Über die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen

Zusammenfassung

Bis hierhin haben wir Begriffe wie Minimalpolynom, galoissche Konjugiertheit und galoissche Gruppe für Polynome mit rationalen Koeffizienten verwendet. Es zeigt sich, dass die Theorie viel mächtiger wird, wenn wir als Koeffizientenbereich auch Erweiterungen der rationalen Zahlen betrachten. Wir nennen diese Sichtweise die relative, während wir die Betrachtung über den rationalen Zahlen als die absolute bezeichnen. Beispielsweise ist $X^4 - 2$ das Minimalpolynom einer vierten Wurzel $\root 4 \of {2}$ aus 2 über den rationalen Zahlen. Dagegen ist $X^2 - \sqrt{2}$ das Minimalpolynom der gleichen algebraischen Zahl, diesmal aber über dem Koeffizientenbereich $\mathbf {Q}(\sqrt{2})$ aller algebraischen Zahlen, welche rational in $\sqrt{2}$ sind. Entsprechend ist der Grad von $\root 4 \of {2}$ über $\mathbf {Q}$ gerade 4, über $\mathbf {Q}(\sqrt{2})$ aber nur noch 2. Ebenso wie der Grad sinkt, gibt es umso weniger galoissch Konjugierte, und die galoissche Gruppe wird umso kleiner, je größer wir den Koeffizientenbereich wählen. Wir können damit den absoluten Fall über den rationalen Zahlen verstehen. Zunächst schauen wir uns den relativen Fall über geeigneten Erweiterungen des Koeffizientenbereiches an. Danach machen wir den Koeffizientenbereich sukzessive kleiner, sodass z. B. die galoissche Gruppe sukzessive größer wird, bis wir im Limes die galoissche Gruppe über den rationalen Zahlen gefunden haben. Erweiterungen des Koeffizientenbereiches entsprechen genau genommen Untergruppen der galoisschen Gruppe, und zwar können wir eine exakte bijektive Korrespondenz in Form des Hauptsatzes der galoisschen Theorie angeben. Mit Hilfe dieses Hauptsatzes führen wir schwierige Fragestellungen wie die der Auflösbarkeit von Gleichungen auf einfachere Fragestellungen über endliche Gruppen zurück. Nachdem wir vorher zeigen, dass die Nullstellen der Kreisteilungspolynome (und damit die Ecken eines gleichseitigen n-Ecks) durch Wurzelausdrücke gegeben sind, können wir damit das Resultat von Galois folgern, eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit von Gleichungen. Dabei zeigt sich, dass es weder allgemeine noch spezielle Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad fünf oder höher gibt. Am Ende des Kapitels leiten wir mit der gleichen Theorie die seit Beginn der Neuzeit bekannten Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad drei und vier ab.

Manchmal erhellt das Einnehmen eines relativen Standpunktes auch die Sichtweise auf den absoluten.

Appendices

Zusammenfassung

• Galoissche Gruppen von Nullstellen von Polynomen können wir auch über Erweiterungen E von Koeffizientenbereichen betrachten. Je größer die Erweiterung, desto kleiner die zugehörige Gruppe.

• Umgekehrt gehört zu jeder Untergruppe einer galoisschen Gruppe eine Erweiterung des Koeffizientenbereiches, welcher gerade aus den Zahlen besteht, welche invariant unter der Wirkung der Elemente der Untergruppe sind.

• Der Hauptsatz der galoisschen Theorie postuliert eine inklusionsumkehrende Bijektion zwischen den Untergruppen einer galoisschen Gruppe und den (Zwischen-)Erweiterungen.

• Eine algebraische Zahl heißt durch Wurzeln darstellbar, wenn sie bis auf galoissche Konjugiertheit eindeutig durch Summen, Produkte und Ziehen von Wurzeln dargestellt werden kann.

• Die primitiven Einheitswurzeln, also die Nullstellen der Kreisteilungspolynome besitzen eine explizite Darstellung durch Wurzeln.

• Eine Gruppe heißt auflösbar, wenn sie als aufsteigende Folge von Untergruppen gegeben ist, wobei jede Untergruppe jeweils vom Primindex in der nächsten liegt.

• Ist ein Polynom auflösbar, sind die Nullstellen eines Polynoms simultan durch Wurzeln darstellbar, so ist die zugehörige galoissche Gruppe auflösbar. Der Beweis nutzt aus, dass die primitiven Einheitswurzeln durch Wurzeln darstellbar sind.

