Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit \(L^{p}\)-Räumen und insbesondere mit \(L^{2}\)-Räumen. Wir beweisen die Höldersche und die Minkowskische Ungleichung und zeigen die Vollständigkeit der \(L^{p}\)-Räume.
Als Beispiel für ein vollständiges Orthonormalsystem eines Hilbert-Raumes behandeln wir Hermite-Polynome. Schließlich geben wir einen Ausblick auf den Begriff des Spektralmaßes.
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- 1.
Die Dreiecksungleichung ergibt sich dabei aus 5.1.2 mit \(p=2\).
- 2.
Man sieht dies auch leicht ein, wenn man beachtet, dass die Funktion\(\varphi\colon\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}\) mit \(\varphi(t):=\frac{1}{q}+\frac{t}{p}-t^{1/p}\) im Punkt \(t=1\) ihr globales Minimum 0 annimmt, und dann die resultierende Ungleichung für \(t=x/y\) ausnutzt.
- 3.
Dies ist einfach die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.Man kann den Beweis von 5.1.1 im Fall \(p=q=2\) so formulieren: Bei \(f,g\neq 0\) lässt sich nach Division durch \(\|f\|_{2}\,\|g\|_{2}\) gleich \(\|f\|_{2}=\|g\|_{2}=1\) annehmen. Aus \(|f\overline{g}|\leq\frac{1}{2}\big(|f|^{2}+|g|^{2}\big)\) erhält man dann durch Integration \(\langle f,g\rangle_{2}\leq\frac{1}{2}\big(\|f\|_{2}^{2}+\|g\|_{2}^{2}\big)=1=\|f\|_{2}\|g\|_{2}\).
- 4.
Häufig werden auch die Polynome \(h_{n}\) oder \(n!h_{n}=(-1)^{n}\,\mathrm{e}^{t^{2}}(d^{n}/dt^{n})\,\mathrm{e}^{-t^{2}}\) als die Hermite-Polynome bezeichnet.
- 5.
\(\mathrm{L}_{\mathbb{C}}(H)\) ist der Raum der stetigen Operatoren auf \(H\).
- 6.
Es hätte keinen Sinn, für eine Spektralschar \(\eta\) in Bedingung (1) die \(\sigma\)-Additivität in dem Sinne zu fordern, dass die Gleichung \(\eta_{A}=\sum_{i\in I}\eta_{A_{i}}\) im Banach-Raum \(\mathrm{L}_{\mathbb{C}}(H)\) der stetigen Operatoren auf \(H\) gilt – man spräche dann von uniformer oder gleichmäßiger Summierbarkeit –, da eine unendliche Familie von 0 verschiedener orthogonaler Projektionen \(H\to H\) niemals summierbar in \(\mathrm{L}_{\mathbb{C}}(H)\) ist. Von schwacher \(\sigma\)-Additivität spricht man, wenn jeweils \(\langle\eta_{A}(x)\,,y\rangle=\sum_{i\in I}\langle\eta_{A_{i}}(x)\,,y\rangle\) für alle \(x,y\in H\) gilt.
- 7.
In Physikbüchern wird bemerkt, dass die Klangfarbe eines periodischen Klangs nur von dieser Frequenzverteilung abhängt.
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Storch, U., Wiebe, H., Becker, C. (2020). Lp-Räume. In: Maß- und Integrationstheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-60750-3_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-60750-3_5
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-60750-3
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