Grenzwertsätze

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden das Gesetz der großen Zahlen und der Zentrale Grenzwertsatz formuliert, welche eine wichtige theoretische Grundlage insbesondere für die Statistik bilden. Dabei werden nun nicht mehr eine oder endlich viele Zufallsvariablen betrachtet, sondern Folgen von Zufallsvariablen, und deren Konvergenzverhalten untersucht. Anwendung des Zentralen Grenzwertsatzes führt auf eine Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung.

Aufgaben

7.1

Es seien $X_i, i\in \mathbb {N}$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen. Zeigen Sie: Es gilt $\mathbb {E}[X_i]=\mathbb {E}[X_1]$ und $\mathbb {V}(X_i)=\mathbb {V}(X_1)$ für alle $i\in \mathbb {N},$ falls Erwartungswerte bzw. Varianz existieren.

7.2

Es sei $(X_n)_{n\in \mathbb {N}}$ eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit Dichte

$$f(x)={\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{3}x^2,&{} 0\le x\le 3,\\ 0&{} \text{ sonst. } \end{array}\right. }$$

Berechnen Sie $\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n X_i$.

7.3

Seien $X_1, X_2,\ldots , X_{10'000}$ unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter $\lambda =1{,}2$. Wie können die folgenden Größen approximiert werden? a) $X_1+X_2+\ldots +X_{10'000}$, b) $\mathbb {P}(X_1+\ldots +X_{10'000}\le 8600)$.

7.4

Sei X eine binomialverteilte Zufallsvariable mit $n=4000$ und $p=0{,}6$. Benutzen Sie die Normalapproximation zur Berechnung von a) $\mathbb {P}(X\ge 2450)$, b) $\mathbb {P}(X\le 2370)$, c) $\mathbb {P}(X\in [2350, 2450])$, d) $\mathbb {P}(\sqrt{X}>49)$.

7.5

In einer Fabrik sind im Durchschnitt 4 von 100 produzierten Werkstücken nachbesserungsbedürftig. Pro Tag werden 5000 Stücke produziert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit müssen weniger als 160 Stück nachgebessert werden?

7.6

Es seien $X_i, i\in \{1,\ldots , n\}$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit $\mathbb {E}[X_1]=\mu , \mathbb {V}(X_1)=\sigma ^2$. Leiten Sie für $S_n:=\sum _{i=1}^nX_i$ analoge Formeln für die „$\sigma$-Regeln“ aus Beispiel 6.8 her.