• Die symmetrischen Gruppen $\mathrm {S}_n$ mit $n \ge 5$ sind nicht auflösbar. Es gibt ein Polynom vom Grade 5 über den rationalen Zahlen, dessen galoissche Gruppe $\mathrm {S}_5$ ist. Damit gibt es unauflösbare Polynomgleichungen.

• Ist eine galoissche Gruppe der Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$ eines Polynoms auflösbar, so lassen sich aus der zugehörigen Folge von Untergruppen Wurzelausdrücke für $x_1$, ..., $x_n$ konstruieren. Damit ist ein Polynom genau dann auflösbar, wenn seine galoissche Gruppe auflösbar ist.

• Die galoisschen Gruppen von Polynomen vom Grad 4 oder weniger sind auflösbar. Damit existieren Lösungsformeln für Polynomgleichungen vom Grad 4 oder weniger.

Aufgaben

Relative galoissche Gruppen

6.1

Zeige, dass $\sqrt{2} + \sqrt{7}$ und $- \sqrt{2} - \sqrt{7}$ über den rationalen Zahlen galoissch konjugiert sind, aber nicht über $\sqrt{7}$.

6.2

Sei $K$ ein Koeffizientenbereich. Zeige, dass die Äquivalenz von Folgen algebraischer Zahlen $y_1$, ..., $y_n$ und $z_1$, ..., $z_m$ über $K$ in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.

6.3

Sei $t \in \mathbf {Q}(\sqrt{2})$. Zeige, dass $t$ entweder eine rationale Zahl ist oder dass $\mathbf {Q}(t) = \mathbf {Q}(\sqrt{2})$. Folgere, dass $\mathbf {Q}(\sqrt{2})$ über den rationalen Zahlen keine echte Zwischenerweiterung besitzt.

6.4

Seien $K$ und $L$ zwei Koeffizientenbereiche, sodass $K$ eine Zwischenerweiterung von $L$ ist. Sei $x$ eine algebraische Zahl. Zeige, dass ein galoissch Konjugiertes von $x$ über $L$ auch ein galoissch Konjugiertes von $x$ über $K$ ist.

6.5

Sei $f(X)$ ein normiertes separables Polynom über einem Koeffizientenbereich $K$, und seien $x_1$, ..., $x_n$ seine Nullstellen. Sei $y$ eine Zahl aus $K(x_1, \dotsc , x_n)$. Zeige, dass die galoissche Gruppe $H$ von $x_1$, ..., $x_n$ über $K(y)$ aus denjenigen Permutationen $\sigma$ der galoisschen Gruppe $G$ von $x_1$, ..., $x_n$ über $K$ besteht, unter welchen $y$ invariant bleibt, das heißt, für die $\sigma \cdot y = y$ gilt.

6.6

Seien $f(X)$ und $g(X)$ zwei verschiedene normierte irreduzible Polynome über einem Koeffizientenbereich $K$. Sei $y$ eine Nullstelle von $g(X)$. Seien $x_1$ und $x_2$ zwei Nullstellen von $f(X)$. Zeige, dass $x_1$ und $x_2$ genau dann über $K(y)$ galoissch konjugiert sind, wenn eine Permutation $\sigma$ der galoisschen Gruppe der Nullstellen von $f(X) \cdot g(X)$ über $K$ existiert, sodass $\sigma \cdot x_1 = x_2$ und $\sigma \cdot y = y$.

6.7

Seien $f(X)$ und $g(X)$ zwei verschiedene normierte irreduzible Polynome über einem Koeffizientenbereich $K$. Sei $x$ eine Nullstelle von $f(X)$ und $y$ eine Nullstelle von $g(X)$. Sei weiter $\sigma$ eine Permutation der galoisschen Gruppe $G$ der Nullstellen von $f(X) \cdot g(X)$ über $K$. Sei $\tilde{f}(X)$ das Minimalpolynom von $\sigma \cdot x$ über $K(y)$, und sei $\tilde{g}(X)$ das Minimalpolynom von $\sigma ^{-1} \cdot y$ über $K(x)$. Seien $N$ der Anteil derjenigen Permutationen $\tau$ aus $G$, sodass $\tau \cdot x$ eine Nullstelle von $\tilde{f}(X)$ ist und $M$ der Anteil derjenigen Permutationen $\tau$ aus $G$, sodass $\tau \cdot y$ eine Nullstelle von $\tilde{g}(X)$ ist.

