Zusammenfassung
Thema dieses Kapitel sind Näherungsmethoden, die es erlauben, zusätzliche Einflüsse auf lösbare Systeme quantitativ zu berücksichtigen. Ein Beispiel hierfür sind Korrekturen zur Wechselwirkung von Elektronen mit dem Atomkern in wasserstoffähnlichen Atomen. Neben der für dieses Beispiel notwendigen zeitunabhängigen Störungstheorie werden die Variationsmethode, die Born-Oppenheimer-Näherung und die zeitabhängige Störungstheorie vorgestellt und anhand von verschiedenen Beispielen illustriert. Dieses Kapitel gibt Antworten auf folgende Fragen:
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Worauf ist bei der Identifikation eines Entwicklungsparameters für die störungstheoretische Betrachtung eines Systems zu achten?
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Welcher Parameter kontrolliert den durch einen Störoperator induzierten Einfluss anderer Zustände auf den betrachteten?
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Was ist im Falle eines entarteten Unterraumes zu tun?
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Wie kann man in der Störungstheorie Übergänge berücksichtigen?
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Warum hat die Spinwellenfunktion auf das Spektrum von Atomen großen Einfluss, selbst wenn die spinabhängigen Wechselwirkungen vernachlässigt werden?
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Was ist der Zeeman-Effekt und was der Paschen-Beck-Effekt?
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Unter welcher Voraussetzung kann es bei schwachen Feldern einen linearen Stark-Effekt geben?
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Wann kann die Born-Oppenheimer-Näherung verwendet werden?
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Was versteht man unter induzierter Emission/Absorption?
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Welchen Effekt hat eine instantan einsetzende Störung auf ein quantenmechanisches System?
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Notes
- 1.
Die Quantenfeldtheorie zeigt, dass es zu diesem Wert Korrekturen gibt – die führende wurde von Schwinger zu \(\alpha /\pi \) berechnet.
- 2.
Um dies zu sehen, beachte, dass nach Gl. (11.19) die Fourier-Transformation von 1/r, \(\mathcal{F}[1/r]\), durch \(4\pi \hbar ^2/\mathbf {q}^2\) gegeben ist und dass \(\mathcal{F}[\mathbf {\nabla }^2(1/r)]=-\mathbf {q}^2/\hbar ^2 \mathcal{F}[1/r]\) gilt. Für die Rücktransformation ist dann Gl. (1.8) zu nutzen.
- 3.
Um dies zu sehen, beachte Zähler und Nenner als Funktion einer kontinuierlichen Variable l. Dann folgt aus \(l\rightarrow 0\) mit \(J=l+1/2\), gemäß Gl. (10.20), \(\langle \hat{\mathbf {L}}\cdot \mathbf {S}\rangle \rightarrow \hbar ^2l/2\).
- 4.
Die Einheiten e cm, mit e für den Betrag der Elementarladung, sind die in der Teilchenphysik übliche. In der Molekülphysik hingegen ist die Einheit Debye etabliert mit
$$ 1\,\mathrm {Debye} =3{,}33564\cdot 10^{-30}\,\mathrm {C} \mathrm {m} =20{,}819\times 10^{-10} e\, \mathrm {cm}. $$ - 5.
Hier soll nur das Prinzip der Testfunktion illustriert werden. Es ist daher unerheblich, dass \(\psi _-(\mathbf {x})\) für \(\mathbf {X}=0\) identisch verschwindet und damit nicht normierbar ist.
- 6.
Den Wert habe ich aus der Graphik abgelesen. Eine analytische Bestimmung ist nicht möglich.
- 7.
Der Hohlraumresonator bewirkt, dass die induzierte Emission sehr viel häufiger auftritt als die spontante, die am Ende von Abschnitt 10.1 diskutiert wurde (Details in [14]).
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Hanhart, C. (2020). Störungstheorie. In: kurz & knapp: Quantenmechanik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-60702-2_10
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-60702-2_10
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-60702-2
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