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Der Fundamentalsatz der Algebra

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Zusammenfassung

Die Polynomgleichung \(X^2 + 1 = 0\) besitzt im Zahlbereich der reellen Zahlen keine Lösung, wohl aber im Bereich der sogenannten komplexen Zahlen. In diesem Kapitel führen wir die komplexen Zahlen \(\mathbf {C}\) als im gewissen Sinne kleinstmögliche Erweiterung des Bereiches der reellen Zahlen ein, in dem die eben genannte Polynomgleichung eine Lösung besitzt. So wie wir die Gesamtheit der reellen Zahlen mit dem Zahlenstrahl gleichsetzen können, können wir die Gesamtheit der komplexen Zahlen mit der Zahlenebene gleichsetzen. Komplexe Zahlen sind also Punkte in einer Ebene. Markieren wir die Zahlen 0 und 1 in der Ebene, so nennen wir eine komplexe Zahl konstruierbar, wenn sich der zugehörige Punkt nur mit Zirkel und Lineal aus den beiden markierten konstruieren lässt Fragestellungen über die Lösbarkeit gewisser Konstruktionsaufgaben – etwa die Quadratur des Kreises – lassen sich damit auf algebraische Aussagen über die komplexen Zahlen zurückführen. Es ist eine erstaunliche Tatsache, dass in \(\mathbf {C}\) nicht nur \(X^2 + 1 = 0\) eine Lösung besitzt, sondern automatisch jede Polynomgleichung \(X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \cdots + a_{1} X + a_0 = 0\) mit rationalen Koeffizienten \(a_0\), ..., \(a_n\), \(n \ge 1\). Dies ist die Aussage des sogenannten Fundamentalsatzes der Algebra. Am Ende dieses Kapitels geben wir für diesen Satz einen konstruktiven Beweis, der auf Martin Kneser zurückgeht. Eine komplexe Zahl, welche Lösung einer solchen Polynomgleichung über \(\mathbf {Q}\) ist, heißt algebraisch. Wir zeigen in diesem Kapitel unter anderem, dass konstruierbare Zahlen immer algebraisch sind, was ein Schlüssel für den Beweis der Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises sein wird.

Supplementary material

Literatur

  1. 1.
    Kneser M (1981) Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über en Fundamentalsatz der Algebra. Math Z 177(2):285–287MathSciNetCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2020

Authors and Affiliations

  1. 1.Lehrstuhl Algebra & ZahlentheorieUniversity of AugsburgAugsburgDeutschland

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