Zeige, dass

$$\begin{aligned} \frac{\deg \tilde{f}}{\deg f} = N = M = \frac{\deg \tilde{g}}{\deg g}. \end{aligned}$$

6.8

Seien $f(X)$ und $g(X)$ zwei verschiedene normierte irreduzible Polynome über einem Koeffizientenbereich $K$. Sei $x$ eine Nullstelle von $f(X)$ und $y$ eine Nullstelle von $g(X)$. Sei $f(X) = f_1(X) \cdots f_n(X)$ die Zerlegung von $f(X)$ in irreduzible Faktoren über $K(y)$, und sei $g(X) = g_1(X) \cdots g_m(X)$ die Zerlegung von $g(X)$ in irreduzible Faktoren über $K(x)$. Zeige, dass dann $m = n$ gilt und dass wir die Faktoren so anordnen können, dass das Verhältnis $\frac{\deg f_k(X)}{\deg g_k(X)}$ für alle $k \in \left\{ 1, \dotsc , n \right\}$ konstant ist.

(Diese Aussage ist der sogenannte dedekindsche$^{4}$ Reziprozitätssatz der galoisschen Theorie.)

Der Hauptsatz der galoisschen Theorie

6.9

Seien $x_1$, ..., $x_n$ die Nullstellen eines separablen Polynoms mit rationalen Koeffizienten und $G$ ihre galoissche Gruppe. Seien $\sigma$ und $\tau$ zwei Symmetrien in $G$. Sei weiter $t$ eine in $x_1$, ..., $x_n$ rationale Zahl, welche unter $\sigma$ und $\tau$ invariant ist. Zeige, dass $t$ auch unter ${{\,\mathrm{id}\,}}$, $\tau \circ \sigma$ und $\sigma ^{-1}$ invariant ist.

6.10

Im Folgenden kürzen wir einen Variablensatz der Form $X_1, \dotsc , X_n$ mit $\underline{X}$ ab. Entsprechend steht zum Beispiel $\underline{Y}$ für $Y_1, \dotsc , Y_n$ oder $\underline{X}_i$ für $X_{1i}, \dotsc , X_{ni}$. Wir nennen ein Polynom

$$\begin{aligned} f(\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m) \end{aligned}$$

mit ganzzahligen Koeffizienten symmetrisch in $\underline{X}_1$, ..., $\underline{X}_m$, falls für jede $m$-stellige Permutation $\sigma$ gilt, dass

$$\begin{aligned} \sigma \cdot f(\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m) :=f(\underline{X}_{\sigma (1)}, \dotsc , \underline{X}_{\sigma (m)}) = f(\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m). \end{aligned}$$

Seien die Polynome

$$\begin{aligned} e_\lambda (\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m) \in \mathbf {Z}[\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m] \end{aligned}$$

diejenigen Polynome, sodass die Gleichheit

$$\begin{aligned} \sum _{k_1 + \cdots + k_n \le m} e_{(k_1, \dotsc , k_n)}(\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m) \cdot T_1^{k_1} \cdots T_n^{k_n} = \prod _{j = 1}^m (1 + X_{1j} T_1 + \cdots + X_{nj} T_n) \end{aligned}$$

in $\mathbf {Z}[\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m, \underline{T}]$ gilt, wobei die Summe über alle Tupel $\lambda = (k_1, \dotsc , k_n)$ natürlicher Zahlen mit $k_1 + \dotsc + k_n \le m$ geht. Zeige, dass die $e_\lambda (\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m)$ jeweils symmetrisch in $\underline{X}_1$, ..., $\underline{X}_m$ sind. Diese Polynome heißen mac mahonsche$^{5}$ verallgemeinerte symmetrische Funktionen.

6.11

Sei $g(\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m)$ ein in $\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m$ symmetrisches Polynom mit ganzzahligen (oder rationalen oder algebraischen) Koeffizienten. Zeige analog zum Hauptsatz über die elementarsymmetrischen Funktionen, dass $g(\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m)$ dann als Polynom in den mac mahonschen verallgemeinerten symmetrischen Funktionen $e_\lambda (\underline{X}_1, \dotsc , \underline{X}_m)$ mit ganzzahligen (oder rationalen oder algebraischen) Koeffizienten geschrieben werden kann.

