimmen Sie mit MATLAB oder mit Julia ein Polynom, das die Nullstellen $-2$, 3, 15 und 25 hat. Zeichnen Sie den Graph des Polynoms. Können Sie auch andere Polynome mit verschiedenen Farben darstellen, die diese Nullstellen haben?

6.10

Ist v ein Vektor mit n Komponenten, dann ist poly(v) ein Polynom vom Grad n, das die Komponenten von v als Nullstellen hat. Damit müsste eigentlich roots(poly(v)) wieder v ergeben! Berechnen Sie dies, wenn der Vektor v

$$ \begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \vdots \\ 10\end{pmatrix} \quad \text {oder} \quad \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \vdots \\ 25\end{pmatrix} $$

ist. Kommentieren Sie die Resultate.

6.11

Bestimmen Sie die Nullstellen und Polstellen der rationalen Funktion

$$ Q(s) = \frac{s+1}{s^2-5\,s+6} $$

6.12

Wie lauten die Pole (mit Vielfachheiten) der folgenden rationalen Funktionen?

$$ \text {(a) } \quad Q_1(x) =\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x-6} \qquad \text {(b) } \quad Q_2(x) =\frac{ x^4-4x^2-5x -4}{x^3 -3,\!7x^2 -26,\!8x -30,\!8} $$

Benutzen Sie dazu MATLAB, Julia oder einen Taschenrechner.

6.13

Die komplexe Funktion mit Funktionsgleichung

$$ u = u(z) = \sqrt{\frac{1+0,\!5z}{1+2z}} $$

mit $z\ge 0$ kann durch Polynome oder rationale Funktionen approximiert werden:

$$\begin{aligned} \text {MacLaurin-Approximation: } \quad&u=u(z) \approx 1-0,\!75z + 39z^2/32\\ \text {Pad}\acute{\mathrm{e}}\text {-Approximation: } \quad&u=u(z) \approx \frac{1+7z/8}{1+13z/8} \end{aligned}$$

• (a) Zeichnen Sie mit MATLAB oder mit Julia die Graphen von $u=u(z)$ und ihre Approximationen für $0\le z \le 4$ und für $0\le z \le 100$.

• (b) Beantworten Sie mit der Grafik die Frage: Wie groß ist etwa der maximale relative Fehler (in %) der Padé-Approximation für $0\le z\le 4$?

6.14

Zeichnen Sie mit MATLAB oder mit Julia für x zwischen $-2$ und 5 den Graph der Funktion

$$ E_n(x) = \left( 1 + \frac{x}{n}\right) ^n $$

für $n=1$, 2, 3, 10, 100 und 10000. Mit zunehmendem n sollte die Exponentialfunktion $\exp (x)$ dabei immer besser approximiert werden. „Überprüfen“ Sie dies am Computer.

6.15

• (a) Berechnen Sie approximativ den Wert $\exp (3,\!2)$ mit der Formel

  $$ \exp (x) \approx \left( 1 + \frac{x}{n}\right) ^n $$

  indem Sie für n eine große Zahl einsetzen. Wie genau ist das Resultat?

• (b) Bestimmen Sie den Wert $\exp (3,\!2)$ mit Hilfe der Taylorreihe. Benutzen Sie dazu die ersten zehn Summanden der Reihe.

• (c) Sie wollen mit der Taylorreihe den Wert $\exp (0,\!8)$ auf fünf Stellen nach dem Komma bestimmen. Wie viele Summanden der Reihe benötigen Sie dazu?

6.16

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:

$$ \text {(a) } \; \exp (\ln (\exp (\ln (\exp (x))))) \quad \text {(b) } \; \ln \left( \text {e}^{\ln x}\right) \quad \text {(c) } \; a- \ln \left( \frac{\sqrt{c}}{b}\right) + \ln \left( \frac{c^2\text {e}^{-a}}{b}\right) $$

6.17

Der Parameter a hat Einheit J/s (Joule pro Sekunde). Welche Einheiten haben z und s in der Gleichung $z=\exp (a\cdot s)$? Welche Einheiten haben w und p in der Gleichung $w=a\cdot \log (p/a)$?

6.18

Lösen Sie die folgenden Gleichungen formal ohne Rechner und drücken Sie das Resultat mit Hilfe der Exponential- oder der Logarithmusfunktion aus:

$$ \text {(a) } \quad \text {e}^{x+3} = 5 \qquad \text {(b) } \quad \ln ( 3x^2) = -1 $$

6.19

Die Funktion

$$ \text {pdf}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\cdot \exp \left\{ -0,\!5 \cdot \left( \frac{x-\mu }{\sigma }\right) ^2 \right\} $$

mit festen Zahlen $\sigma >0$ und $\mu$ heißt die Dichtefunktion der Gauß’schen Normalverteilung. Sie spielt in der Statistik und in der Messtechnik eine zentrale Rolle.

• (a) Zeichnen Sie den Graph von pdf, wenn $\mu =0$ und $\sigma =3$ ist. Wählen Sie dabei x zwischen $-10$ und 10.

• (b) Versuchen Sie experimentell herauszufinden, welchen Einfluss $\mu$ und $\sigma$ auf den Graph von pdf haben. Können Sie $\mu$ oder $\sigma$ am Graph ablesen?

6.20

Die Funktion $y=y(x)$ mit $x>0$, gegeben durch

$$ y=y(x) =\frac{9,\!4767\cdot 10^{87}}{x^{29}}\cdot \exp (-13910,\!55/x) $$

wird in der Statistik benutzt (siehe [2]). Sie wird als inverse Gamma-Verteilung bezeichnet. Es ist nicht angezeigt, diese Funktion im Computer zu implementieren, da der Faktor $9,\!4767\cdot 10^{87}$ eine hohe Zahl ist und eine Potenz 29 in der Gleichung vorhanden ist. Wie lautet die im Computer einfacher zu handhabende logarithmierte Funktion $z=z(x) =\ln y$?

6.21

• (a) Schreiben Sie in möglichst einfacher Form die natürlichen Logarithmen der folgenden Ausdrücke:

  $$ x^3\cdot \text {e}^{-3x} \qquad A^{10}\cdot (1-A)^{15} \qquad 4\cdot \mu ^{-5}\cdot \exp (- (\mu -2)^2) \qquad \frac{\text {e}^y}{y} $$

  Alle hier vorkommenden Variablen sind dimensionslos.

• (b) Die Größen $L_1$, $L_2$, v und t haben die Einheiten Meter, Meter, Meter/Sekunde und Sekunde. Welche der folgenden Gleichungen oder Terme sind korrekt?

  $$ \exp \left( \frac{L_1+L_2}{L_2}\right) = \exp \left( \frac{L_1}{L_2}\right) \cdot \text {e}, \quad \ln \left( \frac{v\cdot t}{L_1}\right) = \ln v + \ln t -\ln L_1, \quad \exp (L_1 + v\cdot t) $$

6.22

• (a) Eine Größe $E_1$ ist fünfmal so groß wie $E_2$. Wie lautet das Verhältnis von $E_1$ zu $E_2$ in Dezibel?

• (b) Wievielmal größer muss $E_1$ als $E_2$ sein, damit das Verhältnis von $E_1$ zu $E_2$ ein Dezibel beträgt?

• (c) Wievielmal größer muss $E_1$ als $E_2$ sein, damit das Verhältnis von $E_1$ zu $E_2$ zwei Neper ist?

6.23

Von drei Zahlen kennt man den Logarithmus zur Basis zehn: $3,\!0$, $-2,\!0$ und $-5,\!0$. Benutzen Sie keinen Rechner, um zu sagen, wie die drei Zahlen lauten.