Vektoren und Programmieren von Schleifen

Zusammenfassung

Nicht alle messbaren Größen können ausschließlich mit Zahlen dargestellt werden. Vektorielle Größen, wie Kräfte und Geschwindigkeiten, sind nötig, um Bewegungen von Körpern zu modellieren. Aber auch zehn Messwerte können einfacher mit Vektoren, als mit einer Liste von 10 Variablen quantifiziert werden. Was Vektoren sind, wird in diesem Kapitel vorgestellt. Zudem wird erklärt, wie man Vektoren addiert, mit Zahlen multipliziert und Skalarprodukte bildet.

Mit Computern können repetitive Aufgaben durchgeführt werden. Man benutzt dazu Schleifen, die mit Hilfe von Vektoren indiziert werden können. Dies wird im letzten Abschnitt des Kapitels erläutert.

Mittelwert zweier Vektoren

Aufgaben

2.1

Erstellen Sie eine EXCEL-Datenblatt mit vier Spalten: WW, XX, YY und ZZ. Füllen Sie die vier Spalten jeweils mit fünf Zahlen.

• (a) Speichern Sie das Datenblatt als ein CSV-File. Lesen Sie das File mit MATLAB oder mit Julia ein.

• (b) Berechnen Sie die Vektoren $WW+ XX$, $XX.^2$, YY./ZZ, $3*ZZ - 4YY$, $WW.*ZZ$ und die Norm ||ZZ||.

2.2

Gegeben sind die fünf Vektoren

$$ \mathbf {a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \; \mathbf {b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}, \; \mathbf {c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -5\end{pmatrix}, \; \mathbf {d} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0\\ 3\end{pmatrix} \text { und } \mathbf {e} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Berechnen Sie, falls erlaubt, $3\cdot \mathbf {a}$, $-5\cdot \mathbf {b}$, $\mathbf {a}+\mathbf {b}$, $\mathbf {a}.^{-1}$, $2\mathbf {c}-4\mathbf {d}$, $\mathbf {e}.^2$, $\mathbf {b}+\mathbf {c}$, $4\mathbf {a} - 3\mathbf {e}$, $\mathbf {a}\,.*\,\mathbf {e}$ und $\mathbf {a}\,./\,\mathbf {e}$

2.3

• (a) Wie lauten die Komponenten des Vektors z, wenn Sie mit MATLAB oder mit Julia die Befehle

  

  eingeben? Kontrollieren Sie Ihr Resultat mit dem Computerresultat.

• (b) Man hat in MATLAB die Vektoren x = [26:29]’ und y = [10:-2:4]’ (bzw. in Julia x = collect(26:29) und y = collect(10:-2:4)). Was würde MATLAB oder Julia anzeigen, wenn Sie die folgenden Anweisungen eintippen:

  

  Kontrollieren Sie Ihr Resultat mit MATLAB oder mit Julia.

• (c) Beschreiben Sie die Wirkung der folgenden Anweisungen. Wenn Sie MATLAB benutzen:

  

  Wenn Sie Julia benutzen:

  

2.4

Es sei mit MATLAB a = [0:14]’ und b = [1:7 8 7:-1:1]’ (bzw. mit Julia a = collect(0:14) und b = [1:7; 8 ;7:-1:1]). Welche Anzeigen bewirken die folgenden MATLAB Anweisungen? Versuchen Sie das Resultat vorauszusagen, bevor Sie etwas eintippen.

Mit Julia lauten die entsprechenden Eingaben:

2.5

• (a) Erzeugen Sie die folgenden Vektoren mit MATLAB oder mit Julia:

  $$ \mathbf {a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \vdots \\ 19 \end{pmatrix}, \quad \mathbf {b} = \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \\ \vdots \\ -5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf {c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \\ \vdots \\ 100 \end{pmatrix} $$

  Der Tippaufwand soll möglichst klein sein (Tipp: Benutzen Sie dazu die Tab. 2.1 oder 2.2).

• (b) Erzeugen Sie die folgenden Vektoren mit MATLAB oder mit Julia:

  $$ \mathbf {x} = \begin{pmatrix}1 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \; \quad \mathbf {y} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \vdots \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf {z} = \begin{pmatrix} 2,\!3 \\ 2,\!5 \\ 2,\!7 \\ \vdots \\ 4,\!1 \end{pmatrix} $$

  Dabei besteht der Vektor $\mathbf {x}$ aus 20 Einern und 19 Nullen. Der Vektor $\mathbf {y}$ hat 15 Zweier.

2.6

• (a) Gegeben sind die Vektoren

  

  Welche Anzeigen bewirken die folgenden Anweisungen?

  

• (b) Gegeben sind die Vektoren

  

  Welche Anzeigen bewirken die folgenden Anweisungen?

  

• (c) Wie erzeugen Sie mit MATLAB oder mit Julia die folgenden drei Vektoren mit möglichst wenig Tippaufwand?

  $$ \mathbf {x} = \begin{pmatrix}1 \\ \vdots \\ 1 \\ 2 \\ \vdots \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf {y} = \begin{pmatrix}120 \\ 115 \\ 110 \\ \vdots \\ 55 \\ 50 \end{pmatrix}, \quad \mathbf {z} = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 2^2 \\ 3^2 \\ \vdots \\ 50^2 \end{pmatrix} $$

  Dabei besteht der Vektor $\mathbf {x}$ aus 10 Einern und 30 Zweiern.