6.12

Sei $K$ ein Koeffizientenbereich. Seien $x_1$, ..., $x_n$ die Nullstellen eines separablen Polynoms $f(X)$ über $K$. Sei $H = \left\{ \sigma _1, \dotsc , \sigma _m \right\}$ eine Untergruppe der galoisschen Gruppe $G$ von $x_1$, ..., $x_n$ über $K$. Zeige, dass dann

$$\begin{aligned} K(x_1, \dotsc , x_n)^H = K(e_\lambda (\sigma _1 \cdot \underline{x}, \dotsc , \sigma _m \cdot \underline{x})), \end{aligned}$$

wobei $\lambda$ über alle Tupel $(k_1, \dotsc , k_n)$ natürlicher Zahlen mit $k_1 + \cdots + k_n \le m$ läuft.

6.13

Bestimme die galoissche Gruppe der Nullstellen $x_1$, ..., $x_4$ des Polynoms $X^4 + 1$ über den rationalen Zahlen, ihre Untergruppen und die diesen Untergruppen gemäß Theorem 6.1 entsprechenden Zwischenerweiterungen von $\mathbf {Q}(x_1, \dotsc , x_4)$ über $\mathbf {Q}$.

6.14

Bestimme die galoissche Gruppe über den rationalen Zahlen der Nullstellen $x_1$, ..., $x_6$ des Polynoms $X^6 - 2 X^3 - 1$ über den rationalen Zahlen, ihre Untergruppen und die diesen Untergruppen gemäß Theorem 6.1 entsprechenden Zwischenerweiterungen von $\mathbf {Q}(x_1, \dotsc , x_6)$ über $\mathbf {Q}$.

6.15

Bestimme explizit alle Untergruppen der Dieder-Gruppe $\mathrm {D}_4$ und veranschauliche sie nach Möglichkeit am Quadrat im Raume.

6.16

Bestimme explizit die Symmetriegruppe eines ebenen regelmäßigen $n$-Ecks im Raume, die sogenannte Dieder-Gruppe $\mathrm {D}_n$. Zeige, dass diese von zwei Elementen erzeugt werden kann und insgesamt $2n$ Elemente besitzt.

Algebraisch eindeutige Wurzeln

6.17

Gib einen Koeffizientenbereich an, in dem $7$ keine algebraisch eindeutige $5$-te Wurzel besitzt und in dem $X^5 - 7$ nicht in Linearfaktoren zerfällt.

6.18

Gib einen Koeffizientenbereich an, in dem $7$ keine algebraisch eindeutige $5$-te Wurzel besitzt und in dem $X^5 - 7$ in Linearfaktoren zerfällt.

6.19

Sei $p$ eine Primzahl. Sei weiter $a$ eine Zahl aus einem Koeffizientenbereich $K$. Zeige, dass $X^p - a$ entweder über $K$ irreduzibel ist oder dass in der Primfaktorzerlegung von $X^p - a$ über $K$ mindestens ein Linearfaktor vorkommt.

6.20

Gib ein Beispiel dafür an, dass Lemma 6.2 falsch wird, wenn wir nicht annehmen, dass $p$ eine Primzahl ist.

6.21

Sei $p$ eine Primzahl. Sei $b$ eine Zahl aus einem Koeffizientenbereich $K$. Zeige, dass in $K$ genau dann eine primitive $p$-te Einheitswurzel liegt, wenn das Polynom $X^p - b^p$ über $K$ in Linearfaktoren zerfällt.

Wurzeldarstellungen der primitiven Einheitswurzeln

6.22

Seien $x_1$, ..., $x_4$ wie bei der Herleitung der Formel (6.7). Zeige, dass $x_2^2 = 5$ und $x_3^4 = -20 \sqrt{-1} - 15$ gilt. Warum ist es problematisch, eine fünfte primitive Einheitswurzel durch den Wurzelausdruck

$$\begin{aligned} \frac{1}{4} \left( -1 + \root 4 \of {20 \sqrt{-1} - 15} + \sqrt{5} + \root 4 \of {-20 \sqrt{-1} - 15}\right) \end{aligned}$$

anzugeben?

