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Zur Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises

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Zusammenfassung

Ein Polynom ist ein formaler Ausdruck der Form \(a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_1 X + a_0\) in einer Unbestimmten X. Polynome sind grundlegende Objekte der Algebra, und wir können mit ihnen rechnen wie mit Zahlen. Insbesondere können wir Polynome addieren und multiplizieren. Genauso, wie wir jeder ganzen Zahl ihren Absolutbetrag als Maß für ihre Größe zuordnen können, können wir Polynomen ihren Grad als Maß zuordnen. Eine Anwendung findet dies bei der Division mit Rest. Sind Dividend und Divisor Polynome, so finden wir einen Quotienten, sodass der Rest kleineren Grad als der Divisor hat. Ebenfalls besitzt die Teilbarkeitstheorie ganzer Zahlen eine Entsprechung für Polynome. Inwiefern ein Polynom in Polynome kleineren Grades faktorisiert werden kann, hängt dabei entscheidend vom gewählten Koeffizientenbereich ab. Wir zeigen, dass der Fundamentalsatz der Algebra impliziert, dass Polynome über den algebraischen Zahlen immer in ein Produkt linearer zerfallen. Am Ende dieses Kapitels wenden wir die erhaltenen Ergebnisse über Polynome an, um in einem elementaren Beweis zu zeigen, dass die Kreiszahl \(\pi \) transzendent ist, also nicht Nullstelle einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Wir folgern daraus, dass wir die Längen \(\pi \) und auch damit auch \(\sqrt{\pi }\) nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren können. Aus Letzterem folgt, dass die Quadratur des Kreises, also die Konstruktion eines Quadrates mit dem gleichen Flächeninhalt eines gegebenen Kreises mit Zirkel und Lineal, unmöglich ist.

Literatur

  1. 1.
    Perron O (1960) Irrationalzahlen. de Gruyter, BerlinGoogle Scholar

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Authors and Affiliations

  1. 1.Lehrstuhl Algebra & ZahlentheorieUniversity of AugsburgAugsburgDeutschland

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