2.7

• (a) Bestimmen Sie Zahlen s und t so, dass

  $$ s \begin{pmatrix} 3\\ -1 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\ -11 \end{pmatrix} $$

• (b) Stellen Sie den Vektor $\mathbf {w}$ mit Komponenten 40 und 55 als lineare Kombination des Vektors $\mathbf {u}$ – mit Komponenten 3 und 3 – und des Vektors $\mathbf {v}$ – mit Komponenten 1 und 2 – dar. Wie lauten die Koeffizienten der berechneten Linearkombination?

2.8

• (a) In diesem Kapitel wurden zwei verschiedene Arten der Multiplikation von Vektoren $\mathbf {a}$ und $\mathbf {b}$ eingeführt. Erklären Sie sie.

• (b) Gegeben sind die Vektoren

  $$ \mathbf {a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix} \text { und } \mathbf {b} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2\end{pmatrix}, $$

  Berechnen Sie $\mathbf {a}.*\mathbf {b}$ und $\mathbf {a}^T\cdot \mathbf {b}$. Sind die beiden Vektoren orthogonal? Bestimmen Sie die Normen der beiden Vektoren.

2.9

Bestimmen Sie alle Werte c so, dass die Vektoren

$$ \mathbf {x}=\begin{pmatrix} c \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \text { und }\mathbf {y}= \begin{pmatrix} c \\ c \\ -5 \end{pmatrix} $$

orthogonal sind. Berechnen Sie anschließend die Normen von $\mathbf {x}$ und $\mathbf {y}$.

2.10

Gegeben ist der Vektor $\mathbf {a}$ mit den zwei Komponenten 5 und 7. Bestimmen Sie Vektoren, die orthogonal zum Vektor $\mathbf {a}$ sind.

2.11

• (a) Bestimmen Sie den Einheitsvektor $\mathbf {e}$, der proportional zu Vektor $\mathbf {b}$ mit Komponenten $-1$, $-2$ und 5 ist.

• (b) Berechnen Sie die Komponenten des Einheitsvektors $\mathbf {a}$, der proportional zum Vektor $4\mathbf {e}_1 - 3\mathbf {e}_2$ ist.

2.12

Bestimmen Sie drei paarweise orthogonale Vektoren, die nicht null sind und Größe drei haben.

2.13

• (a) Zeigen Sie, dass die Vektoren

  $$ \mathbf {u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \text { und } \quad \mathbf {v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix} $$

  orthogonal sind.

• (b) Wegen (a) kann man den Vektor $\mathbf {d}$ mit den zwei Komponenten 15 und 35 als lineare Kombination der Vektoren $\mathbf {u}$ und $\mathbf {v}$ schreiben: $\mathbf {d} = x_1\cdot \mathbf {u} + x_2\cdot \mathbf {v}$. Bestimmen Sie die Koeffizienten $x_1$ und $x_2$ der linearen Kombination.

2.14

• (a) Zeigen Sie, dass die vier Vektoren

  $$ \mathbf {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf {b} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf {c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text { und } \quad \mathbf {d} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

  paarweise orthogonal sind.

• (b) Wegen (a) kann man den Vektor $\mathbf {z}$ mit den vier Komponenten 20, 10, 0 und $-10$ als lineare Kombination der Vektoren $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$, $\mathbf {c}$ und $\mathbf {d}$ schreiben: $\mathbf {z} = x_1\cdot \mathbf {a} + x_2\cdot \mathbf {b} + x_3\cdot \mathbf {c} + x_4\cdot \mathbf {d}$. Bestimmen Sie die Koeffizienten $x_1$ bis $x_4$ der linearen Kombination.

2.15

• (a) Programmieren Sie mit MATLAB oder mit Julia eine for-Schleife, um die Summe $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 +\dots + 200^3$ zu berechnen.

• (b) Machen Sie das Analoge für die Summe $2^3 + 4^3 + 6^3 + 8^3 +\dots + 200^3$.

• (c) Programmieren Sie eine for-Schleife, um die Summe $2^3 + 5^3 + 8^3 + 11^3 +\dots + 3002^3$ zu bestimmen.

2.16

• (a) Bestimmen Sie mit MATLAB oder mit Julia und einer for-Schleife die Zahl $a_{50}$, wenn

  $$ a_1 =1, \quad a_2 = 2\cdot a_1 +1, \quad a_3 = 2\cdot a_2 +1, \quad a_4 = 2\cdot a_3 +1, \quad \dots $$

• (b) Bestimmen Sie mit MATLAB oder mit Julia und einer while-Schleife den ersten in (a) definierten Term $a_n$, der größer als 10 000 ist.

2.17

Programmieren Sie mit MATLAB oder mit Julia eine for-Schleife, um die folgende Summe zu berechnen:

$$ 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} +\dots + \frac{1}{1001} $$

2.18

Schreiben Sie die folgenden endlichen Summen in der Summennotation. Prüfen Sie, ob die Anfangs- und die Endwerte richtig gewählt sind.

$$ 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{100} \qquad 1+ 3 + 5 + 7 + \cdots + 101 \qquad 1+ x^2 + x^4 + x^6 + \cdots + x^{56} $$

2.19

Schreiben Sie die endliche Summe $1^4 + 2^4 + \dots + 50^4$ mit der Summennotation so, dass der Summationsindex (a) mit 3 beginnt, (b) mit $-2$ beginnt oder (c) mit 59 endet.