6.23

Erfülle die Folge der algebraischen Zahlen $z_1$, ..., $z_n$ die Gleichungen

$$\begin{aligned} z_1^5&= 2,&z_2^3&= z_1^2 - 2 z_1 + 4,&z_3^2 = z_2^2 - z_1^2 z_2 + 7. \end{aligned}$$

Gib einen Wurzelausdruck in der Form von (6.8) für $x$ an.

6.24

Sei $K$ ein Koeffizientenbereich. Seien $z_1$, ..., $z_n$ algebraische Zahlen und $f_1(X)$, $f_2(X, Z_1)$, $f_3(X, Z_1, Z_2)$, ..., $f_n(X, Z_1, \dotsc , Z_{n - 1})$ Polynome über $K$, sodass für alle $i \in \left\{ 1, \dotsc , n \right\}$ das Polynom $f_i(X, z_1, \dotsc , z_{i - 1})$ das Minimalpolynom von $z_i$ über $K(z_1, \dotsc , z_{i - 1})$ ist. Sei schließlich $x :=g(z_1, \dotsc , z_n)$, wobei $g(Z_1, \dotsc , Z_n)$ ein Polynom über $K$ ist. Zeige, dass $x$ bis auf galoissche Konjugation über $K$ nur von den Polynomen $f_1$, ..., $f_n$ und $g(Z_1, \dotsc , Z_n)$ abhängt.

6.25

Sei $x$ durch Wurzeln ausdrückbar. Sei $x'$ galoissch konjugiert zu $x$. Zeige, dass $x'$ ebenfalls durch Wurzeln ausdrückbar ist, und zwar durch denselben Wurzelausdruck wie $x$.

6.26

Sei $x$ eine algebraische Zahl, deren galoissch Konjugierte durch $x_1 = x$, $x_2$, ..., $x_n$ gegeben sind. Zeige, dass $x$ genau dann konstruierbar ist, wenn der Grad eines zu $x_1$, ..., $x_n$ primitiven Elementes über den rationalen Zahlen durch eine Zweierpotenz gegeben ist.

6.27

Sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Zeige, dass eine primitive $n$-te Einheitswurzel durch Wurzeln ausgedrückt werden kann, deren Exponenten höchstens das Maximum von $2$ und $\frac{n - 1}{2}$ sind.

6.28

Sei $p$ eine Primzahl. Sei $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel, und sei $\theta$ eine primitive $(p - 1)$-te Einheitswurzel. Zeige, dass $\zeta \theta$ eine primitive $(p \, (p - 1))$-te Einheitswurzel ist.

6.29

Sei $p$ eine Primzahl. Sei $\zeta$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel, und sei $\theta$ eine primitive $(p - 1)$-te Einheitswurzel. Sei $g$ eine primitive Wurzel modulo $g$. Dann setzen wir

$$\begin{aligned} x_i :=\zeta + \theta ^i \zeta ^g + \cdots + \theta ^{(p - 2) i} \zeta ^{g^{p - 2}} \end{aligned}$$

(6.18)

für alle $i \in \left\{ 0, \dotsc , p - 2 \right\}$. Sei $d \in \left\{ 1, \dots , p - 2 \right\}$. Zeige, dass

$$\begin{aligned} \zeta ^d = \frac{1}{p - 1} \left( \sum _{i = 0}^{p - 2} \theta ^{-ji} x_i\right) , \end{aligned}$$

wenn $j$ eine ganze Zahl mit $g^j \equiv d$ modulo $p$ ist.

6.30

Gib einen Wurzelausdruck für eine primitive siebte Einheitswurzel an.

Nichtauflösbare galoissche Gruppen

6.31

Sei $f(X)$ ein normiertes irreduzibles Polynom mit rationalen Koeffizienten. Sei eine der Nullstellen $x$ von $f(X)$ durch Wurzeln ausdrückbar. Zeige, dass $f(X)$ dann schon auflösbar ist.

6.32

Sei $K$ ein Koeffizientenbereich vom Grad $2$ über den rationalen Zahlen. Zeige, dass $K$ eine Radikalerweiterung mit Exponenten $2$ ist.

6.33

Gib ein Beispiel für ein normiertes separables Polynom $f(X)$ über den rationalen Zahlen an, sodass die galoissche Gruppe der Nullstellen von $f(X)$ über $\mathbf {Q}(\root 3 \of {2})$ gleich der galoisschen Gruppe der Nullstellen von $f(X)$ über den rationalen Zahlen ist.

