Parameterschätzung

Zusammenfassung

Im ersten Kapitel zur Statistik widmen wir uns einem der Grundprobleme der Statistik, nämlich der Schätzung von Parametern. Das bedeutet, dass aus gemessenen Daten relevante Kenngrößen oder Verteilungsparameter der zugrunde liegenden Verteilung geschätzt oder approximiert werden. Dabei müssen normalerweise gewisse Annahmen getroffen werden, z. B. zur Unabhängigkeit der involvierten Zufallsvariablen. Es gibt viele verschiedene Methoden für die Parameterschätzung. Wir betrachten hier klassische Schätzer für wichtige Kenngrößen, sowie die Methode der Maximum-Likelihood-Schätzung. Ebenfalls als Schätzproblem aufgefasst werden kann die Bestimmung einer Regressionsgeraden.

Aufgaben

8.1

Gegeben seien folgende Daten:

Messung Nr.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Messwert	51	69	40	44	49	61	52	53	48	50

Berechnen Sie für diese Daten a) das empirische Mittel, b) den Median, c) die empirische Varianz.

8.2

Beweisen Sie, dass die empirische Varianz erwartungstreu und konsistent ist (vgl. Beispiel 8.4 und 8.5).

8.3

Berechne den Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter p der geometrischen Verteilung.

8.4

Berechne den Maximum-Likelihood Schätzer für den Parameter $\lambda$ der Exponentialverteilung.

8.5

Eine Messung ergibt folgende Datenpaare $(x_i, y_i), i=1,\ldots , 6$:

i	1	2	3	4	5	6
$x_i$	2	8	5	2	12	4
$y_i$	10	2	8	11	1	8

a) Stellen Sie die Daten grafisch als Punktmenge dar. Weist die grafische Darstellung auf positiv/negativ korrelierte Daten hin? b) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. c) Berechnen Sie die Regressionsgerade.

8.6

Es seien $X_1,\ldots , X_n$ unabhängige Zufallsvariablen mit parameterabhängiger Dichte

$$f_\theta (x)={\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}(1+\theta x), &{} -1\le x\le 1,\\ 0&{} \text{ sonst, } \end{array}\right. }$$

$\theta \in ]-1,1[$. Finden Sie einen erwartungstreuen, effizienten und konsistenten Schätzer für den unbekannten Parameter $\theta$. Hinweis: Das empirische Mittel untersuchen.

8.7

Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der Tage mit Schneefall und die Anzahl der Zugausfälle bei der Berliner S-Bahn-Linie 85 in den Monaten eines Winters.

Monat	Dezember	Januar	Februar
Anzahl Tage mit Schneefall	3	5	4
Anzahl Zugausfälle bei der S85	17	32	23

Von Interesse ist die Anzahl der Zugausfälle in Abhängigkeit der Anzahl von Tagen mit Schneefall. Bestimmen Sie die Regressionsgerade.