Konfidenzbereiche

Zusammenfassung

Bei der Parameterschätzung möchte man immer erreichen, dass ein geschätzter Parameter möglichst nahe am echten, unbekannten Wert ist. Jedoch ist es auch bei Schätzern mit günstigen Eigenschaften prinzipiell immer möglich, dass die gemessenen Daten für die zugrunde liegende Verteilung untypisch sind, also eher extreme Ergebnisse darstellen. In solchen Fällen wird der aus den Daten berechnete Schätzer trotz guter Methoden vom echten Wert stark abweichen. Mithilfe von Konfidenzbereichen kann die Wahrscheinlichkeit von solchen Abweichungen kontrolliert werden. In diesem Kapitel diskutieren wir die Grundideen von Konfidenzbereichen, und konstruieren einige wichtige Beispiele.

Aufgaben

9.1

Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Parametern $\mu =15, \sigma ^2=4$. Benutzen Sie die Tab. A.1 der Standardnormalverteilung, um die Quantile $q_\beta$ von X für a) $\beta =0{,}05,$ b) $\beta =0{,}1,$ c) $\beta =0{,}01$ zu bestimmen.

9.2

a) Sei $\beta >\beta '$. Sei X eine Zufallsvariable. In welcher Beziehung stehen die Quantile $q_\beta$ und $q_{\beta '}$ von X zueinander? b) Sei $\alpha >\alpha '$. Sei $J_\alpha$ das Konfidenzintervall zum Fehlerniveau $\alpha$ und $J_{\alpha '}$ das Konfidenzintervall zu $\alpha '$, jeweils für den Erwartungswert $\mu$ von normalverteilten Zufallsvariablen. In welcher Beziehung stehen $J_\alpha$ und $J_{\alpha '}$ zueinander?

9.3

In einer Testreihe wird das Gewicht einer neu gezüchteten Schweineart untersucht. Die Daten von 10 Schweinen ergeben folgende Tabelle:

Schwein Nr. i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Gewicht (kg)	260	243	245	248	251	250	239	254	259	249

a) Berechnen Sie die empirische Varianz. b) Unter der Annahme, die Varianz sei durch das Ergebnis von a) gegeben, und unter Annahme einer Normalverteilung berechne das Konfidenzintervall für den Erwartungswert zum Fehlerniveau $\alpha =0{,}05$.

9.4

Betrachte folgende Daten:

i	1	2	3	4	5	6	7
$x_i$	23,7	21,1	19,6	23,6	21,5	22,8	19,7

Unter Normalverteilungsannahme bestimme das Konfidenzintervall für den Erwartungswert zum Fehlerniveau $\alpha =0{,}1$.

9.5

In der Situation von Aufgabe 9.4 bestimmen Sie das Konfidenzintervall für $\sigma ^2$ zum Fehlerniveau $\alpha =0{,}05$.

9.6

Seien $X_1\sim {\mathcal {N}}(\mu _1,\sigma ^2_1)$ und $X_2\sim {\mathcal {N}}(\mu _2,\sigma ^2_2)$ unabhängige Zufallsvariablen, wobei $\mu _1,\mu _2\in \mathbb {R},$, $\sigma _1^2, \sigma _2^2>0$. Geben Sie eine Funktion $f:\mathbb {R}^2\rightarrow \mathbb {R}$ an, sodass $f(X_1,X_2)$ $\chi ^2$-verteilt mit Parameter 2 ist.

9.7

Betrachte folgende Daten:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$x_i$	140	136	150	144	148	152	138	141	143	151

Diese werden als normalverteilt angenommen, mit bekanntem Erwartungswert 143. a) Bestimmen Sie die empirische Varianz. b) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für $\sigma ^2$ zum Fehlerniveau $\alpha =0{,}05$.

9.8

Die Daten aus Aufgabe 9.7 seien normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert und unbekannter Varianz. Bestimmen Sie das Konfidenzintervall für $\mu$ zum Fehlerniveau $\alpha =0{,}05$.