6.34

Gib ein Beispiel für ein normiertes separables Polynom $f(X)$ über den rationalen Zahlen an, sodass die galoissche Gruppe der Nullstellen von $f(X)$ über $\mathbf {Q}(\root 3 \of {2})$ eine Untergruppe vom Index $3$ in der galoisschen Gruppe der Nullstellen von $f(X)$ über den rationalen Zahlen ist. (Ist diese Untergruppe ein Normalteiler?)

6.35

Zeige, dass jede nichttriviale Gruppe mindestens zwei Normalteiler besitzt.

6.36

Zeige, dass das Zentrum einer Gruppe $G$ ein Normalteiler in derselben ist.

6.37

Zeige, dass die Dieder-Gruppe $\mathrm {D}_4$ eine Untergruppe, aber kein Normalteiler vom Index $3$ in der symmetrischen Gruppe $\mathrm {S}_4$ ist.

6.38

Sei $N$ ein Normalteiler der Ordnung zwei in einer Gruppe $G$. Zeige, dass $N$ im Zentrum von $G$ liegt.

6.39

Sei $N$ ein Normalteiler in einer Gruppe $G$. Sei $H$ eine weitere Untergruppe von $G$. Sei die Ordnung von $H$ teilerfremd zum Index von $N$ in $G$. Zeige, dass dann $H$ in $N$ enthalten ist.

6.40

Seien $x_1$, ..., $x_n$ die Nullstellen eines normierten separablen Polynoms über einem Koeffizientenbereich $K$. Sei $g(X)$ ein weiteres normiertes separables Polynom über $K$, dessen gesamte Nullstellen $y_1$, ..., $y_m$ schon in $K(x_1, \dotsc , x_n)$ liegen. Zeige, dass die galoissche Gruppe $N$ von $x_1, \dotsc , x_n$ über $K(y_1, \dots , y_m)$ ein Normalteiler in der galoisschen Gruppe $G$ von $x_1$, ..., $x_n$ über $K$ ist.

6.41

Sei $p$ eine Primzahl. Sei $f(X)$ ein normiertes irreduzibles Polynom über einem Koeffizientenbereiche $K$, welcher eine primitive $p$-te Einheitswurzel enthalte. Sei $L$ über $K$ eine Radikalerweiterung vom Exponenten $p$. Habe die galoissche Gruppe der Nullstellen von $f(X)$ über $K$ die Ordnung $p$. Zeige, dass entweder $f(X)$ über $L$ irreduzibel ist oder dass $f(X)$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt.

Eine nichtauflösbare Gleichung fünften Grades

6.42

Wo haben wir im Beweis von Lemma 6.9 benutzt, dass $n \ge 5$?

6.43

Ist die symmetrische Gruppe $\mathrm {S}_5$ in fünf Ziffern einfach?

6.44

Zeige, dass die Gleichung $X^5 - 23 X + 1 = 0$ über den rationalen Zahlen nichtauflösbar ist.

6.45

Sei $p$ eine Primzahl. Zeige, dass für alle positiven natürlichen Zahlen $k$ die Gleichung $X^5 - k p X + p = 0$ nichtauflösbar ist.

6.46

Zeige, dass es für jede natürliche Zahl $n$ mit $n \ge 5$ ein normiertes separables Polynom vom Grade $n$ über den rationalen Zahlen gibt, welches nichtauflösbar ist.

6.47

Gib ein Beispiel für ein normiertes irreduzibles Polynom $f(X)$ fünften Grades über den rationalen Zahlen an, sodass die Gleichung $f(X) = 0$ auflösbar ist.

6.48

Gib ein Beispiel dafür an, warum Lemma 6.12 falsch wird, wenn $p$ nicht als Primzahl vorausgesetzt wird.

6.49

Sei $p$ eine Primzahl. Sei $G$ eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $\mathrm {S}_p$ in $p$-Ziffern. Enthalte $G$ einen $p$-Zykel und eine Transposition. Zeige, dass $G$ schon die volle symmetrische Gruppe $\mathrm {S}_p$ ist.

6.50

Sei $f(X)$ ein normiertes separables Polynom mit rationalen Koeffizienten, welches mindestens eine nichtreelle Nullstelle besitzt. Zeige, dass die galoissche Gruppe der Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$ von $f(X)$ mindestens ein Element der Ordnung $2$ besitzt.

