Dreidimensionale Probleme

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird an Beispielen in drei Raumdimensionen (tiefer sphärischer Topf, Wasserstoffatom, harmonischer Oszillator) der Umgang mit der Schrödinger-Gleichung demonstriert. Dieses Kapitel gibt Antworten auf folgende Fragen:

• Wie ist die Parität definiert?

• Welcher Operator erfasst die Winkelabhängigkeit der kinetischen Energie bei dreidimensionalen Problemen, und wie heißen die zugehörigen Eigenfunktionen und Eigenwerte?

• Wie lauten die Kommutatorrelationen der Komponenten des Drehimpulsvektors untereinander und mit $\hat{\mathbf {L}}{}^2$?

• Was ist die Bedeutung der zweiten Quantenzahl der Kugelflächenfunktionen?

• Aus der Kommutatorrelation der Drehimpulse folgt, dass diese entweder halbzahlig oder ganzzahlig sein dürfen. Gilt das auch für den Bahndrehimpuls?

• Für $l>0$ gilt, dass die Länge des Drehimpulsvektors immer größer ist als seine Projektion auf die z-Achse. Warum muss das so sein?

• Hängt der Hamilton-Operator eines Zweiteilchensystems lediglich von Relativkoordinaten ab, dann lässt er sich als Summe zweier effektiver Einteilchen-Hamilton-Operatoren schreiben – einen für die Relativbewegung und einen für die Schwerpunktbewegung. Welche Massen tauchen in diesen effektiven Operatoren auf?

• In welchen Schritten ist die radiale Differentialgleichung für gebundene Systeme zu lösen?

• Woher kommt die Quantisierung von Bindungsenergien?

• Was kann man aus dem Entartungsmuster des Energiespektrums eines Systems ablesen?