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Über die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen

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Zusammenfassung

Bis hierhin haben wir Begriffe wie Minimalpolynom, galoissche Konjugiertheit und galoissche Gruppe für Polynome mit rationalen Koeffizienten verwendet. Es zeigt sich, dass die Theorie viel mächtiger wird, wenn wir als Koeffizientenbereich auch Erweiterungen der rationalen Zahlen betrachten. Wir nennen diese Sichtweise die relative, während wir die Betrachtung über den rationalen Zahlen als die absolute bezeichnen. Beispielsweise ist \(X^4 - 2\) das Minimalpolynom einer vierten Wurzel \(\root 4 \of {2}\) aus 2 über den rationalen Zahlen. Dagegen ist \(X^2 - \sqrt{2}\) das Minimalpolynom der gleichen algebraischen Zahl, diesmal aber über dem Koeffizientenbereich \(\mathbf {Q}(\sqrt{2})\) aller algebraischen Zahlen, welche rational in \(\sqrt{2}\) sind. Entsprechend ist der Grad von \(\root 4 \of {2}\) über \(\mathbf {Q}\) gerade 4, über \(\mathbf {Q}(\sqrt{2})\) aber nur noch 2. Ebenso wie der Grad sinkt, gibt es umso weniger galoissch Konjugierte, und die galoissche Gruppe wird umso kleiner, je größer wir den Koeffizientenbereich wählen. Wir können damit den absoluten Fall über den rationalen Zahlen verstehen. Zunächst schauen wir uns den relativen Fall über geeigneten Erweiterungen des Koeffizientenbereiches an. Danach machen wir den Koeffizientenbereich sukzessive kleiner, sodass z. B. die galoissche Gruppe sukzessive größer wird, bis wir im Limes die galoissche Gruppe über den rationalen Zahlen gefunden haben. Erweiterungen des Koeffizientenbereiches entsprechen genau genommen Untergruppen der galoisschen Gruppe, und zwar können wir eine exakte bijektive Korrespondenz in Form des Hauptsatzes der galoisschen Theorie angeben. Mit Hilfe dieses Hauptsatzes führen wir schwierige Fragestellungen wie die der Auflösbarkeit von Gleichungen auf einfachere Fragestellungen über endliche Gruppen zurück. Nachdem wir vorher zeigen, dass die Nullstellen der Kreisteilungspolynome (und damit die Ecken eines gleichseitigen n-Ecks) durch Wurzelausdrücke gegeben sind, können wir damit das Resultat von Galois folgern, eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit von Gleichungen. Dabei zeigt sich, dass es weder allgemeine noch spezielle Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad fünf oder höher gibt. Am Ende des Kapitels leiten wir mit der gleichen Theorie die seit Beginn der Neuzeit bekannten Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad drei und vier ab.

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© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020

Authors and Affiliations

  1. 1.Lehrstuhl Algebra & ZahlentheorieUniversity of AugsburgAugsburgDeutschland

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