6.51

Sei $f(X)$ ein normiertes irreduzibles Polynom vom Grade einer Primzahl $p$ über einem Koeffizientenbereiche $K$. Sei $f(X)$ über $K$ auflösbar. Zeige, dass dann die Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$ von $f(X)$ derart angeordnet werden können, sodass für jedes Element $\sigma$ der galoisschen Gruppe von $x_1$, ..., $x_n$ über $K$ ganze Zahlen $r$ und $s$ existieren, sodass $\sigma (i) \equiv r \cdot i + s$ modulo $p$ für alle $i \in \left\{ 1, \dotsc , p \right\}$ gilt.

Über auflösbare Gleichungen

6.52

Sei $G$ eine zyklische Gruppe. Sei $H$ eine Untergruppe von $G$. Zeige, dass $H$ ein Normalteiler von $G$ ist.

6.53

Zeige, dass jede zyklische Gruppe auflösbar ist.

6.54

Sei die galoissche Gruppe der Nullstellen $x_1$, ..., $x_n$ eines Polynoms $f(X)$ über einem Koeffizientenbereich $K$ eine zyklische Gruppe. Zeige, dass die Gleichung $f(X) = 0$ auflösbar ist.

6.55

Sei $f(X)$ ein normiertes irreduzibles Polynom vom Grade einer Primzahl $p$ über einem Koeffizientenbereiche $K$. Seien alle Nullstellen von $f(X)$ rational in einer der Nullstellen von $f(X)$ über $K$ ausdrückbar. Zeige, dass die galoissche Gruppe der Nullstellen von $f(X)$ zyklisch ist, und folgere, dass die Gleichung $f(X) = 0$ damit auflösbar ist.

Die cardanischen Formeln

6.56

Zeige, dass alle Elemente der kleinschen Vierergruppe die Ordnung $1$ oder $2$ haben.

6.57

Ist die alternierende Gruppe $\mathrm {A}_4$ auflösbar?

6.58

Sei $H$ eine Untergruppe einer Gruppe $G$. Sei weiter $N$ ein Normalteiler von $H$. Ist $N$ dann auch ein Normalteiler von $G$?

6.59

Warum kommt es bei der Lösungsformel aus Theorem 6.7 auf die Reihenfolge der drei Lösungen $y_1$, $y_2$ und $y_3$ der kubischen Resolvente nicht an?

6.60

Sei $f(X)$ ein normiertes reduziertes (das heißt keinen kubischen Term besitzendes) Polynom vierten Grades über einem Koeffizientenbereich $K$. Sei $g(X)$ seine kubische Resolvente. Zeige, dass die Diskriminante von $f(X)$ gleich der Diskriminante von $g(X)$ ist.

6.61

Sei $f(X) = X^4 + p X^2 + q X + r$ ein normiertes (reduziertes) Polynom vierten Grades über einem Koeffizientenbereich $K$. Zeige, dass seine Diskriminante durch

$$\begin{aligned} \Delta = 256 r^3 - 128 p^2 r^2 - 27 q^4 - 4 p^3 q^2 + 16 p^4 r + 144 p q^2 r \end{aligned}$$

gegeben ist.

6.62

Seien $x_1$, ..., $x_4$ die Lösungen einer reduzierten quartischen Gleichung über einem Koeffizientenbereiche $K$. Sei $G$ die galoissche Gruppe von $x_1$, ..., $x_4$ über $K$. Sei weiter $H$ die galoissche Gruppe der Lösungen $y_1$, $y_2$, $y_3$ der kubischen Resolventengleichung der quartischen Gleichung. Zeige, dass $[H : 1] = [G : G \cap \mathrm {V}_4]$.

6.63

Gib einen Wurzelausdruck für die Lösungen der kubischen Gleichung

$$\begin{aligned} X^3 + 2 X^2 - 10 X - 20 = 0 \end{aligned}$$

an.

Anmerkungen

• 1. Damit ist gemeint, dass wir bei gegebenem Polynom $X^p - a$ (konstruktiv) entscheiden können, ob es irreduzibel ist oder nicht.

• 2. Michel Rolle, 1652–1719, französischer Mathematiker.

• 3. Felix Christian Klein, 1849–1925, deutscher Mathematiker.

• 4. Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831–1916, deutscher Mathematiker.

• 5. Percy Alexander Mac Mahon, 1854–1929, britischer Mathematiker.